Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ïîëîæèì c = (c1 , c2 ). Òîãäà ôóíêöèÿ ðèñêàdef2F (x, c) = F (x, y) = E(x − c1 Z − c2 )2 = c21 EZ + 2c1 (c2 − x)EZ + (x − c2 )2 =!D(x)D(x)= c21+ x2 + 2c1 (c2 − x)x + (x − c2 )2 = c21+ (c1 x − x + c2 )2nnâûïóêëà ïî c.63ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛÐàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû ñòàòèñòè÷åñêèõ èãð.Ïðèìåð 6.2. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Zi èìåþò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:(x,zi = 1,g(zi |x) =1 − x, zi = 0;D(x) = x(1 − x), x ∈ X = [0, 1].nPÏîëîæèì k =zi = nz.
Òîãäài=1kn−kg(z|x)! = x (1 − x) ,F (x, c) = c21=x(1−x)n+ x2− 2c1 x2 + 2c1 c2 x + x2 − 2c2 x + c22 =!!2n−1 2c1c1 − 2c1 + 1 x2 ++ 2c1 c2 − 2c2 x + c22 .nnÍàéäåì âûðàâíèâàþùóþ ðåøàþùóþ ôóíêöèþ y 0 (z) = c01 z+c02 . Äëÿ ýòîãîðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèén−1 2c2c1 − 2c1 + 1 = 0, 1 + 2c1 c2 − 2c2 = 0nnè ïîëó÷èì(6.2)√c01=√n1, c02 = √.n+12( n + 1)Âòîðîå ðåøåíèå√c1 = √n1, c2 = √n−12( n − 1)îòáðîñèì.Ðàññìîòðèì íà îòðåçêå X = [0, 1] áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþf 0 (x) =ãäå B(p, q) =R1xp−1 (1 − x)q−1,B(p, q)q−1xp−1dx1 − áåòà-ôóíêöèÿ, à ïàðàìåòðû p è q1 (1 − x1 )0ïîëîæèòåëüíû.
Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òîZ1EX =xf 0 (x)dx =064p.p+q 6. Èãðû ñ âîãíóòîé ôóíêöèåé âûèãðûøàÏîêàæåì, ÷òî ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ p è q ðåøàþùàÿôóíêöèÿ y 0 ÿâëÿåòñÿ áàéåñîâñêîé îòíîñèòåëüíî áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ f 0 .ÍàéäåìZ1p(z) = g(z|x)f 0 (x)dx =0Z1=xk (1 − x)n−k xp−1 (1 − x)q−1B(k + p, n + q − k)dx =.B(p, q)B(p, q)0Îòñþäà óñëîâíàÿ ïëîòíîñòüf 0 (x|z) =g(z|x)f 0 (x)xk+p−1 (1 − x)n−k+q−1=p(z)B(k + p, n + q − k)çàäàåò áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè p∗ = k + p è q ∗ = n + q − k.Áàéåñîâñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿZp∗k+pnz + p==E[X|z] = xf 0 (x|z)dx = ∗∗p +qn+p+qn+p+qX√ñîâïàäàåò ñ âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèåé y 0 ïðè p = q = 2n .Èòàê, äîêàçàíî, ÷òî äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ√nz + 0.50y (z) = √n+1− ìèíèìàêñíàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ.Èíòåðåñíî ñðàâíèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ðèñêà ïðè ìèíèìàêñíîé y 0 èêëàññè÷åñêîé z ðåøàþùèõ ôóíêöèÿõ.
ÈìååìF (x, y 0 ) ≡ v =1x(1 − x)√ 2 , F (x, z) =.n4(1 + n)Íåðàâåíñòâî F (x, y 0 ) < F (x, z) âûïîëíåíî ëèøü ïðèp√1 1+2 ndef√ .x − < ε =22(1 + n)Åñëè n âåëèêî, òî ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà ëó÷øå êëàññè÷åñêîé ëèøü ïðèçíà÷åíèÿõ x, ïðèíàäëåæàùèõ ìàëîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè 1/2. Îäíàêî,65ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛïðè ìàëûõ n èíòåðâàë çíà÷åíèé x, ãäå ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà ëó÷øå, çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ.Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ íå ñóùåñòâóåò âûðàâíèâàþùåé ðåøàþùåé ôóíêöèè è óêàçàííûé âûøå ìåòîä ðåøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé èãðû èñïîëüçîâàòüíåëüçÿ.
