Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 13
Текст из файла (страница 13)
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛìàêñèìóìû è ìèíèìóìû, ôèãóðèðóþùèå â îïðåäåëåíèÿõ x̃0 , ỹ 0 , äîñòèãàþòñÿ. Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ èãðû Γ00 , ïîñêîëüêóïî òåîðåìå 2.2 ôóíêöèÿ Áåëëìàíà íåïðåðûâíà íà ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïàêòàõ.Îïðåäåëèì âåëè÷èíódef F (x1 )ṽ = max F (x1 )x1 ∈U1=max min F (x1 , y1 ) = ...x1 ∈U1 y1 ∈V1 (·)= max min ... maxx1 ∈U1 y1 ∈V1 (·)min F (xT , y T ).xT ∈UT (·) yT ∈VT (·)Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿÒåîðåìà 8.1 (Öåðìåëî). Âñÿêàÿ ìíîãîøàãîâàÿ àíòàãîíèñòè÷åñêàÿèãðà ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé Γ0 (èëè Γ00 ) èìååò ðåøåíèå (x̃0 , ỹ 0 , ṽ).Äîêàçàòåëüñòâî.
Äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ F (x̃, ỹ) èìååò ñåäëîâóþ òî÷êó (x̃0 , ỹ 0 ) íà X̃ × Ỹ . Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî1) F (x̃0 , ỹ) ≥ ṽ ∀ ỹ ∈ Ỹ ;2) F (x̃, ỹ 0 ) ≤ ṽ ∀ x̃ ∈ X̃.Äîêàæåì íåðàâåíñòâî 1). ÈìååìF (x̃0 , ỹ) ≥ min F (x̃0 , ỹ1 , ..., ỹT −1 , yT ) = F (x̃0 , ỹ1 , ..., ỹT −1 ) =yT ∈VT (·)def x̃T0=max F (x̃01 , ..., x̃0T −1 , xT , ỹ1 , ..., ỹT −1 ) =xT ∈UT (·)= F (x̃01 , ..., x̃0T −1 , ỹ1 , ..., ỹT −1 ) ≥ ...
≥ F (x̃01 , ỹ1 ) ≥ max F (x1 ) = ṽ.x1 ∈U1Íåðàâåíñòâî 2) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Ïðèìåð 8.1. Ïîêàæåì, ÷òî èãðà "øàõìàòû"èìååò ðåøåíèå. Ñóùåñòâóåò òàêîå öåëîå ÷èñëî T, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðàâèëàìè èãðû ëþáàÿøàõìàòíàÿ ïàðòèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ íå ïîçäíåå õîäà T. Ïîýòîìó áåç ïîòåðèîáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, âñå ïàðòèè ïðîäîëæàþòñÿ T õîäîâ1 . Øàõìàòûÿâëÿþòñÿ èãðîé âèäà Γ0 . Ut (xt−1 , y t−1 ) åñòü ìíîæåñòâî ðàçðåøåííûõ ïðàâèëàìè àëüòåðíàòèâíûõ âûáîðîâ õîäà áåëûìè (ïåðâûì èãðîêîì) íà t-ìõîäó â ïîçèöèè, îïðåäåëÿåìîé ïðåäûäóùèìè õîäàìè èãðîêîâ (xt−1 , y t−1 ).1 Åñëèïàðòèÿ çàêàí÷èâàåòñÿ ðàíüøå, òî èãðîêè äåëàþò íåîáõîäèìîå ÷èñëî ôèêòèâíûõ õîäîâ, íå âëèÿþùèõ íà èñõîä èãðû.78 8.
Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûÀíàëîãè÷íî èíòåðïðåòèðóåòñÿ ìíîæåñòâî Vt (xt , y t−1 ) âûáîðîâ õîäà ÷åðíûìè íà t-ì õîäó. Âûèãðûø áåëûõ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ïðàâèëóåñëè âûèãðàëè áåëûå,1,F (xT , y T ) = 0,åñëè âûèãðàëè ÷åðíûå,1/2, åñëè ñûãðàëè âíè÷üþ.Ïî òåîðåìå Öåðìåëî èãðà "øàõìàòû"èìååò ðåøåíèå. Ïðàêòè÷åñêîåçíà÷åíèå ýòîò ðåçóëüòàò èìååò äëÿ ïîçèöèé ýíäøïèëÿ, ãäå îáû÷íî èùóòôîðñèðîâàííûé âûèãðûø, ëèáî íè÷üþ.Ïðèìåð 8.2. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó52A=343720123240.35Ðàçîáüåì ìíîæåñòâî åå ñòðîê íà ïîäìíîæåñòâà M1 = {1, 2} è M2 ={3, 4}, à ìíîæåñòâî ñòîëáöîâ − íà ïîäìíîæåñòâà N1 = {1, 2} è N2 ={3, 4}.
