Введение в теорию игр (сторонняя методичка) (1184510), страница 12
Текст из файла (страница 12)
ïðèìåð 4.4] = max[A − B, 0].µkk=1Ïðè ýòîìyi0=Bp0inX1 −1= B µi, i = 1, ..., n.µkk=1Êîãäà â èãðå ñóùåñòâóåò ðåøåíèå â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ?nP1Åñëè B ≥ A, òî v = 0 ≥ v ≥ 0 è, ñëåäîâàòåëüíî, v = v = 0.µkk=1Äëÿ íàïàäåíèÿ ëþáàÿ ñòðàòåãèÿ îïòèìàëüíà.  ýòîì ñëó÷àå îáîðîíà òàêìîæåò ðàñïðåäåëèòü ñâîè ñèëû, ÷òîáû íå ïîçâîëèòü íàïàäåíèþ, èñïîëüçóþùåìó êîíöåíòðèðîâàííûé óäàð, ïðîðâàòüñÿ íà êàêîì-ëèáî ïóíêòå.nP1, òî ôóíêöèÿ F (x, y) ñåäëîâîé òî÷êè íå èìååò. ÄåéÅñëè B < Aµkñòâèòåëüíî,k=1nX 1 −11 −1v =A−B>A−B= A − µn B.µkµnk=170 7. Èññëåäîâàíèå èãðîâûõ ìîäåëåéÇàìåòèì, ÷òî v > 0 . Ïîýòîìó v > max[A − µn B, 0] = v.â) Ïîêàæåì, ÷òî â èãðå ñóùåñòâóåò ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ âèäà (ϕ0 , y 0 , v), ãäå y 0 − ÷èñòàÿ ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ îáîðîíû, àîïòèìàëüíàÿ ñìåøàííàÿ ñòðàòåãèÿ äëÿ íàïàäåíèÿ èìååò âèä0ϕ =nXp0i Ix(i) ,i=1p0inX1 −1= µi, i = 1, ..., n.µkk=1Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ F (x, y) âûïóêëà ïî y, äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü óñëîâèå (∗) äëÿ ñìåøàííîé ñòðàòåãèè ϕ0 :F (ϕ0 , y) ≥ v ∀y ∈ Y.ÈìååìZ0F (ϕ , y) =F (x, y)dϕ0 (x) ==p0imax[A − µi yi , 0] =i=1≥ max[nXp0i F (x(i) , y) =i=1XnXnXnXmax[p0i A − µi p0i yi , 0] ≥i=1(p0i A−µi p0i yi ), 0]i=1= max[A − BnnXX1 −1= max[A −yi, 0] =µki=1k=1nX1 −1, 0] = v.µkk=1Çäåñü ìû âîñïîëüçîâàëèñü ýëåìåíòàðíûì íåðàâåíñòâîìnXmax[ai , bi ] ≥ max[i=1nXi=1ai ,nXbi ],i=1ñïðàâåäëèâîì äëÿ ëþáûõ âåùåñòâåííûõ ÷èñåë ai , bi , i = 1, ..., n.Ìîäåëü äóýëè. äóýëè ïðèíèìàþò ó÷àñòèå äâà äóýëÿíòà ( ïåðâûé è âòîðîé èãðîêè). íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè äóýëÿíòû íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè d0 èïî êîìàíäå íà÷èíàþò ñáëèæàòüñÿ.
 ðàñïîðÿæåíèè êàæäîãî äóýëÿíòàèìååòñÿ îäèí âûñòðåë, êîòîðûé îí ìîæåò ïðîèçâåñòè â ïðîòèâíèêà ñëþáîãî ðàññòîÿíèÿ (êîíå÷íî, ïðè óñëîâèè, ÷òî äóýëÿíò æèâ), îí äàæåìîæåò ïîäîéòè ê ïðîòèâíèêó âïëîòíóþ.71ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛÏóñòü pk (d) − ôóíêöèÿ ìåòêîñòè k -ãî äóýëÿíòà, ðàâíàÿ âåðîÿòíîñòèïîðàæåíèÿ ïðîòèâíèêà, åñëè âûñòðåë áûë ïðîèçâåäåí ñ ðàññòîÿíèÿ d.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè pk (d) íåïðåðûâíû è óáûâàþò íà îòðåçêå[0, d0 ] è áåç ïîòåðè îáùíîñòè pk (0) = 1, pk (d0 ) = 0, k = 1, 2.Îïðåäåëèì àíòàãîíèñòè÷åñêóþ èãðó.