 òàêèõ ñëó÷àÿõ ìèíèìàêñíóþ ñòðàòåãèþ ñòàòèñòèêà y 0 ìîæíîíàéòè, ðåøàÿ íåïîñðåäñòâåííî çàäà÷óv = min max F (x, y) = max F (x, y 0 ).y∈Y x∈Xx∈XÏðèìåð 6.3. Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ îñóùåñòâëÿåò ñòðàõîâàíèå ãðàæäàíñêîé îòâåòñòâåííîñòè àâòîìîáèëèñòîâ. Âîäèòåëè îáû÷íî ðàçáèâàþòñÿ íàãðóïïû ïî íåñêîëüêèì ïðèçíàêàì (ïðîôåññèÿ, ñòàæ âîæäåíèÿ è ò.ï.).Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ãðóïïó, ñîñòîÿùóþ èç n âîäèòåëåé.
Òðåáóåòñÿîöåíèòü ñðåäíåå ÷èñëî x äîðîæíûõ ïðîèñøåñòâèé â ðàñ÷åòå íà îäíîãîâîäèòåëÿ, êîòîðûå ïðîèçîéäóò â òå÷åíèå áëèæàéøåãî ãîäà, èñõîäÿ èçèíôîðìàöèè î ïðîèñøåñòâèÿõ ïðîøåäøåãî ãîäà. Çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè êðåøåíèþ ñòàòèñòè÷åñêîé èãðû.Ïóñòü ÷èñëî äîðîæíûõ ïðîèñøåñòâèé ñ âîäèòåëåì i ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Zi , ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíàg(zi |x) =xzi e−x, zi ∈ Z = {0, 1, 2, ..., }.zi !Çäåñü EZi = x, V arZi = D(x) = x, x ∈ X = [0, x∗ ], ãäå x∗ − âåðõíÿÿãðàíü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà x. ÈìååìD(x)x+ (c1 x − x + c2 )2 = c21 + (c1 x − x + c2 )2 .nnÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò âûðàâíèâàþùåé ðåøàþùåé ôóíêöèè.Îáîçíà÷èì M (c) = sup F (x, c) è íàéäåìF (x, c) = c210≤x≤x∗v = min M (c) = M (c0 ).c1 ,c2 ≥0Ïîñêîëüêó F (x, c) âûïóêëà ïî x, M (c) = max[F (0, c), F (x∗ , c)].Óòâåðæäåíèå 6.2. Äëÿ ìèíèìàêñíîé ñòðàòåãèè y 0 (z) = c01 z + c02 âûïîëíåíî óñëîâèå F (0, c0 ) = F (x∗ , c0 ) èëèc02=+ (c01 − 1)2 x∗.2(1 − c01 )1 0 2(c )n 166 6.
