Геометрия и тригонометрия на плоскости Минковского (1183868), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Такому определениюинтервала соответствует скалярное произведение(U , V ) = U t V t − U x V x .(18)Векторы в пространстве с таким скалярным произведением (в пространствеМинковского) мы будем обозначать подчёркнутыми буквами, в отличие от векторовс обычным скалярным произведением (в евклидовом пространстве), которыебудем обозначать буквами со стрелками.Квадрат расстояния между двумя различными точками всегда положителен,а квадрат интервала может иметь любое значение (положительное, отрицательноеили нуль).
Если квадрат интервала оказывается положительным, то интервал —это время, измеренное часами, которые двигались между точками по прямой. Мыне случайно обозначили одну из координат t — это время, измеренное часами,движение которых описывается осью t. (Нельзя забывать, что в СТО время,которое показывают часы, зависит от того, как они движутся.)Чтобы формула для интервала была корректна, время t и координата xдолжны измеряться в одинаковых единицах. Это соответствует тому, что какая-тоскорость объявляется универсальным коэффициентом перевода «секунд в метры»и считается равной единице. Ниже мы увидим, что эту роль выполняет скоростьсвета в вакууме.5На рисунке 5а изображены концентрические окружности с квадратамирадиусов 02 , 0, 52 , 12 , 1, 52 , 22 .
На рисунке 5б — «концентрические гиперболы»(псевдоокружности) с квадратами радиусов −22 , −1, 52 , −12 , −0, 52 , 02 , 0, 52 , 12 ,1, 52 , 22 .Рис. 5. Концентрические окружности и псевдоокружностиМы видим, что вместо одной единичной окружности мы получили 2 плюс-минусединичных гиперболы, состоящих в общей сложности из 4-х ветвей. Эти 4 ветви ибудут в дальнейшем играть (иногда вместе, а иногда по очереди) роль единичнойокружности.4.Базисные векторы и годографыВернёмся к нашим параметрическим кривым.
Изобразим теперь на рисункахрадиус-векторы~ = (cos ϕ, sin ϕ)(19)RиX = (sh θ, ch θ)и их производные по параметрам ϕ и θ («скорости»)~ = (− sin ϕ, cos ϕ)VиU = (ch θ, sh θ).(20)~ иV~ являются единичными (в обычномЛегко проверить явно, что векторы R~ повёрнут относительно R~ на 1 оборота противевклидовом смысле), причём V4~ и V~ ортогональны (т.е. (R,~ V~ ) = 0). Вектор R~часовой стрелки. Векторы Rединичен по построению, т.к. его конец лежит на единичной окружности. Вектор~ ортогонален R,~ т.к. является производной от вектора постоянной длины иVединичен, т.к. производная берётся по естественному параметру (длине) вдолькривой.6Рис. 6.
Новые базисыЛегко проверить явно, что векторы U и X также являются единичными(в смысле метрики Минковского U 2 = 1, а X 2 = −1), причём U связан с Xотражением относительно прямой t = x. Векторы X и U ортогональны (т.е.(X, U ) = 0 в смысле метрики Минковского).Вектор X единичен по построению, т.к. его конец лежит на единичнойпсевдоокружности. Вектор U ортогонален X, т.к.
является производной от векторапостоянной длины (в смысле метрики Минковского) и единичен, т.к. производнаяберётся по естественному параметру (интервалу) вдоль кривой.~ движется по единичнойТаким образом, по мере того как конец вектора R~окружности, конец вектора V движется по той же окружности с опережением на 41оборота (т.е. годограф совпадает с самой единичной окружностью). По мере тогокак конец вектора X движется по одной (правой) гиперболе снизу вверх, конецвектора U симметрично движется по другой (верхней) гиперболе слева направо.Уравнение годографа (верхней гиперболы):t2 − x2 = 1,5.t ≥ 1.(21)Поворот~ и V~ в качестве базисных векторов новой системыЕсли взять векторы Rкоординат, то новая система координат будет повёрнута относительно системы(x, y) на угол ϕ.
Обратная матрица поворота оказывается составлена из компонент~ иV~:единичных векторов Rµ ¶ µ¶ µ 0 ¶xcos ϕ − sin ϕx=·.(22)ysin ϕcos ϕy0Если мы возьмём (x0 , y 0 ) = (1, 0), то получим, что первый столбец матрицы~ (в новых, штрихованных координатах R~ имеетобразован компонентами вектора Rкомпоненты (1, 0)), если мы возьмём (x0 , y 0 ) = (0, 1), то получим, что второй столбец~ (в новых, штрихованных координатахматрицы образован компонентами вектора V~ имеет компоненты (0, 1)).VВ повёрнутой системе координат (x0 , y 0 ) формула (15) для длины по-прежнемусправедлива (только со штрихами над координатами), это следует из того, что7скалярные произведения базисных векторов такие же, как и в исходной системе~ R)~ = 1, (R,~ V~ ) = 0, (V~ ,V~ ) = 1).
