Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 80
Текст из файла (страница 80)
+у„)+х«(у, +у«+... +у„)+... -"+х,„(у,+у,+.. +у.)=(т,+х«+ . +х,.)(у*+у«+-"+у) нлн (2) «М.2. Сумма геометрического ряда Рассмотрим сумму 5„=а+а(+а(л+... +а(". (3) Правая часть равенства представляет собой геометрический ряд, Ззв каждый член которого получается умножением предыдущего члена на (. Множитель у может быть вещественным или комплексным числом. Чтобы вычислить сумму (3), умножим обе части равенства на г. Имеем (4) )о'„=а[+а[а+... +а[а+а~"~' Вычитая (4) из (3), получаем (1 — !) 5н =а — а!н+', илн (бу Если Я~1 и геометрический ряд (3) бесконечен, т.
е. п-еоо, то ряд сходится. дейзствнтельно, в этол! случае )о' ' '-~-0 и для л-моо выражение (3) принимает вид (6) й4.3. Производная от 1и и! для больших и Рассмотрим!и п! для большого и пелого а. Так как 1п л! меняетси на небольшую часть своего значения, если и меняется на небольшое пелое число, то [п и! можно рассматривать как непрерывную функцию и. Тогда мы из!без! б 1п л! !п (и+ 1)~ — Ь л! !и '-!)1 — ' ж — ' =- !и ' = — !п (л+ 1), нп л~ Так как п)1, то п+!жз!. Мы получаем, что для п~)1 Л)п Л'. ж!п и.
ол Л а м е ч а и в е. В более общем виде нровзводную от'!ил! можно выразить через любое малое, но нелое нрнрантенне т: д !и л! !и (п + т)! — )п л! ди Ш Отсюда следует и'!и л! ! (л+ тн 1 — '= — !и '= — )п [(л+т) (п+т — 1)...!л+1)!. т!и т л) т Так как т~<л, мы подуваем Н 1и л! ! — вв — 1п [пм! — — !и" бл т Э что совпадает с (7). )й).4. Значение )и и! для больших п Вычисление п) для больших п становится слишком трудоемким.
Поэтому удобно для этого случая иметь простое приближение. По определению, и! =1.2 З...(п — 1) и. д Отсюда !па! = 1п 1+!п2+... + !и и = !ил. (8) и=! у Если и велико, то почти все члены в сумме (8) [за исключением нескольких первых членов, вклад ко- О Я 4 Ей Ю!214 Фл н )п и! = ~ )и х Их =- 1х )и х — х),". 1 Яы получаем для и и! 1пп! жп1пп — и, (10) так как вкладом от нижнего предела в (9) можно пренебречь. Лучшее приближение, справедливое для и! с ошибкой, меньшей 1",; даже прн п=(0, дает формула Сгпирланга !пи! = п 1п и — и+ —,!п (2ип).
! и (11) Если и очень велико, то п~~)и п и формула Стирлинга переходит в (!0). Отметим, что из (10) следует Л!и и! — =!ип +п~ — ) — 1=!пп, йп что совпадает с (7). торых в (8) мал! соответствуют столь е . мл. панннннне 1н т н ннннсннн. большим значениям и, что !п гп меняется очень мало при изменении гп на единицу. Сумма (8) (она равна сумме площадей заштрихованных прямоугольников на рис. М.1) с небольшой ошибкой может быть, таким образом, выражена через интеграл (дающий площадь под непрерывной кривой на рнс. М.1). В таком приближении имеем М.б.
Неравенство 1и х ='х — 1 Сравним 1пх с х для положительных значений х. Рассмотрим функцию, равную разности этих величин: 1(х) = х — ! п х. (12) Прн х О 1пх — — оо, поэтому 1(х) — оо. Прн Х- аа !ПХ((Х, ПОЭтОМу Г" (Х) ао. (13) Чтобы изучить поведение 1(х) между этими пределами, заметим, что при х=! т(м) 4 ! ох х — = 1 — — = О. (14) Таким образом, 1(х) является непрерывной функцией х, удовлетворяющей условиям (13) и имеюшегг единственный экстремум прн д х=1. Отсюда следует, что поведегнг. мгк Фгнкцня г(к(==х — (и к ние ('(х) описывается кривой, показанной на рис.
М.2, имеюшей минимум при х=1. Таким образом, 1(х) ) Г (1) (равно при х= 1). или, с помощью (12), х — !их) 1. !п х(х — 1 (раано при х=1). Поэтому (15) М.6. Вычисление интеграла ~ е- *е(х Неопределенный интеграл 1 ег и (!х не может быть выражен через элементарные функции. Обозначим через 1 искомое значение оареде,генного интеграла Ю вЂ” ') Ег о,гт (16) Этот интеграл можно вычислить, воспользовавшись свойствами. экспоненциальной функции. Мы можем выразить (16) через новую переменную интегрирования: /†= 1 е-мйУ.