Èãðû ñ âîãíóòîé ôóíêöèåé âûèãðûøàÄîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî F (x∗ , c0 ) > F (0, c0 ). Åñëè c01 > 0, òîïðè ìàëîì ε > 0(c01 )2 x∗F (x , c ) =+ (c01 x∗ + c02 − x∗ )2 > F (x∗ , c01 − ε, c02 + εx∗ ) =n∗0(c01 − ε)2 x∗=+ (c01 x∗ + c02 − x∗ )2 > F (0, c01 − ε, c02 + εx∗ ) = (c02 + εx∗ )2n0è M (c1 − ε, c02 + εx∗ ) < M (c0 ) (ïðîòèâîðå÷èå).Åñëè c01 = 0, òîF (x∗ , c0 ) = (c02 − x∗ )2 > F (0, c0 ) = (c02 )2 .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî c02 < x∗ /2. Óâåëè÷èâàÿ c02 íà ìàëîå ε > 0, ïðèäåì êïðîòèâîðå÷èþ. Ñëó÷àé F (x∗ , c0 ) < F (0, c0 ) ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî!2122 ∗(c)+(c−1)x11nmin M (c) = min.c1 ,c2 ≥00≤c1 <12(1 − c1 )Ïîñëåäíèé ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè√√x∗ n + 1 − x∗ n + 1x∗ n + 1 − 100c1 =⇒c=.2x∗ n + 1nÒàêèì îáðàçîì, ïðè îöåíêå ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà√√x∗ n + 1 − x∗ n + 1x∗ n + 1 − 10y (z) =z+x∗ n + 1n− ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ ñòàòèñòèêà.
 ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðèn = 30, x∗ = 0.5, z = 0.2 ïîëó÷àåì îöåíêó y 0 (z) = 0.16.Óïðàæíåíèå 6.3. Ïóñòü âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Zi èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþg(zi |x) = √(zi −x)21e− 2σ2 , zi ∈ E 1 ,2πσãäå äèñïåðñèÿ σ 2 ñòàòèñòèêó èçâåñòíà, à ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå x −íåò: x ∈ X = E 1 .Ïîêàçàòü, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ z ÿâëÿåòñÿ âûðàâíèâàþùåé è ìèíèìàêñíîé ñòðàòåãèåé ñòàòèñòèêà.67ÃËÀÂÀ I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛ 7.Èññëåäîâàíèå èãðîâûõ ìîäåëåéÌîäåëü "íàïàäåíèå-îáîðîíà".Èìååòñÿ n îáîðîíÿåìûõ ïóíêòîâ ñ íîìåðàìè i = 1, ..., n âîçìîæíîãîïðîðûâà ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ. Ïóñòü A è B − êîëè÷åñòâà ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ è îáîðîíû. Ýòè ñðåäñòâà ïðåäïîëàãàþòñÿ áåñêîíå÷íî-äåëèìûìè.Ñòðàòåãèÿ ïåðâîãî èãðîêà (íàïàäåíèÿ) ñîñòîèò â ðàñïðåäåëåíèè ñâîèõñðåäñòâ ïî ïóíêòàì â ñîîòâåòñòâèè ñ âåêòîðîìx = (x1 , ..., xn ) ∈ X = {x |nXxi = A,xi ≥ 0, i = 1, ..., n}.i=1Âòîðîé èãðîê (îáîðîíà) èñïîëüçóåò àíàëîãè÷íóþ ñòðàòåãèþy = (y1 , ..., yn ) ∈ Y = {y |nXyi = B,yi ≥ 0, i = 1, ..., n}.i=1Ïóñòü µi − êîëè÷åñòâî ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ, êîòîðîå ìîæåò óíè÷òîæèòüîäíà åäèíèöà ñðåäñòâ îáîðîíû íà i-îì ïóíêòå. Åñëè xi > µi yi , òî ÷åðåçi-é ïóíêò ïðîðûâàåòñÿ xi − µi yi ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ.
Åñëè xi ≤ µi yi , òî ÷åðåç ýòîò ïóíêò íàïàäåíèå íå ïðîðâåòñÿ. Îáúåäèíÿÿ îáà ñëó÷àÿ, íàõîäèìôîðìóëó äëÿ êîëè÷åñòâà ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ, ïðîðâàâøåãîñÿ ÷åðåç i-éïóíêò: max[xi − µi yi , 0]. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ âûèãðûøà ïåðâîãî èãðîêàF (x, y) =nXmax[xi − µi yi , 0]i=1− îáùåå êîëè÷åñòâî ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ, ïðîðâàâøååñÿ ÷åðåç âñå ïóíêòû.Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ F (x, y) âûïóêëà ïî y . Ïî òåîðåìå 6.4 çíà÷åíèåèãðû v = v è ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ y 0 îáîðîíû îïòèìàëüíà.
