Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского (1183868), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Приращение площади сектора равно половине векторного произведения~ иV~ dϕ (определителя, составленного из компонент этих векторов):векторов R¯¯1 ¯¯ cos ϕ − sin ϕ ¯¯1 ~ ~dϕdA = R × V · dϕ = ¯· dϕ =.(27)¯sinϕcosϕ222Т.е. получился определитель обратной матрицы поворота, умноженный на dϕ.Определитель матрицы поворота равен cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1 (площадь квадрата,~ иV~ ), это связано с тем, что поворот сохраняет площадь.натянутого на векторы R~ (т.е. наПриращение длины дуги равно dϕ, умноженному на длину вектора V1).Таким образом, оба определения угла (через площадь сектора и через длинудуги) доказаны, причём доказательства показали связь этих свойств со свойствамиповорота сохранять площадь и длину.Рис.
11. Приращение сектора и дуги при бесконечно малом повороте/бусте8.Гиперболический угол (быстрота)Проделаем теперь аналогичные выкладки в гиперболическом случае.Величина угла θ может быть геометрически интерпретирована как удвоеннаяплощадь сектора между осью x, радиус-вектором X и дугой гиперболы(закрашенный сектор на рисунке 11) или интервал вдоль дуги гиперболы,10ограничивающей этот сектор (выделен толстой линией). Эти факты уже не стольпривычны, как в круговом случае.Рассмотрим бесконечно малое приращение dθ аргумента θ.
Вектор X при этомполучит приращение U · dθ (маленький вектор). Площадь выделенного секторавозрастёт на площадь бесконечно малого треугольника (нарисован серым цветом).Приращение площади сектора равно половине векторного произведения векторовdθ · U и X (определителя, составленного из компонент этих векторов).¯¯11 ¯¯ ch θ sh θ ¯¯dθdA = dθ · U × X = ¯.(28)· dθ =¯22 sh θ ch θ2Т.е.
получился определитель обратной матрицы буста, умноженный на dθ.Определитель матрицы буста равен ch2 θ − sh2 θ = 1 (площадь ромба, натянутогона векторы U и X), это связано с тем, что буст сохраняет площадь.Приращение интервала вдоль дуги равно dθ умноженному на интервал вдольвектора U (т.е.
на 1).Таким образом, оба определения гиперболического угла (через площадь сектораи через интервал вдоль дуги) доказаны, причём доказательства показали связьэтих свойств со свойствами буста сохранять площадь и интервал.9.Механическая (релятивистская) точка зренияРассмотрим те же самые кривые, изменив параметризацию и масштаб:x = cos(a0 l)/a0 ,y = sin(a0 l)/a0 ;(29)t = sh(a0 τ )/a0 ,x = ch(a0 τ )/a0 .(30)Здесь появился масштабный фактор a0 и изменились параметры. Новые параметрыl и τ — это длина вдоль траектории и интервал вдоль мировой линии.В правильности расстановки коэффициентов легко убедиться из соображенийразмерности: аргументы тригонометрических и гиперболических функций должныбыть безразмерными, а координаты (включая время) имеют размерность длины(или времени, что то же самое).
Мы можем обратить a0 в единицу, если в качествеединицы измерения длины и времени выбрать 1/a0 .Запишем в обоих случаях радиус-векторы и первые две производные от них попараметрам l и τ :µ¶µ¶11cos(a0 l)sh(a0 τ )~R=,X=;sin(a0 l)ch(a0 τ )a0a0µ¶µ¶~dRdX−sin(al)ch(aτ)00~ ==,U==;Vcos(a0 l)sh(a0 τ )dldτµ¶µ¶~dVdUcos(a0 l)sh(a0 τ )~a == −a0, W == a0.sin(a0 l)ch(a0 τ )dldτ~ — единичная касательная, а вектора ~a —Геометрический смысл вектора Vвектор кривизны, его длина a0 — обратная величина к радиусу кривизны (~a всегда~ , т.е. (V~ , ~a) = 0).
Если двигаться по окружности так, чтобыперпендикулярен V~ — скорость, а ~a — ускорение. (Это движение попараметр l задавал время, то Vокружности мы рассматриваем как нерелятивистское!).11Рис. 12. Радиус-векторы, скорости и ускоренияФизический смысл вектора U — релятивистская («четырёхмерная») скорость(тоже единичная касательная, но уже в смысле метрики Минковского), а вектораW — релятивистское («четырёхмерное») ускорение (аналог вектора кривизны,W тоже всегда перпендикулярно U , но уже в смысле метрики Минковского, т.е.(U , W ) = 0).~ а W = X. При этом все три окружности, наПри a0 = 1 имеем ~a = −R,~ V~ , ~a, сливаются в одну единичную окружность,которых лежат концы векторов R,а две гиперболы, на которых лежат концы векторов X и W , сливаются в однуединичную гиперболу (конец вектора U оказывается на симметричной единичнойгиперболе).~ и U на массу («массу покоя»), мы получимДомножив векторы скорости V~ и вектор релятивистского импульса p = m0 U .вектор импульса P~ = m0 VКомпонентами релятивистского импульса являются энергия E = pt и обычныймеханический импульс по оси x:px = m0 · sh(a0 τ ) = m0 · a0 · t.(31)Импульс оказался пропорциональным времени! Это означает, что движениепроисходит под действием постоянной силы:Fx =dpx= m0 · a0 .dt12(32)Таким образом, гиперболическое движениеявляется релятивистским аналогом равноускоренного движения под действием постоянной силы(чуть ниже мы углубим эту аналогию).