(17) (йза Перемножая (16) и (17), получаем Р=- ~ е "'дх ~ е п*с(р= ~ ( е-а*е-и'с(х1(р илн Р= ) ~ е-1 *+а*1 1(хс(у. (18) Этот двойной интеграл следует брать по всей плоскости х, р. Теперь выполним это интегрирование в полярных координатах г и гр. Мы имеем ха+унт та, а элемент плошади в этих координатах равен (г Ыг г(ср). Чтобы заполнить асю плоскость, переменные гр н у должны меняться в пределах 0(1р~2л и 0--г(оо соответственно. Таким образом, (18) принимает вид Р= ') ') е-г*гс(гс(ср=2л (~е-'"гр)т, (!9) и а о Рпс.
МЗ. Полярные ноарпияаты и т, испольаусиые Лля ньыисленпя интеграла ПП1 так как интегрирование по 1р дает 2л. Множитель г в подынтегральиом выражении делает интегрирование тривиальным. Имеем Р = 2л ~ — — с! (е-'") = — л [е-"1 о = — л (Π— 1) = л, ! о или Таким образом, ~ е "'с(х=)/ л (20) Так как е-"Я не меняет своего значения прн замене х на — х, мы имеем ) е-х* Дх 2) е-а' г(х откуда следует: ) е""' с(х — )/л, (21) М.7. Вычисление интегралов типа ) е- "х»о- с Обозначим вычисляемый интеграл так: — ~ е-их-х» г(х в (22) Обозначим такнге х=а — чг у, тогда для п=О интеграл (22) ранен 7,=а-ч*~ е-"* пу= —,а-'».
Г, рсн 2 (28) Иы воспользовались здесь формулой (21). Аналогично, ,)» 1 ) =а-' "е-и*ус(у=а ' — — е-»1 = — а '. (24) Все остальные интегралы, для которых целое п)2, могут быть выражены через („или т', последовательным интегрированиел( по частям. Лействительно, 1 х» с(х — — ( г( (е-с»з) х»-1 ая (е '~ х" )о + —, ') е '"'х»-'г(х. -ом»а О Так как проинтегрированное выоаженпе обращается в О для обоих пределов, мы получаем (25) Например, )Г л а /» но (26) лт.8. Математические символы < (( «< а ехр и 1п и о( > )) »> Ъ раино тожлествеиио равно (равно по опрслелению) приближенно равно, близко к имеет порнлок пропорпиональио не равно больше на много больше па много, много больши больше нли равно больше нли приближенно равно ме импе на много меньше на много много меиыпе меньше илн равно меньше или приближенно равно иатуральннй логарифм и (при основании е) ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 1.
Лростое пригмнгние распределения Гаусса. Монету бросают 400 раз. Найдите вероитность 2!5 выпаданнй «орла». 2. Гауссовская п.ютекть героятиасти. Рассмотрим идеальную систему из Д/ спиноз 1/2. Пусть наждому спину соответствует магнитный момент рг, который может быть направлен иверх или вниз, с вероятностью р и д соответственно.
Воспользуйтесь выражением (2.74) и гауссовским приближением (П.13), пригодным для больших йг, чтобы написать выражение для вероятности,Г(М)йМ того, что магнитный момент системы имеет значение между М и М+йМ. 3. Точность гауссов«»иго паиблихения. Исследуйте степень пригодности гауссовского нриблнжения (П.13), оиевив выражение (П.7) с точностью до членов уа включительно. а) Покажите, что (П.9) может быть записано в виде Р (л) = Р« "/ю ехр ~ 6 (уру) ыг где и л — Мл б] Первый экспоненднальный множитель делает вероятность Р пренебрежимо мало, если (г)э»!. таким образом, Р имеет залгетное значение лишь прн (г((1. В чтой области значении г показатель второй экспоненты в (!) значительно меньше единицы.
«ели Уорд)) !. При зточ условии вторую экспоненту можно разло. жить в степенной ряд Р (л) = г гг/ю' 1 —,, га-(-...1. (П)у У2п/«Ру Ь б (Д(рд) «/г в) Покажите, что ошибка, возникающая от использования простого гауссовского прнбдижения, имеет порядок(д!Рд) /к Она становится пренебрежимо малой, если /у иастатько велико, что Ярд~~~(.
