Давыдов А.С. Квантовая механика (1185118), страница 120
Текст из файла (страница 120)
Для всякого представления конечной группы существует эквивалентное унитарное представление, т. е. представление, состоящее только из унитарных матриц, поэтому дальше мы будем рассматривать только унитарные представления. Преобразования типа (Д, 2) называют преобразованиями подобия. Если данному представлению П(п) можно найти такое преобразование подобия, что все матрицы П(д~) преобразуются к виду П,Ж 0 О о и (д) о 0 0 Пз(к) (Д, 3) где П;(д) изображаются матрицами меньшей рззмерности, то представление П(п) называется приводимым. Если нельзя найти преобразование подобия, которое приводило бы все матрицы представления к виду (Д, 3), то П(д) называется неприводимым представлением, Отметим два свойства неприводимых представлений: а) сумма квадратов размерностей всех неприводимых неэквивалентных представлений равна порядку группы ~ (А =йГ; (Д, 4) б) Элементы П „® матриц неприводимых представлений удовлетворяют следующим условиям ортогональности1 Х а> Щ А Пти (й) Пм ь (У) = — Ььгбтт4пм.
(Д, б) 69! ТЕОРИЯ ГРУПП Таким образом, йГ величин с компонентами, соответствующими отдельным элементам вг группы, образуют полную эрмитову ортонормированную си. стему векторов М-мерного пространства. Неприводимые представления с размерностью большей чем единица имеются только в группах, содержащих некоммутативные элементы. Абелевы группы имеют только одномерные представления.
П(. Характеры представлений. Сумма диагональных элементов матриц представления для каждого элемента группы образует характеры представления, т. е. х,(а) = й' 11"'„М) (Д, б) Поскольку представление, соответствующее единичному элементу группы, изображается диагональной единичной матрнцей, то характер этого представления всегда равен размерности представления. Характеры эквивалентных представлений, т.
е. представлений, отличаюгцихся преобразованием Подобия (Д,2), совпадают. Характеры неприводимых неэквивалентных представлений взаимно ортогональны: Х Х (й)Х,'(а) =Мбм, (Д, 7) где М вЂ” число элементов группы. Элементы каждой группы можно разбить на классы. В состав каждого класса входят взаимно сопряженные элементы, т. е. такие элементы а и Ь группы, между которыми имеется равенство а = хех-', где х — какой-либо элемент той же группы. Классы абелевых групп состоят только нз одного элемента, т.
е. число классон в этих группах равно числу элементов йГ. Разделение элементов группы на классы очень существенно, так как элементы, входящие в один класс, имеют одинаковые характеры. Далее, число неприводимых представлений равно числу классов группы. Так как характеры элементов, входящих в один класс,' одинаковы, то, обозначая число элементов в классе а через и„, можно в (Д,7) суммирование по всем элементам заменить суммированием по всем классам Х п,Х„(а,) Х,"(д,) =)Убэп (Д, 7а) где и„— один из элементов группы, входящий в класс а, Сум- мирование происходит по всем классам, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 692 Поскольку между системами характеров и неприводимыми представлениями группы имеется однозначное соответствие, то удобно во многих приложениях теории групп вметь дело нс с неприводнмымп представлениями, а с характерами.
Пользуясь свойствами ортогональности (Д,7) характеров неприволимых представлений группы, можно разложить характеры любых приводимых представлений группы по нсприводимым представлениям, Например, Х(у) = 2' ААХА(у), (Д, 8) где суммирование выполняется по всем неприводимым представлениям. Коэффициенты разложения АА определяются согласно (Д,7) формулой А,= —,' ',~ Х(у) Х,(у). (Д, 9) При этом суммирование проводится по всем элементам группы.
1Ъ'. Непрерывные группы Ли. Непрерывной группой Ли называется бесконечная группа, каждый элемент которой может быть задан с помощью конечного числа параметров. Минимальное число параметров, определяющих каждый элемент группы, называется размерностью группы Ли. Например, повороты па произвольный угол вокруг фиксированной оси образуют группу Лн. Произведением двух поворотов на углы гр1 и ~рз является поворот на угол гр, + грв Эта группа имеет размерность, равную 1, так как каждый поворот определяется одним параметром — углом поворота.