Ïóñòü x ∈ X = [0, d0 ] − ðàññòîÿíèå, ñ êîòîðîãî ïåðâûé èãðîê íàìå÷àåò ïðîèçâåñòè ñâîé âûñòðåë. Àíàëîãè÷íî, y ∈ Y = [0, d0 ] − ðàññòîÿíèå, ñ êîòîðîãî íàìå÷àåò ñâîé âûñòðåëâòîðîé èãðîê. Îïðåäåëèì ôóíêöèþ âûèãðûøà F (x, y) ïåðâîãî èãðîêà.Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà øóìíóþ äóýëü, êîãäà ïðîòèâíèêè ñëûøàò âûñòðåëû äðóã äðóãà. Òîãäà(p1 (x),0 ≤ y ≤ x ≤ d0 ,F (x, y) =1 − p2 (y), 0 ≤ x < y ≤ d0 .Ïî ñìûñëó F (x, y) åñòü âåðîÿòíîñòü ïîðàæåíèÿ ïåðâûì èãðîêîì âòîðîãî.
Åñëè x < y è âòîðîé èãðîê ïðîìàõíåòñÿ, òî ïåðâûé, óñëûøàâ âûñòðåë ïðîòèâíèêà, ñòðåëÿåò â íåãî ñ ðàññòîÿíèÿ 0 âìåñòî x. Îòìåòèì, ÷òîF (x, y) ÿâëÿåòñÿ îñðåäíåíèåì ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå 1 èëè 0â çàâèñèìîñòè îò òîãî, óáèò âòîðîé äóýëÿíò èëèíåò. Èòàê, øóìíàÿäóýëüîïðåäåëåíà êàê èãðà â íîðìàëüíîé ôîðìå Γ = X, Y, F (x, y) .Ïîêàæåì, ÷òî øóìíàÿ äóýëü èìååò ðåøåíèå â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ∗ ∗(d , d , v = p1 (d∗ )), ãäå d∗ − åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ p1 (d) =1 − p2 (d).
Ïðîâåðèì íåðàâåíñòâà èç îïðåäåëåíèÿ ñåäëîâîé òî÷êèF (x, d∗ ) ≤ p1 (d∗ ) = F (d∗ , d∗ ) ≤ F (d∗ , y) ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y.Èìååì(p1 (x) ≤ p1 (d∗ ),d∗ ≤ x ≤ d0 ,F (x, d∗ ) =1 − p2 (d∗ ) = p1 (d∗ ), 0 ≤ x < d∗ ,(p1 (d∗ ),0 ≤ y ≤ d∗ ,∗F (d , y) =1 − p2 (y) ≥ 1 − p2 (d∗ ) = p1 (d∗ ), d∗ < y ≤ d0 .Åñëè ôóíêöèè ìåòêîñòè èãðîêîâ îäèíàêîâû, òî èç óðàâíåíèÿp1 (d) = 1 − p1 (d) íàõîäèì, ÷òî çíà÷åíèå èãðû ðàâíî 1/2, à d∗ ÿâëÿåòñÿêîðíåì óðàâíåíèÿ p1 (d) = 1/2. áåñøóìíîé äóýëè èãðîêè íå ñëûøàò âûñòðåëû äðóã äðóãà è(p1 (x),0 ≤ y ≤ x ≤ d0 ,F (x, y) =p1 (x)(1 − p2 (y)), 0 ≤ x < y ≤ d0 .72 7.