Пока>ките также, что в симметричном случае, когда Р— и, понраяочный член а (!П) исчезает и аорядок ошибки стгновнгси равным (д(ру) 4. Свойства распределения /)уассона. Рассмотрите распределение Пуассон» (П.23). а) Покажите, что зто распределение правильно нормировано, т. е., что ~а Р (л) = 1. а б) Вычислите дисперсию л и покажите, что она равна )«. Б.
Появление опечаток. Предположим, что типографские ошибки, совершаемые наборщиком, имеют случайный карактер и что кинга из 600 страниц со- 339 держит 600 таких опечаток. Воспользовавшись распределением Пуассона, вы- числите вероятность того, что а) страница не содержит опечатки, б) страница содержит не меньше трех опечаток. 8.
Радиоактивный распад. Рассмотрим альфа-частицы, испускаемые радио- активным источником в течение некоторога интервала времени г. Предстзиим себе этот интервал разделенным на >,ольшое число малых интервалов длиной Лд Так как альфа. частицы нспускаются случайным образом, вероятность распада в течение любого из интервалов ЛГ совершенно не зависит от того, происходили ли распады в других интервалах времени. Кроме того, интервалы могут быть взяты настолько малымн, что верон>ностыа более чем одного распада в течение интервала можно пренебреш.
Это означает, что сслн р — вероятность распада в течение ннтернала Л! (рц !), >о (! — р) — вероятность того, что за это время не произойдет распада. Каждый паш интервал >ЛГ паже~, таким образом, рас- сматриватьсч как незаинсимое испытание; всего мы имеем д>= г>Л( таких испы- таний за время д а) Покажите, что вероятность Р(л) того, что за время г произойдет и распа- дов, определяется распределением Пуассона. б) Предположим, что активность радиоактивного источника такона, что среднее число распахан в минуту равно 24. Какова вероятность пзблк>денна и распахан за 1О сгк> Получите приближенные значения вероятностей для всех целых и от О до 8. 7. Столкнамниг,на>гнул газа, Разделим время ва малые интервалы Лг.
Пусть р — очень малая вероятность того, что молекула газа испытывает столкнонение н течение одного из н>мервзлан Л д а) Воспольэоваишись распределением Пуассона, покажите, что вероятность Рм того, что молекула не испытает столкновение в течении Л> последовательных пн>ервалов, равна Рзр — -г б) Заннсан р=ш ЛГ (здесь ш — вероятность столкновения в единицу времени) и выразив Л> через протекшее время г, покажите, что вероятность Р(с) не испытзть столкновения в теченке времени Г равна Р(Г)=г""~. Сравните этот результат с результатом, полученным н задаче 8.!2 нз других соображении.
8. Флуктуипии н>о>щан»> тонкого слал. Помешенньш на накаливаемую нить металл испаряется в вакууме. Лтомы металла попадают нз кварцевую пластинку, расположенную на некотором расстоянии от нити я абрах>ют на ней тонкий л>е- талтнческий слой. Плас>инка нзходнтсл прл низкой >емпературе, и каждый атом, попавший на пластинку, не испытываег мигранян. дтомы с равной вероят- ностью поглощаются любьш участком поверхности пластинки. Рассмотрим элемс>ю площади пластинки размером Ьг (!> имеет порядок диа- метра атал>а). Покажите, что число атомов металла, которое может поглотить такой эле»ент, приближенно описывается распределением Пуассона. Попустим„ что нспареннаго металла ласта>пню, чтобы образовать нз позер>нос>п пластинки пленку со средней талцш>шй в >несть атомных слоев.
Какая ча ть поверхности пластинки окажется вообще не покрытой металлом) Какая >вать поверхности будет покрышка тре>ш н шестью слоями соответственно? 9. Сн>гиена л>отагти рагнргдг.мнил Пристани. Чгобы иыяснпть степень точ- ности распределшшл Пуассона, воспользуемся следующим порядком разно жения, сделанном> в (П.2). а) Воспольауйтесь явным выражением для ХУ(М вЂ” и)! и разложением его логарифма, чтобы показать, что М),н Г л(» — !)1 б) Разложив !п (! — Р) до членов, пропорциональных рз, получите улучшенное приближение для (! — р)д'-". в) Покажите теперь, что биномиальное распределение может быть пред- ставлено выражением Лн Г и — (и — )с)з 1 Р (и) - — г-' ехр ! и! ( 2Л' г) Воспользовавшись этим результатом, поиажите, что распределение Пуассона справедливо пока Х~сдпб н в(~Л"~м а совершаемая ошибка меньше нли порядка ().э-'гнкУ аЛ'. 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