Îïðåäåëèì äâóõøàãîâóþ èãðó ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé.Øàã 1. Ñíà÷àëà ïåðâûé èãðîê âûáèðàåò íîìåð α ∈ {1, 2} ìíîæåñòâàMα , èç êîòîðîãî îí áóäåò íà âòîðîì øàãå äåëàòü âûáîð ñòðîêè ìàòðèöûA. Çàòåì âòîðîé èãðîê, çíàÿ α, âûáèðàåò íîìåð β ∈ {1, 2} ìíîæåñòâà Nβ ,èç êîòîðîãî îí áóäåò íà âòîðîì øàãå âûáèðàòü íîìåð ñòîëáöà ìàòðèöûA.Øàã 2. Ïåðâûé èãðîê âûáèðàåò íîìåð ñòðîêè i ∈ Mα , çíàÿ α, β , çàòåìâòîðîé èãðîê âûáèðàåò íîìåð ñòîëáöà j ∈ Nβ , çíàÿ α, β, i.Âûèãðûø ïåðâîãî èãðîêà ðàâåí aij .Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ïîçèöèîííîé ôîðìîé èãðû, êîòîðóþ áóäåì îòîáðàæàòü íà ïëîñêîñòè â âèäå äåðåâà.79ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛk 2 PPPP2PPP1 1k@@12@k J2Jkk32111kBB2 1BB3 25B2B72k11BB@@2@k31@3kJJ 2JBB31B4B43230k2kBBBB0 3JJ 4J2143 J4Jkk320kB2B0BBBB3BBB 4 1 B2B B2k3B4B33 2B4B5Ðèñ.
8.1Íà÷àëüíàÿ (êîðíåâàÿ) âåðøèíà äåðåâà1 ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó õîäó ïåðâîãî èãðîêà (âûáîð àëüòåðíàòèâû α), â âåðøèíàõ âòîðîãî óðîâíÿ àëüòåðíàòèâó β âûáèðàåò âòîðîé èãðîê è ò.ä.  ôèíàëüíûõ âåðøèíàõ, îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûì ïàðòèÿì èãðû, óêàçàíû âûèãðûøè ïåðâîãî èãðîêà F (α, β, i, j) = aij .  âåðøèíàõ ÷åòâåðòîãî óðîâíÿ óêàçàíûçíà÷åíèÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà F (α, β, i) = min F (α, β, i, j), â âåðøèíàõj∈Nβòðåòüåãî óðîâíÿ − F (α, β) = max F (α, β, i), â âåðøèíàõ âòîðîãî óðîâi∈Mαíÿ − F (α) = min F (α, β), à â íà÷àëüíîé âåðøèíå − çíà÷åíèå èãðûβ=1,2ṽ = max F (α) = 2.α=1,2Óêàæåì îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè èãðîêîâx̃0 = (α0 , ĩ0 (α, β)), ỹ 0 = (β̃ 0 (α), j̃ 0 (α, β, i)) :α0 = 2, ĩ0 (2, 1) = 3, ĩ0 (2, 2) = 3, β̃ 0 (1) = 2, β̃ 0 (2) = 1,j̃ 0 (1, 2, 1) = 3, , j̃ 0 (1, 2, 2) = 4, j̃ 0 (2, 1, 3) = j̃ 0 (2, 1, 4) = 2.Îòìåòèì, ÷òî ñíà÷àëà ìû ïîäñ÷èòàëè ôóíêöèþ Áåëëìàíà, à çàòåì ïîñòðîèëè â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå êîìïîíåíòû îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé.