Çàéìåìñÿèññëåäîâàíèåì ýòîé èãðû â ÷èñòûõ è ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ. Áåç ïîòåðèîáùíîñòè ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ýôôåêòèâíîñòè îáîðîíû µióïîðÿäî÷åíû: µ1 ≥ µ2 ≥ ... ≥ µn è n-é ïóíêò îáîðîíû ÿâëÿåòñÿ ñëàáåéøèì.à) Ïîêàæåì, ÷òîv = max min F (x, y) = max[A − µn B, 0],x∈X y∈Yx(n) = (0, ..., 0, A)− ìàêñèìèííàÿ ñòðàòåãèÿ íàïàäåíèÿ, ñîñòîÿùàÿ â íàíåñåíèè "êîíöåíòðèðîâàííîãî"óäàðà ïî ñëàáåéøåìó ïóíêòó.68 7. Èññëåäîâàíèå èãðîâûõ ìîäåëåéÄëÿ ëþáîé ñòðàòåãèè íàïàäåíèÿ x îïðåäåëèì âñïîìîãàòåëüíóþ ñòðàòåãèþ îáîðîíû y :y i = Bxi µinXxk −1k=1µkÒîãäàmin F (x, y) ≤ F (x, y) =y∈YÅñëè B ≥nPk=1xk,µk, i = 1, ..., n.nXmax[xi − µi y i , 0].i=1òî y i ≥ xi /µi , i = 1, ..., n ⇒ F (x, y) = 0. ïðîòèâíîì ñëó÷àå y i ≤ xi /µi , i = 1, ..., n, èF (x, y) =nX(xi − µi y i ) ≤ A − µnnXi=1y i = A − µn B.i=1Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ñòðàòåãèè xmin F (x, y) ≤ max[A − µn B, 0] = min max[A − µn yn , 0] = min F (x(n) , y)y∈Yy∈Yy∈Yè x(n) − ìàêñèìèííàÿ ñòðàòåãèÿ íàïàäåíèÿ.á) Ïîêàæåì, ÷òînX1 −1v = min max F (x, y) = max[A − B, 0],y∈Y x∈Xµkk=1à0y :yi0nX1 −1= B µi, i = 1, ..., n,µkk=1− ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ îáîðîíû.Ñíà÷àëà äîêàæåì ðàâåíñòâîmax F (x, y) = max F (x(i) , y) ∀ y ∈ Y,x∈X1≤i≤n(7.1)ãäå x(i) = (0, ..., |{z}A , 0, ..., 0) − ñòðàòåãèÿ íàïàäåíèÿ, ñîñòîÿùàÿ â íàíåñåiíèè êîíöåíòðèðîâàííîãî óäàðà ïî i-ìó ïóíêòó.69ÃËÀÂÀ I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛÏðåäñòàâèì ñòðàòåãèþ x â âèäå x =nPi=1ëîé ôóíêöèèF (x, y) ≤nXxii=1Axi (i)x .AÏî îïðåäåëåíèþ âûïóê-F (x(i) , y) ≤ max F (x(i) , y).1≤i≤nÑëåäîâàòåëüíî,max F (x, y) ≤ max F (x(i) , y) ≤ max F (x, y)1≤i≤nx∈Xx∈Xè (7.1) äîêàçàíî. Äàëåå èìååìv = min max F (x, y) = min max F (x(i) , y) =y∈Y 1≤i≤ny∈Y x∈X= min max max[A − µi yi , 0] = min max[A − min µi yi , 0] =y∈Y 1≤i≤n1≤i≤ny∈Y= max[A − B max min µi yi /B, 0] = [çàìåíà ïåðåìåííûõy∈Y 1≤i≤np = y/B ∈ P = {p = (p1 , ..., pn ) |nPpi = 1, pi ≥ 0, i = 1, ..., n}] =i=1= max[A − B max min µi pi , 0] =p∈P 1≤i≤nP−1n1=[ ñì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
