Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского (1183868)
Текст из файла
Геометрия и тригонометрия на плоскости МинковскогоМ. Г. Иванов∗29 мая 2007 г.УДК 531.18:530.12АннотацияВ пособии рассмотрены преобразования Лоренца в двумерномпространстве Минковского и их геометрический смысл. При этом параллельнодаётся описание преобразований Лоренца и поворотов на евклидовойплоскости, в процессе которого выявляется как сходство, так и различие этихпреобразований.
Пособие предназначено для студентов 2-3 курсов МФТИ,уже знакомых со специальной теорией относительности из курса общейфизики и начинающих изучать курс теории поля.Содержание1. Алгебраическая точка зрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22.
Механическая (нерелятивистская) точка зрения . . . . . . . . . . . . . . . . . .33. Расстояние и интервал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44. Базисные векторы и годографы . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65. Поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76. Буст . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .87. Круговой угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108. Гиперболический угол (быстрота) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 109. Механическая (релятивистская) точка зрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110.. Сопутствующие системы отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311.. Ускорение протяжённого тела . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512.. Неинерциальная система отсчёта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16∗e-mail: mgi@mi.ras.ruСпециальная теория относительности (СТО) — очень геометрическая теория.Мы обсудим часть этой геометричности, рассмотрев аналогию между обычной(круговой) и гиперболической тригонометрией. Ведь даже в обычной кинематике,прежде чем рассматривать повороты в пространстве, изучают плоские повороты,а геометрия в учебниках обычно предшествует стереометрии, так и мы, преждечем переходить к пространству-времени Минковского, начнём с рассмотренияплоскости Минковского.1.Алгебраическая точка зренияИтак, у нас есть замечательная функция экспонента, производная от которойсовпадает с самой экспонентой:d θe = eθ .(1)dθЧётнаячастьэкспоненты—гиперболическийкосинус,нечётная—гиперболический синус, их отношение —гиперболический тангенс:ch θ =eθ + e−θ,2sh θ =eθ − e−θ,2sh θ.ch θПрибольшихзначенияхаргументагиперболическиесинусикосинуснеθразличаются: chθ − shθ → 0, ch θ ≈ sh θ ≈ e2 ,th θ → 1 (см.
рис. 1.).th θ =Рис. 1. Гиперболические функции иэкспонентыЛегко убедиться (используя (1)), чтоdch θ = sh θ,dθdsh θ = ch θ.dθТакже легко проверить основное тождество гиперболической тригонометрии иформулы для гиперболических синуса и косинуса суммы:ch2 θ − sh2 θ = 1,(2)ch(θ + ψ) = ch θ ch ψ + sh θ sh ψ,(3)sh(θ + ψ) = ch θ sh ψ + sh θ ch ψ.(4)Аналогично могут быть введены и обычные тригонометрические функции:eiϕ + e−iϕ= Re eiϕ = ch(iϕ),21eiϕ − e−iϕ= Im eiϕ = sh(iϕ),sin ϕ =2iicos ϕ =2(5)(6)tg ϕ =sin ϕ= i th(iϕ),cos ϕdcos ϕ = − sin ϕ,dθdsin ϕ = cos ϕ,dθРис.
2. Комплексная экспонентаcos2 ϕ + sin2 ϕ = 1,cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β,sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β.2.(7)(8)Механическая (нерелятивистская) точка зренияТригонометрические функции (косинуси синус) можно представить как чётноеи нечётное решение дифференциальногоуравненияd2R(ϕ) = −R(ϕ).dϕ2(9)Рис. 3. Косинус – чётный, синус —нечётныйЕсли рассматривать ϕ как время, то это — уравнение движения (нерелятивистскогодвижения, описываемого обычным 2-м законом Ньютона) гармоническогоосциллятора (грузика на пружинке) с единичной массой и единичной жёсткостью.В этом случае при отклонении грузика от устойчивого положения равновесия(от нуля) на него действует сила, равная величине отклонения и направленнаяв сторону положения равновесия.