Âðåçóëüòàòå áûëà äîñòèãíóòà íåêîòîðàÿ ýêîíîìèÿ âû÷èñëåíèé, ïîñêîëüêóýòè êîìïîíåíòû íåîáÿçàòåëüíî ñëåäóåò îïðåäåëÿòü ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ1 Äåðåâîèçîáðàæåíî â ïåðåâåðíóòîì âèäå, ïîñêîëüêó òàê åãî óäîáíåå ðèñîâàòü.80 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûàðãóìåíòîâ. Íàïðèìåð, α0 = 2 è çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ĩ0 (α, β) íóæíî íàõîäèòü òîëüêî ïðè α = 2.Åùå áîëåå ñóùåñòâåííîå ñîêðàùåíèå âû÷èñëåíèé äîñòèãàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèåìîâ òåîðèè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà.Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïðîãðàììèðîâàíèè øàõìàò.  òåêóùåé ïîçèöèèøàõìàòíîé ïàðòèè ïðè õîäå, ñêàæåì, áåëûõ äåðåâî èãðû ïîðîæäàåòñÿíà ãëóáèíó íåñêîëüêèõ õîäîâ.  ôèíàëüíûõ âåðøèíàõ äåðåâà âûèãðûøáåëûõ çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ îöåíî÷íîé ôóíêöèè, ó÷èòûâàþùåé ìàòåðèàëüíûå è ïîçèöèîííûå îñîáåííîñòè ôèíàëüíîé ïîçèöèè.
Ïîñëå ýòîãî ðåøàåòñÿ ïîëó÷èâøàÿñÿ èãðà ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé è íàõîäèòñÿ îïòèìàëüíûé õîä áåëûõ â òåêóùåé ïîçèöèè.Îáû÷íî äåðåâî èãðû ïîðîæäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèâíîé ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ïîääåðåâüåâ. Ïðè ýòîì â âåðøèíàõ äåðåâà âû÷èñëÿþòñÿçíà÷åíèÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà.
Ðàññìîòðèì âîçìîæíûé õîä áåëûõ a1 â òåêóùåé ïîçèöèè. Ïóñòü ïîñòðîåíî ïîääåðåâî èãðû, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó õîäó è ïîëó÷åíà îöåíêà õîäà a1 (òî÷íåå, ïîçèöèè, âîçíèêàþùåé ïîñëåýòîãî õîäà), ðàâíàÿ 4. Ðàññìîòðèì äðóãîé õîä áåëûõ a2 â òåêóùåé ïîçèöèè. Òåïåðü ïóñòü ÷åðíûå âûáðàëè õîä b1 è óñòàíîâëåíî, ÷òî åãî îöåíêàðàâíà 1. Òîãäà îöåíêà õîäà a2 áóäåò íå áîëüøå 1 è åãî ìîæíî îòáðîñèòü, ïîñêîëüêó îí õóæå õîäà a1 .
Òàêèì îáðàçîì, çäåñü íå ïîòðåáîâàëîñüïîëíîå ïîñòðîåíèå ïîääåðåâà õîäà a2 . Îöåíêà õîäà a1 â äàííîì ñëó÷àåíàçûâàåòñÿ α-îòñå÷åíèåì.Åñëè â òåêóùåé ïîçèöèè õîä ÷åðíûõ, òî àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå β -îòñå÷åíèÿ.Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðû ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé.Îïðåäåëèì òåïåðü áîëåå îáùóþ ìîäåëü ìíîãîøàãîâîé èãðû, â ïðîöåññå êîòîðîé èãðîêè ìîãóò íå èìåòü ïîëíîé èíôîðìàöèè î ñäåëàííûõ âûáîðàõ. Îãðàíè÷èìñÿ èãðàìè Γ0 ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè Ut (·), Vt (·), t =1, ..., T.Ïóñòü Ht1 (Ht2 ) − ìíîæåñòâî âñåõ îòðåçêîâ ïàðòèé âèäà (xt−1 , y t−1 )(âèäà (xt , y t−1 )). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ht1 ðàçáèòî íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà Ht1 (αt ), αt ∈ Lt .
Ïåðåä âûáîðîì xt ïåðâîìóèãðîêó èçâåñòíî, ÷òî (xt−1 , y t−1 ) ∈ Ht1 (αt ). Àíàëîãè÷íî, ïóñòü ìíîæåñòâîHt2 ðàçáèòî íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà Ht2 (βt ), βt ∈ Bt . Ïåðåäâûáîðîì yt âòîðîìó èãðîêó èçâåñòíî, ÷òî (xt , y t−1 ) ∈ Ht2 (βt ). Åñëè, â÷àñòíîñòè, αt = (xt−1 , y t−1 ), βt = (xt , y t−1 ), à ìíîæåñòâà Ht1 (αt ) è Ht2 (βt )ñîäåðæàò ïî îäíîìó ýëåìåíòó αt è βt ñîîòâåòñòâåííî, òî ïîëó÷èì èãðó ñ81ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛïîëíîé èíôîðìàöèåé.Ñòðàòåãèÿ x̃ ∈ X̃ ïåðâîãî èãðîêà çàäàåòñÿ íàáîðîì ôóíêöèé x̃t îò αt ,ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ x̃t (αt ) ∈ Ut (αt ), t = 1, ..., T. Ñòðàòåãèÿ ỹ ∈ Ỹâòîðîãî èãðîêà çàäàåòñÿ íàáîðîì ôóíêöèé ỹt îò βt , ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ ỹt (βt ) ∈ Vt (βt ), t = 1, ..., T. Ïî îïðåäåëåíèþ F (x̃, ỹ) = F (xT , y T ),ãäå ïàðòèÿ èãðû (xT , y T ) îäíîçíà÷íîçàäàåòñÿ ñòðàòåãèÿìè èãðîêîâ x̃ èỹ.