Поэтому все окружности с центром в начале((R,координат после поворота задаются теми же уравнениями.При последовательном выполнении двух поворотов в плоскости (x, y), углыэтих поворотов складываются. В этом можно легко убедиться из рисунка, илиперемножая матрицы поворотов (и пользуясь формулами (7), (8) для косинуса исинуса суммы углов).Рис. 7. На рисунках изображены системы координат, связанные друг с другомпреобразованиями поворота и буста.
Изображённые на рисунках единичная окружность ипсевдоокружности (гиперболы) отсекают на осях координат плюс-минус единичные точки.Наклон оси t0 задаётся значением скорости (вдоль оси t0 dx/dt = v)6.БустЕсли взять векторы U и X в качестве базисных векторов новой системыкоординат, то новая система координат будет связана с системой (t, x)преобразованием Лоренца (бустом), аналог угла θ называется быстротой.Обратная матрица буста составлена из компонент единичных векторов U и X:µ ¶ µ¶ µ 0 ¶tch θ sh θt=·.(23)xsh θ ch θx0Если мы возьмём (t0 x0 ) = (1, 0), то получим, что первый столбец матрицыобразован компонентами вектора U (в новых, штрихованных координатах U имееткомпоненты (1, 0)), если мы возьмём (t0 x0 ) = (0, 1), то получим, что второй столбецматрицы образован компонентами вектора X (в новых, штрихованных координатахX имеет компоненты (0, 1)).При последовательном выполнении двух бустов в плоскости (t, x), быстротыэтих бустов складываются.
В этом можно убедиться из рисунка. Это не стольочевидно, как для круговых углов, но это можно увидеть, если вспомнить,что быстрота — удвоенная площадь гиперболического сектора, гипербола прибустах переходит в себя, а площади секторов при последовательных бустахскладываются складываются. Или можно просто перемножить матрицы бустов(и воспользоваться формулами (3) (4) для гиперболических косинуса и синусасуммы).8Как определить, какой скорости соответствует это преобразование? Скоростьсистемы отсчёта — это скорость точки, которая во все моменты времени имеет вэтой (движущейся) системе отсчёта нулевые пространственные координаты. Т.е.траектория этой точки в пространстве-времени (мировая линия) — ось временидвижущейся системы отсчёта.
Дифференцируя вдоль направления новой осивремени (вдоль вектора U ) dxdt , получаем скоростьv=sh θ= th θch θ⇒1 − v2 = 1 −sh2 θch2 θ − sh2 θ1== 2 .22ch θch θch θ(24)Отсюда легко найти, что1ch θ = √,1 − v2vsh θ = th θ · ch θ = √,1 − v2(25)и записать преобразование Лоренца в более привычном виде:t0 + vx0t= √.1 − v2x0 + vt0,x= √1 − v2(26)Сравнивая эти формулы с привычными преобразования Лоренца видим, чтоединичная скорость — скорость света.Напомним, что наличие времени в законе преобразования для координаты нетничего нового по сравнению с классической механикой: как и в классике, наклоноси времени (мировой линии начала координат) соответствует скорости.
Та к былои в преобразованиях Галилея:x = x0 + vt0 ,t = t0 .Присутствие координаты в законе преобразования времени интереснее, т.к. оноозначает изменение наклона оси x, а ось x — множество событий, одновременныхс событием в начале координат. «Относительность одновременности» — это наклоноси x.Рис. 8. Элемент интервалав старых координатахРис. 9. ПреобразованиеЛоренцаРис. 10. ПреобразованиеГалилеяВ системе координат после буста (t0 , x0 ) формула (17) для интервала попрежнему справедлива (только со штрихами над координатами), это следует изтого, что скалярные произведения базисных векторов такие же, как и в исходнойсистеме: (U , U ) = 1, (U , X) = 0, (X, X) = −1.
Поэтому все псевдоокружности(гиперболы) с центром в начале координат после поворота задаются теми жеуравнениями.97.Круговой уголВеличина угла ϕ может быть геометрически интерпретирована как удвоенная~ и дугой окружностиплощадь сектора между осью x, радиус-вектором R(закрашенный сектор на рисунке 11) или длина дуги окружности, ограничивающейэтот сектор (выделена). Хотя эти факты и очевидны, докажем их (чтобы потомможно было сравнить это доказательство с аналогичным доказательством вгиперболическом случае).~ при этомРассмотрим бесконечно малое приращение dϕ аргумента ϕ. Вектор R~получит приращение V dϕ (маленький вектор на рисунке). Площадь выделенногосектора возрастёт на площадь бесконечно малого треугольника (нарисован серымцветом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