Эта возвращающая сила заставляет грузикколебаться около положения равновесия.Аналогично гиперболические функции (гиперболические косинус и синус)можно представить как чётное и нечётное решения дифференциального уравненияd2X(θ) = X(θ).(10)dθ2Если рассматривать θ как время, то это — уравнение движения (нерелятивистскогодвижения, описываемого обычным 2-м законом Ньютона) «неправильного»гармонического осциллятора с единичной массой и единичной жёсткостью.
Вэтом случае при отклонении грузика от неустойчивого положения равновесия (отнуля) на него действует сила, равная величине отклонения и направленная всторону отклонения. Эта отталкивающая сила заставляет грузик экспоненциальноувеличивать отклонение от положения равновесия.В обоих случаях в силу линейности дифференциальных уравнений мыможем рассматривать R(ϕ) и X(θ) как векторы в двухмерном пространстве(увеличение размерности больше 2 не даст ничего нового, т.к. движение всё равнобудет проходить в одной плоскости).
В обоих случаях сила направлена вдольлинии, проходящей через начало координат, т.е. момент силы равен нулю, имомент импульса сохраняется. Закон сохранения момента импульса для точки вцентральном поле даёт закон равных площадей (аналог 2-го закона Кеплера).Рассмотрим две параметрические кривые, являющиеся решениями уравнений(9) и (10) в двумерном случае:x = cos ϕ,y = sin ϕ3(11)(единичная окружность, поскольку cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1) иx = ch θ,y = sh θ(12)(правая ветвь единичной гиперболы, поскольку ch2 θ − sh2 θ = 1 и ch θ > 0).Когда круговой угол ϕ пробегает значения (−∞, +∞), точка бесконечное числораз пробегает окружность против часовой стрелки.
Когда гиперболический угол θпробегает значения (−∞, +∞), точка один раз снизу вверх пробегает по правойветви гиперболы.Из кривых (11) и (12) могут быть получены общие решения уравнений (9) и(10) (в силу их линейности) с помощью растяжений (сжатий) по x и y, поворотасистемы координат и сдвига по времени. Что такое семейство решений общее,легко убедиться, подсчитав параметры (2 уравнения 2-го порядка требуют дляоднозначного задания решения 4 параметра — 2 коэффициента сжатия, 1 уголповорота, 1 сдвиг по времени).Закон равных площадей говорит, что приращение площади, заметаемойрадиус-вектором, пропорционально приращению времени. В случае единичнойокружности и единичной гиперболы легко видеть, что площадь между осью x,радиус-вектором и дугой кривой равна половине аргумента.Рис.
4. Связь аргумента тригонометрической/гиперболической функции с площадьюсектораКоэффициент пропорциональности «между временем» и площадью можновычислить, рассмотрев бесконечно малое приращение площади в любой (например,в нулевой) момент времени (ниже мы ещё к этому вернёмся и докажем подробнее):dA = x dy/2,cos 0 = ch 0 = sin0 0 = sh0 0 = 1,dA = dϕ/2,3.илиsin 0 = sh 0 = 0,dA = dθ/2.Расстояние и интервалЕщё раз рассмотрим те же две параметрические кривыеx = cos ϕ,y = sin ϕ4(единичная окружность) иt = sh θ,x = ch θ(13)(единичная гипербола). Только теперь для гиперболы мы ось y переименовали вось t.Уравнения этих кривых имеют видx2 + y 2 = 1иx2 − t2 = 1.(14)Это уравнения кривых второго порядка. Главное отличие между ними — появлениев уравнении гиперболы знака минус.Уравнение окружности имеет хороший геометрический смысл: «геометрическоеместо точек, удалённых на равное расстояние от начала координат».
Квадратрадиуса окружности меняется от нуля до бесконечности, при нулевом радиусеокружность сжимается в точку. Расстояние dl между двумя точками, координатыкоторых различаются на (dx, dy), определяется по теореме Пифагора:dl2 = dx2 + dy 2 .(15)Это уравнение задаёт на плоскости евклидову метрику. Такому определениюдлины соответствует скалярное произведение~ B)~ = Ax B x + Ay B y .(A,(16)Аналогичным образом можно рассматривать и уравнение гиперболы, тольковместо расстояния придётся ввести интервал. Интервал ds между двумя точками,координаты которых различаются на (dt, dx), определяется какds2 = dt2 − dx2 .(17)Это уравнение задаёт на плоскости метрику Минковского.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
