Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 118
Текст из файла (страница 118)
В случае и-мерного пространства таких чисел будет и'. ан ам ...аы ам ам ... аач а=(а,А)= а„, а„э ...а„„ Для бесконечномерного пространства число строк и столбцов в таблице также бесконечно. Таблица чисел сггА называется иАверной (илн бесконечномерной) квадратной матрицей. Числа а;А называют матричными элементами. Первый индекс ! обозначает номер строк, второй индекс обозначает номер стелбцов. Линейному преобразованию координат (В,2) соответствует линейное преобразование векторов.
Каждому линейному преобразованию векторов соответствует своя матрица преобразования. Произведением у двух линейных преобразований а и () называют последовательное применение вначале преобразования (), а затем преобразования а, что можно записать в символическом виде Матрица (ум) произведения преобразований образуется из матриц преобразований (онк) и (ргА) по закону у.
=Х (! который определяет правило умножения матриц. Отметим основные свойства произведения матриц. 1) произведение двух матриц, вообще говоря, зависит от порядка множителей. Две матрицы, произведения которых не зависят от порядка множителей, называют кохьиутиру~ощюни матрицамщ 2) прн матричном умножении нескольких матриц справедлив ассоциативный закон у(ра) =(у(!)а; 3) детерминант произведения двух матриц равен пронзведению детерминантов этих матриц. Частным случаем преобразования векторов является тождественное преобразование, которому соответствует единичная матрица ! О О К=(б; )= О ! О О О ! мхтемлтическн е дополнения 678 Матричные элементы б,д единичной матрицы называют силеолали Кронекера, они равны единице при ( = й и равны нулю при (=~ Й.
Единичная матрица коммутирует со всеми друглмя матрицами. Если детерминант матрицы а не равен нулю, то существует матрица а-', обратная матрице а, т. е. такая матрица, которая удовлетворяет равенству а-'а =аа ' =1. Если а-' является об()этной к матрице а, то и матрица а является обратнон к а-. Обратная матрица к произведению нескольких матриц равна произведению обратных матриц, взятому в обратном порядке (а($у) = у р а (В, 47 При умножении матрицы на комплексное число надо умножить все элементы матрицы на это число.
Суммой двух матриц а+ () называется матрица у, матричные элементы которой равны сумме матричных элементов а и р. Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется шнуром, нли следом матрицы, т. е. Яра= — Х а Если шпуры нескольких матриц а, р, ... конечны, то шнур их произведения при циклической перестановке не меняется, например, 8 р (ару) = 8 р (уар) = 8 р (руа). П. Как отмечалось выше, при заданном базисе координаты 'А; вектора А полностью определяют вектор А=ХА ео Координаты вектора удобно записывать в виде столбца, например А, А =(А;)— Тогда линейное преобразование векторов (В,2), осуществляемое матрицей а, можно записать в матричной форме В=аА нли В;=.ЕамА,.
(В, б~ в| линенные опеРАтогы в вектогном пРОстРАнстВе 679 Рассмотрим наряду с базисом е, другой базис е', В новой базисной системе координаты векторов А и В будут изображаться матрицами А1 Аз (А)) В( (В)) = В2 Линейному преобразованию векторов (В,5) в новом базлсе будет соответствовать новая матрица (а', ), определяемая соотношением В; = Х а',.АА'. (В, 6) Переход от координат Ас и В; к координатам А) и Вс, соответствующлй переходу от базиса е, к базису е,'., осуществляется матрицей преобразования $ = (Вгь), где 3, =е,е', (В, 7) с помощью соотношений А =ХВ;А;, В,=ХВАВ;. (В, 8) В этом легко убедиться, рассматривая, например, равенство А= .Е е,А,.= ~~ е,'А,' и используя свойства ортонормируемости базиснык векторов.
После подстановки (В,8) в (В,5) и умножения слева на Ь-' находим В =8 'аБА. Сравнивая это равенство с (В,б), получаем связь между различными матричными представлениями линейного оператора а в двух базисных системах а =$ а8. (В, 9) Матрицы, связанные соотношением (В,9) с помощью произвольной матрицы $ (имеющей обратную матрицу), называются 680 мАтемАтг!Ческие дОпОлнения унитарно-подобными матрицами.
Таким образом, каждому линейному оператору в векторном пространстве можно сопоставить целый набор подобных между собой матриц, представляющих линейный оператор в различных базисах. Унитарно- подобные матрицы удовлетворяют одинаковым матричным уравнениям. Другими словами, соотношения между матрацами остаются инвариантными относительно преобразований матриц (В,9). П1. Перечислим некоторые матрицы, обладающие особыми ,свойствами. Диагональные лгатрицы. Матрица называется диагональной, если она имеет отличные от нуля матричные элементы только на главной диагонали, т. е. ам а,бы.
Все диагональные матрицы коммутируют между собой. Произведение двух диагональных матриц снова дает диагональпую матрицу. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы по модулю равны единице, называется фазовой мптрицей (е Абл,), Транспонированные матрицы. Матрица а является транспонированной к матрице а, если она образована пз матрицы и путем замены строк столбцами, т. е. (б„)=( „). Матрица, транспонированная к произв~то,нгю, рзаиа произве- дению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке, Например, (аК) = у()а. Комплексно соггрлженная матрица.