Èòàê, îïðåäåëåíà èãðà Γ = X̃, Ỹ , F (x̃, ỹ) â íîðìàëüíîé ôîðìå.Ïðèìåð 8.3. Ïóñòü αt = βt = (xt−1 , y t−1 ),Ht1 (αt ) = {αt }, Ht2 (βt ) = {(xt , y t−1 ) | xt ∈ Ut (βt )}.Çäåñü íà êàæäîì òåêóùåì øàãå èãðîêè íå çíàþò âûáîðà äðóã äðóãà, íîîíè çíàþò âñå âûáîðû, ñäåëàííûå íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Ïðè ýòîì áóäåìãîâîðèòü îá èãðå ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Êîíêðåòíûì ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ïîâòîðÿþùàÿñÿ èãðà "îðëÿíêà".Óïðàæíåíèå 8.1. Ïîêàçàòü, ÷òî â èãðå Γ ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ïðåäûäóùèõ øàãàõ (ïðèìåð 8.3) íèæíåå è âåðõíåå çíà÷åíèÿ èãðû çàäàþòñÿñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè:v = max minmaxmin···v = min maxminmax···x1 ∈U1 y1 ∈V1 x2 ∈U2 (x1 ,y1 ) y2 ∈V2 (x1 ,y1 )y1 ∈V1 x1 ∈U1 y2 ∈V2 (x1 ,y1 ) x2 ∈U2 (x1 ,y1 )maxminF (xT , y T ),minmaxF (xT , y T ).xT ∈UT (αT ) yT ∈VT (βT )yT ∈VT (βT ) xT ∈UT (αT )Óïðàæíåíèå 8.2.
Íàéòè âåðõíåå è íèæíåå çíà÷åíèÿ èãðû èç ïðèìåðà 8.2, ïðåäïîëàãàÿ ïîëíóþ èíôîðìèðîâàííîñòü èãðîêîâ î ïðåäûäóùèõøàãàõ.Åñëè â èãðå Γ v < v, òî èãðîêè äîëæíû èñïîëüçîâàòü ñìåøàííûåñòðàòåãèè. Îãðàíè÷èìñÿ ïðèìåðàìè.Ïðèìåð 8.4. Íàéäåì ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðû èç ïðèìåðà 8.2, ïðåäïîëàãàÿ ïîëíóþ èíôîðìèðîâàííîñòü èãðîêîâ î ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Íà âòîðîì øàãå çíà÷åíèÿ α, β èãðîêàì èçâåñòíû è âîçíèêàåòïîäûãðà ñ 2×2-ïîäìàòðèöåé (aij )i∈Mα j∈Nβ ìàòðèöû A. Ïóñòü(p0 (α, β), q 0 (α, β), v(α, β)) − ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ óêàçàííîéïîäûãðû.  ñëåäóþùåé òàáëèöå ýòè ðåøåíèÿ ïðèâåäåíû ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ α è β.82 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûÒàáë. 8.1α1122β1212p0 (α, β)(5/7,2/7)(2/5,3/5)(1,0)(1,0)q 0 (α, β)(4/7,3/7)(4/5,1/5)(0,1)(1,0)v(α, β)29/78/523Íà ïåðâîì øàãå ïåðâûé èãðîê ñòðåìèòñÿ óâåëè÷èòü ñâîé îæèäàåìûéâûèãðûø, ïîëó÷àåìûé íà âòîðîì øàãå, à âòîðîé èãðîê ñòðåìèòñÿ ýòîòâûèãðûø óìåíüøèòü. Ïîýòîìó íà ïåðâîì øàãå èãðîêè ó÷àñòâóþò â èãðåñ ìàòðèöåé29/7 8/5(v(α, β))2×2 =.23Ðåøåíèå ýòîé èãðû â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èìååò âèä(p0 , q 0 , v) = ((35/124, 89/124), (49/124, 75/124), 323/124).Èòàê, ïåðâûé èãðîê äîëæåí âûáèðàòü α = 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 35/124, àâòîðîé èãðîê äîëæåí âûáèðàòü β = 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 49/124.
