f_tkb1 (1182060)
Текст из файла
ÑÂÎÁÎÄÍÎÅ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅÞ. Ì. ÁåëîóñîâÐàññìîòðèì îïèñàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå. Ïðåæäå âñåãî íàïîìíèì, ÷òî ìîæíî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ðàçäåëèòü, êàê áû, íà äâà òèï: ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, ñîçäàâàåìîå êàêèìè-ëèáîèñòî÷íèêàìè, è ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, êîòîðîå ñóùåñòâóåò ñàìîïî ñåáå Ïîëå, ñîçäàâàåìîå èñòî÷íèêîì, îïðåäåëÿåòñÿ ñâîéñòâàìè èñòî÷íèêà èåìó ñîîòâåòñòâóåò â êâàíòîâîé ìåõàíèêå îïåðàòîð, êîòîðûé îïèñûâàåò èñòî÷íèê. Íàïðèìåð, îïåðàòîð ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàãíèòíîãî ìîìåíòà îïðåäåëÿåòñÿˆ, ò.å. âñå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ áóîïåðàòîðîì ìàãíèòíîãî ìîìåíòà ~µˆ ñ äðóãèìèäóò ñëåäîâàòü èìåííî èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îïåðàòîðà ~µîïåðàòîðàìè. Îïåðàòîðó çàðÿäà â íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå ñîîòâåòñòâóåò ïðîñòîå óìíîæåíèå íà ñîîòâåòñòâóþùèé çàðÿä, ïîýòîìó îïåðàòîðñòàòè÷åñêîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü ïðîñòîñîîòâåòñòâóþùàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò.Ñîâåðøåííî èíà÷å ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå.
Ïîñêîëüêó îíî ñóùåñòâóåò íåçàâèñèìî îò êàêèõ-ëèáî äðóãèõ (êâàíòîâûõ) ñèñòåìè ñàìî ïî ñåáå ïðåäñòàâëÿåò êâàíòîâóþ ñèñòåìó, òî äîëæíî îïèñûâàòüñÿ ñâîèìãàìèëüòîíèàíîì. Èòàê, äëÿ îïèñàíèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âíåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêå, ñëåäóåò:1. îïðåäåëèòü åãî ãàìèëüòîíèàí, äëÿ ÷åãî2. íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî æå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáîáùåííûé èìïóëüñ èêîîðäèíàòà ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è, íàêîíåö,3. ïîíÿòü, ÷òî æå òàêîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ, ò.å. êàêîé ïîëíûé íàáîð ôèçè÷åñêèõâåëè÷èí ñëåäóåò âûáðàòü äëÿ îïèñàíèÿ ïîëÿ.Íà÷íåì ñ ïîñëåäíåãî. Ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ âåêòîðîì |ψi, êîòîðûéâ êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè åñòü âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ: hr|ψi. Ñâîáîäíîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå ñàìî ïî ñåáå åñòü âîëíà, è ïîëíîñòüþ çàäàåòñÿ âåêòîðíûìïîòåíöèàëîì A(r, t), ïîýòîìó âîçíèêàåò èñêóøåíèå âçÿòü åãî â êà÷åñòâå âîëíîâîé ôóíêöèè, òåì áîëåå ÷òî îí óäîâëåòâîðÿåò âîëíîâîìó óðàâíåíèþ, ò.å.
óðàâíåíèþ Êëåéíà-Ôîêà-Ãîðäîíà äëÿ ÷àñòèöû ñ íóëåâîé ìàññîé. Îäíàêî ýòî áûëîáû ãðóáîé îøèáêîé, ïîòîìó ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë åñòü ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èb t) è ïîëó÷èòüíà, êîòîðîé ìû äîëæíû ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îïåðàòîð A(r,b t)|ψi.A(r, t) = hψ|A(r,Çàìåòèì, ÷òî, íàïèñàâ |ψi, ìû ïðåäïîëàãàåì ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ,íî â îáùåì ñëó÷àå ìû íå ìîãëè ÿâíî çàïèñàòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå äàæåäëÿ ÷àñòèöû.