Матрица а* является комплексно сопряженной к матрице а, если ее матричные элементы комплексно сопряжены элементам матрицы а, т. е, (аг„) =(а,. ). Эрмитово сопряженные матрицы. Матрица а~, полученная из матрицы а путем последовательного применения операции транспонирования и комплексного сопряжения, называется эрмитово сопряженной матрицей к матрице а = (ам), т. е. (а,„) =(а г). Матрица, эрмитово сопряженная к произведению матриц, равна произведению эрмнтово сопряженных матриц, взятых В! ЛИНЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ВЕКТОРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 68! а=а ', а =а'. !Ч. Скалярным произведениеч двух векторов А и В называется выражение (А ! В) = — 2~ А*;Вь (В, 10) Скалярное произведение векторов остается инвариантным при переходе от одного базиса к другому, т.
е. <А!В>=ХА)В;=2;А;"В!. Скалярное произведение любых двух векторов удовлетворяет равенству (А ! В) = (В ! А)*. Для любых двух векторов А и В и произвольной имеют место равенства (А ! ОВ) = (аэА ! В); (ОА!В)=(А! ОВВ). (В, 11) матрицы а (В, 12) Скалярное произведение в функциональном гильбертовом про- странстве является непосредственным обобщением (В, 10), т.
е. определяется интегралом И ! р> = ) Ф' (О р (8) йВ, (В, 10а) где интегрирование распространено на все возможные значения переменных ь, от которых зависят зти функции. Ч. Среди различных линейных преобразований векторов особенно большое значение в кваатовой механике имеют унитарные преобразования. Унитарные преобраювания в обратном порядке, например (ору) =у')) а . Матрица а называется действительной, если а* = а. Матрица а называется мнимой, если а* = — а.
Матрица а называется сиэьчегричнои, если а = а. Матрица а называется антисиммггричной, если а = — и. Матрица а называется эрмигоэой, илн самосолрлэгенной, если ат = а. Матрица а называется антиэрмитоэой, если а = — а. Матрица а называется унитарной, если а~ = а-'. Действительная унитарная матрица называется ортогональной матрицей. Ортогональная матрица, следовательно,' удовлетворяет равенствам МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ осуществляются унитарными матрицами, т.
е. Матрицами и, удовлетворяющими равенству пгп=!, или пг=п-'. Используя свойство (В, 12) скалярного произведения двух векторов, легко доказать, что при унитарном преобразовании двух векторов их скалярное произведение остается неизменным. Действительно, (и А ! и В) = (А ! пгп В) = (А ! В). (В, 13) Выполнение равенства (В,!3) для произвольных двух векторов может служить определением унитарности матрицы п. Произведение двух унитарных матриц тоже унитарно. Так, (п,пг)' = «ггп', =, 'и, ' = (,и,) ' ° Матрица, обратная к унитарной матрице, тоже унитарна, так как (и ') = (иг) -= и =(и ') Легко убедиться, что рассмотренные ранее матрицы преобразований Б(В, 7) координат векторов при переходе от одной базисной системы координат к другой являются унитарными матрицами. Они удовлетворяют условию Бг= 3 '.
Поскольку матрица Б действительна, то из условия унитарности следует, что 8 ортогональна. 'у1. Лрямын произведением двух матриц а=(игг) и = (~г ) называется матрица, элементаын которой являются произведения элементов матриц а и (г. Прямое произведение двух матриц иногда обозначают с помощью знака «)С», стоящего между символами, обозначающими соответствующие матрицы. Не следует смешивать это обозначение с обозначением векторного произведения двух трехмерных векторов а и Ь, для которого в книге используется обозначение [а)(Ь).
Итак, прямое произведение двух матриц можно определить равенством аппп пп0гг а~ФИ а Фг а )()1= г~ ' = апргг ап!ггг .. а,ф„ап()гг ° ° ° ам(! аггр Если размерность квадратной матрицы а равна п, а размерность квадратной матрицы (1 равна лг, то прямое произведение а )( р будет иметь размерность лль г1 ВЫРОжденные гипеРГеометРические ФунКЦии 683 Г, Вырожденные гипергеометрические функции.
Функции Бесселя Многие дифференциальные уравнения, рассматриваемые в этой книге, сводятся к уравнениям для вырожденной гипергеометрической функции. Приведем здесь для справочных целей несколько свойств этих функций. Доказательства и более подробные сведения можно найти в книгах [!41 — 143). Вырожденная гипергеометрическая функция определяется рядом Г(а, с; г) =1+ — — + — + ... с !! с(с+ !) 2! для всех конечных значений переменной г, произвольных значений параметра а и для всех не равных нулю и целому отрицательному числу значений параметра с. Функция Р(а, с; г) при а = с сводится к обычной экспоненциальной функции Г(а, а; г)=е'.
Вырожденная гипергеометрическая функция является одним из частных решений дифференциального уравнения второго порядка й2Ф йФ г —, + (с — г) — — аФ = О, йг' йг т. е. Ф! = Г(а,с; г). Если с — нецелое число, то второе независимое решение уравнения (Г,2) имеет вид Ф,=г'-'Г(а — с+ 1, 2 — с; г).
(Г, 3) В этом случае общее решение уравнения (Г,2) образуется путем линейной суперпозиции решений Ф! и Фь т. е. Ф= АФ!+ ВФИ где 'А и  — произвольные постоянные. Функция Г(а,с;г) регулярна при г = О и имеет значение, равное 1; она удовлетворяет соотношению Г (а, с; г) = е'Р (с — а, с; — г), (Г, 4) которое называют лреобразованиел! Кал!л!ера. - Приведем еще несколько соотношений, которым удовлетворяют функции Г(а, с; г): (с — а) Г (а — 1, с; г) + (2а — с + г) Р (а, с; г) = аГ (а + 1, с; г), (а — с+ 1) Г (а, с; г) + (с — 1) Г (а, с — 1; г) = аГ (а + 1, с; г), — Г (а, с; г) = — Г (а+ 1, с+ 1; г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