Полная группа вращений является группой Ли размерности 3, так как каждое вращение характеризуется тремя параметрами, например углами Эйлера. Нулевые значения всех параметров данной группы Ли соответствуют едипнчному элементу группы. Представления группы Ли являются функциями параметров группы. Если представления П(а,аг...) являются дифференцируемыми функциямн параметров, то можно ввести понятие ннфинитезимального оператора. Инфинитезимальным оператором Iь соответствующим параметру аь называется производная от представления П(а,а,...) по ссь взятая при значении всех параметров, равных нулю, т.
е. Число инфинитезимальных операторов равно размерности группы Ли. Ч. Нрялгое произведение представлений гоуппы. Как было показано в 9 19, система собственных функций оператора Гамильтона Н образует базис для представления группы у опе- ТЕОРИЯ ГРУПП раций симметрии, которые оставляют инвариантным оператор Н. Представления, создаваемые собстввнными функциями Н, соответствующими каждому уровню энергии системы, являются неприводимыми представлениями этой группы.
Другими словами, каждой собственной функции оператора Н можно сопоставить определенное неприводимое представление группы. Предположим, что функции ф н ср являются собственными функциями оператора П, соответствующими неприводимым представлениям Гч и Г, Тогда произведению функций фц будет соответствовать представление Г той же группы у, которос называется прямым произведением Г и Г„, т. е. можно написать (Д,!О) Г =Г ХГР, где Р', — знак прямого произведения. Поскольку представления группы изображаются матрицами (например, Г = (Гпа(ц))), то прямое произведение представлений (Г,10) будет выражаться через прямое произведение соответствующих матриц (см.
Гз, равд. у'1). Из определения прямого произведения матриц непосредственно следует, что характер представления прямого произведения равен простому произведению характеров соответствующих представлений. Так, например, Х = л' Гн(ф) Г (Г)=-ХЧХ, (Д, 11) Представление прямого произведения двух неприводимых представлений в общем случае является приводимым представлением.
Для разложения этого представления по непрнводимым представлениям достаточно разложить характер этого представления по характерам непрнводнмых представленив. Для этого надо воспользоваться формулой (Д,8). Ч1. Определение условий, при которых интегралы от произведения двух функций равны нули. Теория групп позволяет без вычисления интеграла (Д, 12) определить условия, при которых этот интеграл равен нулю.
Эта возможность следует из того факта, что интеграл отлвчается от нуля только в том случае, когда подынтегральное выражение инвариантно по отношению ко всем операциям симметрии группы или выражается в виде суммы членов, из которых хотя бы один был инвариантен. Подынтегральное выражение будет обладать указанными свойствами, если прямое произведение представлений Гч и Гч, к которым относятся МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 694 функции ф и у, содержит полностью симметричное представление.
Для большинства представляющих физический интерес случаев характеры представлений' действительны. В этих случаях необходимым и достаточным условием того, что прямое произведение ГТХ Гч содержит полностью симметричное представление Л, является равенство соответствующих представлений, а следовательно и их характеров, Таким образом, )' будт Ф О, если Г = Г„.
Из (Д,!3) следует, что ) ФррФТ Ф О, если ГвГ, =ГО ~Д,! 4) Учитывая, что оператор Гамильтона Н принадлежит к полностью симметричному представлению, можно сказать, что матричные элементы (ф~Н~ф) отличны от нуля только в том случае, если функции $ и у принадлежат к одному и тому же представлению, т, е. когда Гв = Гч, ЛИТЕРАТУРА ! . Г.
А. Б н б е р м а н, И. Сушкин, В. Фабрикант, ДАН СССР 26, 185 (1949). 2. Е. 8 из»К!п д Л О)08 окге Г, РЬувгсз 1, 49 (1964). 3. 1). 3 п д 8 е, Л Т. Е е чг ! з, РЬуз. Еейегв 5, 190 (1936) . 4. (). 3 п д 8 е, Ыпочо С!шеп1о 31, 332 П964). 5. Р. Са гг п1Ье ге, М. М. Ы!е1о, йеч. Мод, РЬуз. 40, 4!1 (1968].
6. Л. Д. Л а н д а у, 2. РЬуз. 45, 430 (1927). 7, Л ч о п Ы е п гп а п п,' Об(!!пбеп ХасЬг, 247 (1927). 8. Л. Д. Л а н да у н Е. М. Лиф шип, Механика, Физматгнз, 1965. 9. А. А. С о к о л о в, Р. М. М у р а д я н, В. М. А р у т ю и я н, Вестник МГУ 4, Б! (1959); 6, 64 (1959).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