Ïðîäâèíóòüñÿ â ýòîì íàïðàâëåíèè íàì ïîìîã ôóíäàìåíòàëüíûéïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè, áëàãîäàðÿ êîòîðîìó ìû ìîãëè ïðåäñòàâèòü ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå â âèäå ñóïåðïîçèöèè îïðåäåëåííûõ ñîñòîÿíèé, êîòîðûå ìû çàòåìïðåäñòàâèëè êàê áàçèñèíûå, ïðè÷åì ýòè áàçèñíûå âåêòîðû ìîãëè îïèñûâàòü è1ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû |pi. Íàïðèìåð,X|ψi =ap |pi.p ýòîì ñëó÷àå ñðåäíåå çíà÷åíèå êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû åñòüXhf i =fp,p0 a∗p ap0 .p,p0Âñïîìíèì èç êóðñà Òåîðèÿ ïîëÿ ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàë ïðîèçâîëüíîãîñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ïëîñêèì âîëíàì ýëåìåíòàðíûì ðåøåíèÿì âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ:ZdkdωA(r, t) =Akω exp (i(kr − ωt)) .(1)(2π)4 òàêîì ñëó÷àå àìïëèòóäû Ôóðüå Akω ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çíà÷åíèåîïåðàòîðà âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â áàçèñå ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïëîñêèõ ìîíîõðîìàòè÷åñêèõ âîëíàõ. Ïëîñêàÿâîëíà îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì 4-âîëíîâûì âåêòîðîì, íóëåâàÿ êîìïîíåíòà êîòîðîãîðàâíà ω = c|k|, è ïîëÿðèçàöèåé.1 Èñõîäÿ èç ñêàçàííîãî, ìîæíî äëÿ âåêòîðàñîñòîÿíèÿ ïîëÿ âñåãäà çàïèñàòüXak,α |k, αi.|ψi =(2)k,αÇäåñü |k, αi âåêòîð áàçèñíîãî ñîñòîÿíèÿ (ïëîñêîé ìîíîõðîìàòè÷åñêîé âîëíû),α îáîçíà÷àåò åå ïîëÿðèçàöèþ. äàëüíåéøåì íàì áóäåò íå î÷åíü óäîáíî ïðîâîäèòü ðàññóæäåíèÿ è âû÷èñëåíèÿ äëÿ íåïðåðûâíîãî ñïåêòðà ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãîïîëÿ, ïîýòîìó ïåðåéäåì ê äèñêðåòíîìó, êàê ýòî îáû÷íî äåëàåòñÿ.
À èìåííî: áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëå çàêëþ÷åíî â êóáå î÷åíü áîëüøèõ, íî êîíå÷íûõ ðàçìåðîâL, à íà âñå ïðîñòðàíñòâî ïðîäîëæèì ðåøåíèå, èñïîëüçóÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íà ãðàíèöå. Ýòî ýêâèâàëåíòíî ïðîöåäóðå çàïîëíåíèÿ âñåãî ïðîñòðàíñòâàîäèíàêîâûìè êóáàìè, êîòîðàÿ íàì íåîáõîäèìà äëÿ ïîëó÷åíèÿ êîíå÷íîé ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèé ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íàêëàäûâàÿ ïåðèîäè÷åñêèå óñëîâèÿ íàïëîñêèå âîëíû, ïîëó÷àåì, ÷òî âîëíîâîé âåêòîð ìîæåò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿk=2π(nx , ny , nz ) ,Lãäå nx , ny , nz −öåëûå ÷èñëà.Êàæäûé íàáîð öåëûõ ÷èñåë nx , ny , nz ñîîòâåòñòâóåò ñâîåìó ýëåìåíòàðíîìó ñîñòîÿíèþ.  ñëó÷àå L → ∞ èçìåíåíèå âîëíîâîãî âåêòîðà ìåæäó ñîñåäíèìèñîñòîÿíèÿìè ∆k → 0 è ñïåêòð ñòàíîâèòñÿ êâàçèíåïðåðûâíûì.  ýòîì ñëó÷àå1 Íàïîìíèì,÷òî ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ âîëíà îáÿçàòåëüíî ïîëÿðèçîâàíà.