Èññëåäîâàíèå èãðîâûõ ìîäåëåéÏîêàæåì, ÷òî áåñøóìíàÿ äóýëü íå èìååò ðåøåíèÿ â ÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ.Íàéäåì âåëè÷èíó v = sup inf F (x, y). Ñòðàòåãèÿ x = d0 íå ìîæåò0≤x≤d0 0≤y≤d0áûòü ìàêñèìèííîé, ïîñêîëüêó F (d0 , y) = p1 (d0 ) = 0 ïðè âñåõ y ∈ Y.Ïóñòü 0 ≤ x < d0 . Òîãäàinf F (x, y) = min[ inf F (x, y), inf F (x, y)] =0≤y≤x0≤y≤d0x<y≤d0= min[p1 (x), p1 (x)(1 − p2 (x))] = p1 (x)(1 − p2 (x)).Îòñþäà v = max p1 (x)(1 − p2 (x)).0≤x≤d0Óïðàæíåíèå 7.1. Äîêàæèòå, ÷òîv = infsup F (x, y) = p1 (d∗ ).0≤y≤d0 0≤x≤d0Òàêèì îáðàçîì, v = max p1 (x)(1 − p2 (x)) <0≤x≤d0< max min[p1 (x), 1 − p2 (x)] = p1 (d∗ ) = v.0≤x≤d0Ðåøåíèå áåñøóìíûõ äóýëåé îáû÷íî ñâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ìû îãðàíè÷èìñÿ èññëåäîâàíèåì êîíêðåòíîãî ïðèìåðà.Ïðèìåð 7.1. Ðàññìîòðèì áåñøóìíóþ äóýëü ñ îäèíàêîâûìè ôóíêöèÿìè ìåòêîñòè èãðîêîâ p1 (d) = p2 (d) = 1 − d, 0 ≤ d ≤ d0 = 1. Òîãäà(1 − x,0 ≤ y ≤ x ≤ 1,F (x, y) =(1 − x)y, 0 ≤ x < y ≤ 1.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïòèìàëüíûå ñìåøàííûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ ϕ0 (x)è ψ 0 (y) èìåþò ñîâïàäàþùèå ñïåêòðû Sp(ϕ0 ) = Sp(ψ 0 ) = [0, a], ãäå a ≤ 1− ïàðàìåòð, ïîäëåæàùèé îïðåäåëåíèþ. Ïóñòü íà îòðåçêå [0, a] ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ϕ0 (x) è ψ 0 (y) íåïðåðûâíû è èìåþò ïðîèçâîäíûå (ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ) f (x) è g(y).Ïî ñâîéñòâó äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè (òåîðåìà 4.3)F (ϕ0 , y) = v ∀ y ∈ [0, a] èëèZyZa(1 − x)yf (x)dx +F (x, y)f (x)dx =0Za0(1 − x)f (x)dx = v.y73(7.2)ÃËÀÂÀ I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛÄèôôåðåíöèðóÿ äâàæäû ïî y èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (7.2), ïîëó÷èìäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå 3f (y) = (1 − y)f 0 (y), èìåþùåå (ïîñëå çàìåíû y íà x ) îáùåå ðåøåíèå âèäà f (x) = c(1 − x)−3 . Ïî îïðåäåëåíèþR1ïëîòíîñòè f (x)dx = 1 (óñëîâèå íîðìèðîâêè).
Îòñþäà0Zac"#1c1dx =− 1 = 1.(1 − x)32 (1 − a)2(7.3)0Íàéäåííàÿ ïëîòíîñòü f (x) äîëæíà òàêæå óäîâëåòâîðÿòü èñõîäíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (7.2), ò.å."#1c− 1 − y = v.(7.4)1−aÏîñêîëüêó óðàâíåíèå (7.4) íå ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâîì ïî y, ñìåøàííàÿñòðàòåãèÿ ϕ0 (x) óêàçàííîãî âèäà íå ñóùåñòâóåò. Ïîýòîìó ïðåäïîëîæèì,÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ϕ0 (x) èìååò ñêà÷îê âåëè÷èíû σ â íóëå. Òîãäàóðàâíåíèÿ (7.2)−(7.4) èçìåíÿòñÿ:ZyZaσy + (1 − x)yf (x)dx + (1 − x)f (x)dx = v,(7.2)0y0"#c1σ+− 1 = 1,2 (1 − a)2"#1σy + c− 1 − y = v.1−a(7.3)0(7.4)0Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå (7.4)0 âûïîëíÿëîñü êàê òîæäåñòâî, íåîáõîäèìîïîëîæèòü σ = c.
Èç óðàâíåíèé (7.3)0 , (7.4)0 ïîëó÷àåì"#c1ca+1=1,= v.(7.5)2 (1 − a)21−aÈç ñâîéñòâà äîïîëíÿþùåé íåæåñòêîñòè òàêæå ñëåäóåò, ÷òîF (x, ψ 0 ) = v ∀ x ∈ [0, a] èëèZaZxZaF (x, y)g(y)dy = (1 − x)g(y)dy + (1 − x)yg(y)dy = v.00x74(7.6) 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûÎòñþäà, êàê è âûøå, ïîëó÷èì g(y) = c1 (1 − y)−3 . Ïîäñòàâëÿÿ g(y) âóðàâíåíèå (7.6), íàõîäèì#" ZxZay1c1 (1 − x)dy +dy = v(1 − y)3(1 − y)3x0èëè, èñïîëüçóÿ óñëîâèå íîðìèðîâêèR1Rag(y)dy = c1 (1 − y)−3 dy = 1,0"(1 − x) 1 −0#c1c1+= v.1−a 1−xÄëÿ òîãî ÷òîáû ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿëîñü òîæäåñòâåííî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû c1 = v = 1 − a. Îòñþäà è èç (7.5) íàõîäèì√√√2− 2a = 2 − 2, c1 = v = 2 − 1, c = σ =.2Îêîí÷àòåëüíî!√212−+1 ,4(x − 1)2ϕ0 (x) =1,!√2−11−1 ,2(y − 1)2ψ 0 (y) =1,√0 ≤ x ≤ 2 − 2,√2 − 2 < x ≤ 1,√0 ≤ y ≤ 2 − 2,√2 − 2 < y ≤ 1.0Îñîáåííîñòü îïòèìàëüíîé ñìåøàííîé√ ñòðàòåãèè ϕ ñîñòîèò â òîì, ÷òî2− 2ïåðâûé èãðîê ñ âåðîÿòíîñòüþ σ = 2 æäåò äî ïîëíîãî ñáëèæåíèÿ ñ√ïðîòèâíèêîì.