Çíà÷åíèåèãðû Γ ðàâíî 323/124.Ïðèìåð 8.5. Âåäóùèé òåëåâèçèîííîãî øîó ïðåäëàãàåò ó÷àñòíèêó ïîêàçàòü íà îäíó èç òðåõ çàêðûòûõ äâåðåé, çà êîòîðûìè ðàçìåùåíû "Ìåðñåäåñ"è äâà êîçëà. Ïîñëå ýòîãî âåäóùèé îòêðûâàåò êàêóþ-ëèáî èç äâóõíåâûáðàííûõ äâåðåé, çà êîòîðîé íàõîäèòñÿ êîçåë, è âòîðè÷íî (øàã 2)ïðåäëàãàåò ó÷àñòíèêó îòêðûòü îäíó èç îñòàâøèõñÿ äâåðåé.
Åñëè çà äâåðüþ ñòîèò "Ìåðñåäåñ", òî ó÷àñòíèê ïîëó÷àåò åãî â êà÷åñòâå ïðèçà, åñëè −êîçåë, òî ó÷àñòíèê íè÷åãî íå ïîëó÷àåò. Ïóñòü âûèãðûø ó÷àñòíèêà ðàâåí1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïîëó÷åí èì ïðèç èëè íåò. Íàéäåì îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè ó÷àñòíèêà (ïåðâîãî èãðîêà) è âåäóùåãî øîó (âòîðîãîèãðîêà), à òàêæå çíà÷åíèå èãðû.Åñëè íà ïåðâîì øàãå ïåðâûé èãðîê ïîêàçàë íà äâåðü, çà êîòîðîé ñòîèòêîçåë, òî ÿñíî, ÷òî íà âòîðîì øàãå îí äîëæåí îòêðûòü äðóãóþ äâåðü èíàâåðíÿêà ïîëó÷èòü ïðèç.
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ñîîáðàæåíèÿ ñèììåòðèè,óêàæåì îïòèìàëüíûå ñìåøàííûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ.Îïðåäåëèì ñòðàòåãèþ p0 ïåðâîãî èãðîêà: íà ïåðâîì øàãå îí äîëæåíâûáðàòü îäíó èç òðåõ äâåðåé ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/3, à íà âòîðîì øàãå îòêðûâàòü äðóãóþ îñòàâøóþñÿ äâåðü.Îïðåäåëèì ñòðàòåãèþ q 0 âòîðîãî èãðîêà: îí äîëæåí ïîìåñòèòü "Ìåðñåäåñ"çà îäíîé äâåðüþ èç òðåõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/3. Åñëè ïåðâûé èãðîê83ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛïîêàçàë íà äâåðü ñ "Ìåðñåäåñîì", òî âòîðîé èãðîê äîëæåí îòêðûòü îäíóèç äâóõ äðóãèõ äâåðåé ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2.Çíà÷åíèå èãðû ðàâíî 2/3.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îïòèìàëüíîñòè óêàçàííûõ ñòðàòåãèé ïðîâåðèìóñëîâèå (∗).
Ïðè ëþáîé ÷èñòîé ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà ïåðâûé èãðîê, ïðèìåíÿÿ p0 , ïîêàçûâàåò íà äâåðü ñ êîçëîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 2/3.Íà âòîðîì øàãå îí óêàçûâàåò íà äðóãóþ äâåðü è âûèãðûâàåò ïðèç. Ñäðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü âòîðîé èãðîê ïðèìåíÿåò ñòðàòåãèþ q 0 . Ïîêàæåì,÷òî ïåðâûé èãðîê íå ìîæåò âûèãðàòü ïðèç ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé,÷åì 2/3. Ðàññìîòðèì òèïè÷íóþ ÷èñòóþ ñòðàòåãèþ ïåðâîãî èãðîêà: ñíà÷àëà îí âûáèðàåò ïåðâóþ äâåðü, íà âòîðîì øàãå îí îòêðûâàåò âòîðóþäâåðü, åñëè âòîðîé èãðîê îòêðûë òðåòüþ è îòêðûâàåò ïåðâóþ äâåðü, åñëè âòîðîé èãðîê îòêðûë âòîðóþ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