 ïðîèçâîëüíîì ñëó÷àå ïîëÿðèçàöèÿ ýëëèïòè÷åñêàÿ, â ÷àñòíîì öèðêóëÿðíàÿ (ëåâàÿ èëè ïðàâàÿ)ëèáî ëèíåéíàÿ.2óäîáíî ãîâîðèòü î ÷èñëå ñîñòîÿíèé â èíòåðâàëå èçìåíåíèÿ âîëíîâîãî âåêòîðà∆ki :L∆ni =∆ki .2πÏîëíîå ÷èñëî âîçìîæíûõ ñîñòîÿíèé ïðè èçìåíåíèè âîëíîâîãî âåêòîðà â èíòåðâàëå îò k äî k + ∆k åñòü∆n = 2∆nx ∆ny ∆nz = 2L3V∆kx ∆ky ∆kz = 2∆k.3(2π)(2π)3(3)Çäåñü ìíîæèòåëü 2 ó÷èòûâàåò äâå ðàçëè÷íûõ ïîëÿðèçàöèè.Òàêèì îáðàçîì âèäèì, ÷òî ÷èñëî ñîñòîÿíèé ïðîïîðöèîíàëüíî îáúåìó êóáà,è ïîýòîìó â áåñêîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå íàì ïðèøëîñü áû ñòîëêíóòüñÿ ñ íåîïðåäåëåííîñòüþ ðàíüøå âðåìåíè. Ïîýòîìó âñå âû÷èñëåíèÿ ôîðìàëüíî ïðîâîäÿòñÿâ äëÿ êóáà êîíå÷íûõ ðàçìåðîâ, íî â îêîí÷àòåëüíûõ (ôèçè÷åñêèõ) ðåçóëüòàòàõìû îáÿçàòåëüíî äîëæíû ïîëîæèòü V → ∞.
Ïåðåïèøåì òåïåðü ôîðìóëó (1)ðàçëîæåíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà äëÿ äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ïëîñêèõ âîëí èîòíåñåì ÿâíóþ âðåìåííóþ çàâèñèìîñòü â ôóðüå-àìïëèòóäó:XAk (t)eikr .A(r, t) =(4)kÀìïëèòóäû Ôóðüå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïîïåðå÷íîñòè ïîëÿ divA = 0:(kAk ) = 0.Êðîìå òîãî, èç âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóåò òàêæåÄk + c2 k 2 Ak = 0.(5)Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ãàìèëüòîíèàíà. Äëÿ ýòîãî ñïåðâà çàïèøåì ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:Z¡ 2¢1U=E + H2 dV.(6)8π íàøåì ïðåäñòàâëåíèè ïîëÿ èìåþò âèä1 ∂A1X=Ȧk eikr ,c ∂tc kXH = rotA = i[k × Ak ]eikr .E = −kÄàëåå, íàïðèìåð, äëÿ êâàäðàòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ èìååì:E2 =1 X0Ȧk Ȧk0 ei(k+k )r ,2c k,k03(7)(8)îòêóäà ïîëó÷àåìZ0ei(k+k )r dV = V δk,−k0 = V δkx ,−kx0 δky ,−ky0 δkz ,−kz0 ,ò.å. k0 = −k. Ïîñêîëüêó âåêòîð A(r, t) äåéñòâèòåëåí, îò äîëæåí óäîâëåòâîðÿòüóñëîâèþXXA∗−k eikr .A∗ (r, t) = A(r, t) =A∗k e−ikr =kkÈíûìè ñëîâàìèA∗k = A−k .Ñîîòâåòñòâåííî,H2 = −(9)X0[k × Ak ][k0 × Ak0 ]ei(k+k )rk,k0ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ ïîïåðå÷íîñòè ïëîñêîé âîëíû è ñîîòíîøåíèÿ (9) ïðèâîäèò ê ïðîñòîìó âûðàæåíèþXk2 Ak A∗k .H2 =kÎêîí÷àòåëüíî äëÿ ýíåðãèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååì:´V X³∗2 2∗ȦȦ+kcAAU=kkkk .8πc2(10)kÒàêèì îáðàçîì, íàì óäàëîñü ðàçëîæèòü ýíåðãèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ íàñóììó ïàðöèàëüíûõ"ýíåðãèé îò êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ (ñîñòîÿíèÿ).Îäíàêî âûðàæåíèå (10) çàïèñàíî ÷åðåç êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, êîòîðûå íåìîãóò áûòü íåïîñðåäñòâåííî ñîïîñòàâëåíû íàáëþäàåìûì ôèçè÷åñêèì âåëè÷èíàì.
Ïåðåïèøåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà (4)â íåñêîëüêî äðóãîìâèäå, ïîä÷åðêèâàþùåì åãî äåéñòâèòåëüíîñòü:X¡¢A(r, t) =αk (t)eikr + αk∗ (t)e−ikr ,kãäåαk (t) ∝ e−iωk t ,Òîãäàωk = ck.¡¢∗Ak (t) = αk (t) + α−k(t)(11)è, ñîîòâåòñòâåííî,¡¢¡¢∗∗(t) .Ȧk (t) = −ick αk (t) − α−k(t) = −iωk αk (t) − α−kÊ ñîæàëåíèþ òàê çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ ïî-ïðåæíåìó íå ìîãóò áûòü ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå íàáëþäàåìûì îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì, ïîñêîëüêó A∗k =A−k , à äîëæíî áûòü Q∗k = Qk .4Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (11) â ôîðìóëó (10) è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììèðîâàíèåâåäåòñÿ ïî âñåì ñîñòîÿíèÿì, ïîëó÷àåìV X 2U=ωk αk αk∗ .(12)2πc2kÂâåäåì òåïåðü íîâûå äåéñòâèòåëüíûå âåëè÷èíûrVQk =(αk (t) + αk∗ (t)) , è24πcrVPk = −iωk(αk (t) − αk∗ (t)) = Q̇k .4πc2(13)Ñ íîâûìè âåëè÷èíàìè (13) âûðàæåíèå äëÿ ýíåðãèè ïðèíèìàåò âèä çíàêîìîéêâàäðàòè÷íîé ôîðìûX1¡¢ XU=P2k + ωk2 Q2k =(14)Uk .2kkÂèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ U (14) êàê ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ Qk è Pk óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèÿì Ãàìèëüòîíà:∂U= Q̇k ,∂Pk∂U= ωk2 Qk = −Ṗk .∂Qk(15)Òàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê âûâîäó, ÷òî âûðàæåíèå (14) åñòü êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, à âåëè÷èíû Qk è Pk ñîîòâåòñòâåííî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû è èìïóëüñ.
Ïðè÷åì ó ïîëÿ áåñêîíå÷íîå÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû.Ïîñêîëüêó Ṗk = Q̈k äëÿ íåçàâèñèìûõ ýëåìåíòàðíûõ ñîñòîÿíèé ïîëÿ ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ:Q̈k + ωk2 Qk = 0.(16)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (16) òîæäåñòâåííà óðàâíåíèþ äëÿ ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì,âìåñòî íåïðåðûâíîé ïåðåìåííîé A(r, t) ïîëå îïèñûâàåòñÿ äèñêðåòíûìè ïåðåìåííûìè Qk . Ïîñêîëüêó ïëîñêèå âîëíû ïîïåðå÷íû, äëÿ îáîáùåííûõ êîîðäèíàòïîëó÷àåì àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå: (k, Qk ) = 0, ò.å. äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî êîëåáàíèÿ ñóùåñòâóåò äâå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíòû â ïëîñêîñòè,ïåðïåíäèêóëÿðíîé âîëíîâîìó âåêòîðó k :XQk = e1 Qk1 + e2 Qk2 , è Q2k = Q2k1 + Q2k2 =(17)Q2kα .αÇäåñü èíäåêñ α õàðàêòåðèçóåò äâå íåçàâèñèìûõ ïîëÿðèçàöèè. ïåðåìåííûõ Qk è Pk ýíåðãèÿ ïîëÿ åñòü åãî ãàìèëüòîíèàí U ≡ H, ïîýòîìóX¢1¡ 2H=Hk,α , ãäå Hk,α =Pkα + ωk2 Q2kα .(18)2k,α5Òàêèì îáðàçîì êëàññè÷åñêèé ãàìèëüòîíèàí (18) ðàâåí ñóììå íåçàâèñèìûõ ñëàãàåìûõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ýíåðãèè êàæäîé äèñêðåòíîé ïåðåìåííîé.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