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî çíà÷åíèå èãðû v = 2 − 1 áåñøóìíîéäóýëè ìåíüøå çíà÷åíèÿ èãðû v = 1/2 øóìíîé äóýëè, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿóìåíüøåíèåì èíôîðìèðîâàííîñòè ïåðâîãî èãðîêà. 8.Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûÎïðåäåëèì ìíîãîøàãîâóþ àíòàãîíèñòè÷åñêóþ èãðó ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé. Èãðà ïðîèñõîäèò â òå÷åíèå T øàãîâ ñ íîìåðàìè t = 1, ..., T. Íà75ÃËÀÂÀ I.
ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛêàæäîì øàãå t èãðîêè âûáèðàþò ïî î÷åðåäè àëüòåðíàòèâû − çíà÷åíèÿïåðåìåííûõ xt , yt .Øàã 1. Ñíà÷àëà ïåðâûé èãðîê âûáèðàåò àëüòåðíàòèâó x1 ∈ U1 , çàòåìâòîðîé èãðîê, çíàÿ âûáîð ïåðâîãî, âûáèðàåò àëüòåðíàòèâó y1 ∈ V1 (x1 ) =V1 (·).Ïóñòü èãðîêè â òå÷åíèå t − 1 øàãîâ âûáðàëè àëüòåðíàòèâûx1 , ..., xt−1 , y1 , ..., yt−1 . Ïîëîæèì xt = (x1 , ..., xt ), y t = (y1 , ..., yt ).Øàã t. Ñíà÷àëà ïåðâûé èãðîê, çíàÿ ïðåäûñòîðèþ xt−1 , y t−1 , âûáèðàåòàëüòåðíàòèâó xt ∈ Ut (xt−1 , y t−1 ) = Ut (·). Çàòåì âòîðîé èãðîê âûáèðàåòàëüòåðíàòèâó yt ∈ Vt (xt , y t−1 ) = Vt (·), çíàÿ ïðåäûñòîðèþ xt , y t−1 , âêëþ÷àÿâûáîð xt ïåðâîãî èãðîêà íà äàííîì øàãå.Ïîñëå çàâåðøåíèÿ øàãà T âîçíèêàåò ïàðà (xT , y T ), íàçûâàåìàÿ ïàðòèåé èãðû.
Ïî ñìûñëó ïàðòèÿ èãðû − ýòî çàïèñü âñåõ àëüòåðíàòèâ, âûáðàííûõ èãðîêàìè. Äëÿ ëþáîé ïàðòèè (xT , y T ) çàäàåòñÿ âûèãðûø F (xT , y T )ïåðâîãî èãðîêà.Îïðåäåëèì òåïåðü èãðó â íîðìàëüíîé ôîðìå. Íà øàãå t ïåðâûé èãðîê ìîæåò âûáðàòü àëüòåðíàòèâó xt êàê çíà÷åíèå ôóíêöèè x̃t : xt =x̃t (xt−1 , y t−1 ), êîòîðàÿ äîëæíà áûòü îïðåäåëåíà ïðè âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ xt−1 , y t−1 . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ ôóíêöèéx̃t ÷åðåç Ũt . Çàìåòèì, ÷òî x̃1 = x1 , ïîñêîëüêó íà ïåðâîì øàãå ïåðâûéèãðîê íèêàêîé èíôîðìàöèåé íå ðàñïîëàãàåò.Ñòðàòåãèÿ ïåðâîãî èãðîêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íàáîð ôóíêöèéx̃ = (x̃t , t = 1, ..., T ) ∈ X̃ =TYŨt .t=1Àíàëîãè÷íî, íà øàãå t âòîðîé èãðîê ìîæåò âûáèðàòü àëüòåðíàòèâó yt êàêçíà÷åíèå ôóíêöèè ỹt : yt = ỹt (xt , y t−1 ), êîòîðàÿ äîëæíà áûòü îïðåäåëåíàïðè âñåâîçìîæíûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ xt , y t−1 . Îáîçíà÷èì ìíîæåñòâîâñåõ òàêèõ ôóíêöèé ỹt ÷åðåç Ṽt . Ñòðàòåãèÿ âòîðîãî èãðîêà ïðåäñòàâëÿåòñîáîé íàáîð ôóíêöèéỹ = (ỹt , t = 1, ..., T ) ∈ Ỹ =TYṼt .t=1Èãðîêè ìîãóò âûáðàòü ñòðàòåãèè x̃, ỹ íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà äî èãðû,à âî âðåìÿ èãðû − ïðèìåíÿòü èõ "àâòîìàòè÷åñêè."Ëþáîé ïàðå ñòðàòåãèé(x̃, ỹ) îäíîçíà÷íî ñîîòâåòñòâóåò ïàðòèÿ èãðû:76 8.
Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûx1 = x̃1 , y1 = ỹ1 (x1 ), x2 = x̃2 (x1 , y1 ) è ò.ä.defÄàëåå F (x̃, ỹ) = F (xT , y T ), ãäå (xT , y T ) − ïàðòèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿñòðàòåãèÿì x̃ è ỹ . Èòàê, ìíîãîøàãîâàÿèãðà ñ ïîëíîéèíôîðìàöèåé îïðåäåëåíà â íîðìàëüíîé ôîðìå Γ = X̃, Ỹ , F (x̃, ỹ) . äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü äâà êëàññà èãð:èãðà Γ0 , â êîòîðîé âñå ìíîæåñòâà Ut (·), Vt (·) êîíå÷íû;èãðà Γ00 , â êîòîðîé âñå ìíîæåñòâà Ut (·) ≡ Ut , Vt (·) ≡ Vt íå çàâèñÿò îòïðåäûñòîðèè è ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòàìè ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ, à ôóíêöèÿ F (xT , y T ) íåïðåðûâíà íà ïðîèçâåäåíèèU1 × · · · × UT × V1 × · · · × VT .Îïðåäåëèì ïàðó ñòðàòåãèéx̃0 = (x̃0t , t = 1, ..., T ), ỹ 0 = (ỹt0 , 1, ..., T ),èñïîëüçóÿ ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Äîîïðåäåëèì ôóíêöèþ F íà âñåõ îòðåçêàõ ïàðòèè âèäà (xt , y t−1 ) èëè (xt , y t ) è íàçîâåìåå ôóíêöèåé Áåëëìàíà.
Êîìïîíåíòû ñòðàòåãèé x̃0t , ỹt0 áóäåì çàäàâàòü âïîðÿäêå, îáðàòíîì âûáîðàì èãðîêîâ.Îïðåäåëèì ñíà÷àëà ỹT0 . Äëÿ ýòîãî çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòîâ (xT , y T −1 ) è çàäàäèì çíà÷åíèå ôóíêöèèdefỹT0 (xT , y T −1 ) = yT0 :defF (xT , y T −1 , yT0 ) = min F (xT , y T −1 , yT ) = F (xT , y T −1 ).yT ∈VT (·)Îïðåäåëèì ôóíêöèþ x̃0T . Çàôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå çíà÷åíèå àðãóìåíòîâ (xT −1 , y T −1 ) è çàäàäèì çíà÷åíèå ôóíêöèèdefx̃0T (xT −1 , y T −1 ) = x0T :defF (xT −1 , x0T , y T −1 ) = max F (xT −1 , xT , y T −1 ) = F (xT −1 , y T −1 ).xT ∈UT (·)Ïóñòü îïðåäåëåíû êîìïîíåíòû ñòðàòåãèé è çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà0ỹT0 , x̃0T , ..., ỹt+1, x̃0t+1 , F (xT , y T −1 ), ..., F (xt , y t ).Òîãäà ỹt0 , x̃0t , F (xt , y t−1 ), F (xt−1 , y t−1 ) çàäàþòñÿ ïî ïðèâåäåííûì âûøåôîðìóëàì ñ çàìåíîé T íà t.Ïîêàæåì, ÷òî ñòðàòåãèè x̃0 , ỹ 0 îïðåäåëåíû êîððåêòíî äëÿ èãð Γ0 è Γ00 .Äåéñòâèòåëüíî, â èãðå Γ0 âñå ìíîæåñòâà Ut (·), Vt (·) êîíå÷íû è ïîýòîìó77ÃËÀÂÀ I.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
