Рейф Ф. Статистическая физика (1185091), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Заметим, что если только р пли г) не очень близки к О, это значение п не может лежать близко к О илн к Ф. Таким образом, если ЛГ велико, то и и является большим числом, и интересуюшие нас числа п, близкие к и, также велики. Но если и велико, то при изменении л на единицу Р(п) меняешя незначительно, т. е. ~Р(п+ 1) — '( Н<<Р( ), и Р является медленно меняющейся функцией п. Поэтому с хорошим приближением Р можно считать плавной функцией непрерывной переменной и, хотя физическое значение имеют только целые л. Второе обстоятельство, облегчающее нашу задачу, заключается в том, что логарифм Р являстся значительно медленнее меняющейся 321 функпией л, чем Р.
Влгесто того чтобы иметь дело непосредственно с Р, нам легче исследовать поведение 1п Р и найти для этой величины хорошее приближение, пригодное в достаточно большой области изменения переменной гг. Логарифмируя (1), мы имеем !п Р =!пМ! — 1пл! — 1п (М вЂ” л)! +л!яр+(М вЂ” л) 1и д.
(2) Значение и= — л, при котором Р достигает максимума, определяетсп из условия ггР— =0 ггл или, что эквивалентно, из условия максимума 1п Р, гг!п Р 1 ДР = — — =О. ггл Р ггл Обратим внимание на то, что все факториалы в выражении (2) являются числами„значительно большими единицы. Поэтому мы можем для каждого факториала воспользоваться приближенной формулой (М. 7), из которой следует, что для любого числа пг, зьшчительно большего единипы, гп)~1, л'гп лн '- 1плг. Таким образом, дифференпируя (2), мы с хорошим приближением имеем л'1и Р ггл = — )п л+ 1п (М вЂ” л) +!п р — ~п г). [51 Чтобы найти максимум Р, выражение (5) следует приравнять нулю; или (М вЂ” л) Р— — =1 л д Поэтолгу (М вЂ” л) р =- гщ Мр=-л(р+г)).
илн (6) Чтобы исследовать поведение !п Р вблизи максимума, иам следует разложить его в окрестности и в ряд Тейлора. й)ы ггожегг З22 Так как р+л=1, то значение л=гг, отвечающее максимуму Р, оказывается равным написать !п Р(а) =- ~д)пР~ + ! ~~ 1" ~~ з+ ! ~~ !" ~у~ ! ..., (7) у=п — й, (()) з квадратные скобки означают, что производные берутся з точке п=й. Так как разложение производится в окрестности точки, соответствующей максимуму Р, первая производная (см.
(3)! обращается в нуль. Следукпцие производные могут быть получены последовательным дифференцированием (5). В частности, Дв1П Р ! М ила л Л' — л л(М вЂ” л) ' Значение этой производной при и= — и, т. е. прн п=Мр и М вЂ” и =- М(1 — Р)=Ма, равно Теперь выражение (7) принимает вид (и Р (и) = 1п Р (й) — — '+ 2 мое Р (и) — Ре-ачзлоч. = Рн е -л1!зллч (9) где мы написали Р =— Р(л). Заметим, что из-за экспоненциального множителя вероятность Р(л) в (9) становится пренебрежимо малой по сравненшо со значениями в максимуме Р, если и настолько велико, что уМ(МРП))1, илп )у~ ) (Мрп)п'.
Вероятность Р(л) имеет заметное значение только в области 1у( ~ (Мрд)ч~. Здесь величина рдостаточно мала для того, чтобы в разложении (7) можно было пренебречь всеми членами высших порядков, кроме оставленного нами члена, пропорционального уз *). Л(ы приходим, таким образом, к выводу, что выражение (9) действительно является хорошим приближением к вероятности Р(п) в области, где эта вероятность имеет заметную величину, Величина Р з (9) может быть выражена через р н д с помощью условия нормировки (10) где суммирование выполняется по всем возможным значениям а.
Так как Р(п) мало меняется при изменении целого значения на единицу, мы можем заменить сумму (10) интегралом. Область значений и протяженностью пл содержит е(л возможных значений Р(п). ") это верна, пока (Урд)*/е)) 1. См. дополннтельнуго задачу з. Таким образом, условие (10) принимает вид .Г и си Р ( ) ! ~ Р— м-и) 727(РР ! Р ~ -г) 7)жве и Для облегчения интегрирования мы производим его от — оо до —.'-оо. Такое приближение является очень хорошим, так как Р(п) пренебрежимо малб при достаточно больших значениях !и — и!. Воспользовавшись формулой (М.23), мы получаем пз (11) Р )7 2пЛ) р() =- 1, Р =.= (12) )' 2лжрг( Используя этот результат и значение и=-Л)р пз (6), мы получаеьз следующее выражение для вероятности Р(а): (!3) Зак(етим, что вычисления по формуле (13) гораздо про(пе вычислений по формуле (!), так как (13) Дп пп не содержит факториалов.
Вероятность, определяемая формуламп (9) и (13), известна как гауссовское рос)(ределенае. Оно было получено нами в реп" 1 т зультате разложения в ряд логарифма. Поэтому нет ничего удивительного, что гауссовское рас() и )7 пределенис в статистических рассуждениях появляется очень часто, когда рассматриваемые числа велики. Р(п) Рис.