Такоедвижение имеет место, например, в линейномускорителе, где заряженная частица разгоняетсявдоль прямой под действием постоянной силы,создаваемой однородным электрическим полем.На рисунке 13 изображены мировые линииравноускоренной частицы согласно классическоймеханике (парабола) и согласно СТО (гипербола).На классической мировой линии обозначеныточки, когда частица достигает скорости света, ипроведены касательные в этих точках.
Видно, чтокривые начинают заметно расходиться только наскоростях, сравнимых со скоростью света.Домножив векторы ускорения ~a и W на массу(«массу покоя») m0 , мы получим вектор силы F~ =m0~a и вектор релятивистской силы f = m0 W (2-йРис. 13. Релятивистское и не- закон Ньютона).релятивистское движение подЗаметим, что и в релятивистской механике, и вдействием постоянной силыклассической интеграл от силы («обычной» силы)по времени даёт изменение импульса, а по координате — изменение энергии(работу). Таким образом, при движении вдоль оси x под действием постояннойсилы F~ = (F x , 0, 0) в обоих случаяхE = F x · (x − x0 ),px = F x · (t − t0 ).(33)Однако в релятивистском и нерелятивистском случаях между энергией, импульсоми массой выполняются разные соотношения:m20 = E 2 − P~ 2или E =P~ 2.2m0(34)Подставив в эти соотношения выражения дляэнергии и импульса через силу, координату x ивремя, мы получаем уравнения движения под действием постоянной силы(релятивистское и классическое):³ m ´20Fx10.= (x − x0 )2 − (t − t0 )2или x − x0 =F x (t − t0 )2.2m0(35)Сопутствующие системы отсчётаКак эти два движения (классическое круговое ирелятивистское гиперболическое) выглядят с точки зрения наблюдателя, которыйэти движения совершает?Если наблюдатель катается с единичной скоростью по кругу сидя на карусели,то на него всё время действует сила, направленная к центру круга, т.е.перпендикулярно скорости, поэтому если наблюдатель всё время сидит лицомпо ходу движения, то все моменты времени для него эквивалентны: скорость13вперёд, а сила налево, абсолютные величины те же самые, а поворот векторовкомпенсируется поворотом самого наблюдателя.
Для такого наблюдателя удобнов каждый момент времени брать новую систему отсчёта, повёрнутую так, чтобынаблюдатель оставался на оси x0 (положительной полуоси). Тогда в любой моментвремени в соответствующей системе отсчёта~ 0 = (1/a0 , 0),R~ 0 = (0, 1),V~a0 = (−a0 , 0).(36)Рис. 14. Радиус-векторы, скорости и ускорения в сопутствующих системах координатЕсли наблюдатель ускоряется под действием постоянной силы вдоль прямой,то удобно в каждый момент времени брать новую систему отсчёта, такую,чтобы наблюдатель оставался на оси x0 (положительной полуоси), т.е.
(в силусвойств гиперболы) имел нулевую скорость. Тогда в любой момент времени всоответствующей системе отсчётаX 0 = (0, 1/a0 ),U 0 = (1, 0),W 0 = (0, a0 ).(37)Напомним, что релятивистская скорость с компонентами (1, 0) как разсоответствует нулевой обычной скорости, т.к. ненулевая компонента — временная(во времени нельзя остановиться).Таким образом, для нашего равноускоренного наблюдателя все моментывремени тоже оказались равноценны, а значит, для него гиперболическое движение— равноускоренное.1411.Ускорение протяжённого телаПусть теперь наш наблюдатель ускоряется несам по себе, а в ракете, которая имеет ненулевуюдлину. После того как двигатели ракеты началиработать, вошли в стабильный режим, в корпусеракеты затихли все вибрации, мы можем вспомнить,что все моменты времени для равноускоренногонаблюдателя равноправны, а значит, для него длинаракеты должна быть постоянна. Только длину этунадо откладывать вдоль оси x0 системы, в которойнаблюдатель сею секунду покоится (x0 — линияодновременных событий для наблюдателя).
А вкачестве масштаба можно брать радиус-вектор X.Вот и получается, что если наблюдатель сидит вхвосте ракеты, то мировая линия носа ракеты —«концентрическая» гипербола, получающаяся измировой линии хвоста преобразованием подобия(гомотетия), с коэффициентомk=Рис.
15. Мировые линииноса и хвоста ракетыL + 1/a0,1/a0(38)где L — длина ракеты, а 1/a0 — длина радиус-вектора X (т.к. (X, X) = −(1/a0 )2 ).При таком преобразованииa0 → a0 /k,X → k · X,W → W /k.(39)То же самое происходит при таком преобразовании подобия и с круговымдвижением:~ → k · R,~a0 → a0 /k, R~a → ~a/k.(40)Как мы знаем, при гомотетии все длинырастягиваются в одинаковое число раз (в k раз).То же самое справедливо и для интервалов.
Такимобразом, оси x и x0 высекают в одном случае изгипербол, а в другом случае из окружностей подобныедуги, длины (интервалы) которых различаются в k раз.Рис. 16. Подобныесегменты15Мы получили, что нос ракеты движется с меньшимускорением, чем хвост, и время на носу течётбыстрее! Можем ли мы проверить это «на подручныхматериалах», не имея под рукой ракеты? За неимениемракеты попробуем обойтись высоким зданием (возьмём,к примеру, КПМ). Согласно принципу эквивалентности(это уже из общей теории относительности (ОТО))равномерно ускоренная система и система в однородномгравитационном поле на малых расстояниях ведут себяодинаково, поэтому КПМ в гравитационном поле Землиничуть не хуже равноускоренной ракеты в космосе.Рис. 17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