П.(. Гауссовское распредеаеиае плоти к(и вероитиостп ('(и) ак Ф)мидии и. Вероктиость ж(х) того, гго и орпипмаетэиаыивгп аежажие между и — г и и — 'к, анред.ааетси оаыиадыа под кривой. ограиичеииой этим интервалом. Вычисаепии показы. «а~от, что если Ьп оэиачаст стаадартиое откаовсиие от и, то йг(аи)=О,ВВЗ, У(2ап)- =0,954 и и'(Зти)==0,097. Выражением (!3) для Р(п) удобно воспользоваться прн вычислении различных средних значений и. Вычисление с)ч(м может быть сведенб к вычислению эквивалентных интегралов. Это выполняется тем же методом, который был использован при вычислении нормируюжего множителя в (!1!. Мы имеем, таким образом, н==~ярр(п)пп=(2пмрп) '(в ~ е-(Р пр)вгпрелвп= -Ф е о =(2пгурц)-()в ~ е-риз"Рв(й-ру)пу= .( м вы =в !2лмрц) 1)в ) е Р (~~рвпу+!2нмрд) '(в ~ е "7 Рвупу Первый интеграл совпадает с интегралом в (1!).
Он равен (2лй!Ра)Ч.. Второй интеграл обращается в нуль; это ясно из соображений симметрии, так как подынтегральное выражение нечетно (оно имеет противоположные знаки дли +у и — у), и вклады в интеграл прн значениях +у и — у уничтожают друг друга. Таким образом, мы получаем л=л=жр, (! 4) (Лл)а=(л — л)'.—..
~ «Р(л)(п — МР)а=- э О (2пйра) — ыэ ~ е-!а-.ы«!'Мл«а (л ЧР)хил.= =(2лиру) Ыа ~ е «Чгж«а уа,Уу —:О Используя (М.26), мы получаем, что этот интеграл равен (Лл)х= трр7. (15) Таким обратом, стандартное отклонение от и равно *) Лл= Р А'РУ.
(16) Независимо от того, как мы получили гауссовское распределение, мы можем определить его полностью с помощью двух парамстроа л и Лл [см. (14) и (16)1; Р(л)= ехр ~ — — ( — ) ~. (17) Введем переааеннучо л — л г === —, так что л = л+(Лл) г, Лл с помощью которон выражению (!7) «южно придать более компактный вид; Р (л) Лл= — е 1 -1172)ач )' 2л Заметим, что гауссовское распределение симметрично относительно перемен. ной г, т. е. значения Р(л) для г и — г совпадают. П.2. Распределение Пуассона Рассмотрим снова биномиальное распределение (2.14): Р (л) =, ', ', р" (1 — р)м ". (18) В предыдугдем пункте мы показали, что если 7«ф>1, то выражение (18) можно приближенно представить гауссовским распределением, и такое приближение справедливо в области значений переменной *) Заметим, что (!4) н (15) точно совпадают с результатами (2.66) и (2.67), полученными в тексте при более общем условии произвольной величины М.
325 т. е. среднее значение и равно значению я=(ар, при котором вероятность Р имеет максимум. Точно 1ак же мы получаем выражение для дисперсии а числа л, представляющие интерес, также малы: л< У. (20) Б противоположность ситуации, рассмотренной при обсуждении гауссовского приближения, число л может быть произвольно малб. Рассмотрим теперь приближение, соответствующее условиям (19) и (20). Заметим прежде всего, что Лл , = Л/ (У вЂ” 1) (Л' — 2)...
(Л/ — л + 1). Так как и(У, каждый л~ножитель справа мало отличается от У, и мы имеем Ь'! ф» У. (21) Обратимся к множителю — «)и-» или к его логарифму 1п у = (У вЂ” л) 1п (1 — р). Так как исай, мы можем считать У вЂ” лжи. Далее, условие р ~! разрешает нам ограничиться первым членом разложения логарифма в ряд Тейлора, т. е. мы полагаем 1и (1 — р)= — р. Таким образом, )пуж — Ир, или у=(1 — р)~ " е»г. (22) Подставляя приближения (21) н (22) в выражение (18), мы получаем Р(л) = — р"е-лг, у» »! илн 1» Р(л) = — е-', а! „(23) где )~ = — )Чр. С помощью величины Х условие (19) можно записать так: Х((У. (24) (25) п, для которой вероятность Р(л) имеет заметное значение (т.
е. в области, не слишком удаленной от значения и, отвечающего максимуму Р(л), Мы рассмотрим теперь приближение к (18), справедливое в другой области. Это приближение имеет значение в случае, если вероятность р достаточно мала: р<(1, (19) Формула (23) называется распределением Пуассона. Заметны, что из-за коэффициента и! и знаменателе величина Р(п) очень быстро убывает, когда и становится достаточно большилг. Действительно, если Л<.1, то Ли есть убывающая функция п и поэтому множитель Р(п) монотонно убывает с ростом и. При Л)1 Ля увеличивается с ростом и, поэтому множитель Л"гггг!, а значит, и функция Р(гг) проходят через максимулг вблизи ггжЛ и уменьшаются с дальнейи~гм ростом и "). В любом случае, когда и >.
Л, вероятность Р(п) Л-— становится пренебрежимо малой. 0,4 2 В области значений и < Л, где величиной Р(п) нельзя пренебречь, условие (25) означает, что гг<Л=<йг. При этом условие(20), использовавшееся при выводе 0 распределения Пуассона, выпол- 0 г 0 3 4 0 8 7 8 и — м ияется автоматически. Из (2.66) следует, что параметр Л, определенный равенством (24), равен среднему значению гг.' 04 Л=-п. (26) 0 Отметим, что для данного значения Л или и условие (25) илн (19), требующее, чтобы р(<1, 0 1 0 3 4 0 0 7 8 выполняется все лучше и лучше и — в ПО Мсрс ТОГО, Каи )у — ьоо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
