f_tkb1 (1182060), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ïðåæäå÷åì ïåðåéòè ê êâàíòîâîìó ãàìèëüòîíèàíó, ñëåäóåò îïðåäåëèòü êëàññè÷åñêèåñêîáêè Ïóàññîíà íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, à çàòåì çàìåíèòü êëàññè÷åñêèå âåëè÷èíû îïåðàòîðàìè, ïîñòàâèâ èì â ñîîòâåòñòâèå ïðàâèëüíûå êîììóòàöèîííûåñîîòíîøåíèÿ.¶X µ ∂Pk,α ∂Qk,β∂Pk,α ∂Qk,β{Pk,α , Qk,β } =−= δα,β .∂Pk0 ,α0 ∂Qk0 ,α0∂Qk0 ,α0 ∂Pk0 ,α00 0k ,αÒåïåðü, ñîãëàñíî ïðèíöèïó ñîîòâåòñòâèÿ ìîæíî çàïèñàòü îïåðàòîð Ãàìèëüòîíàýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:´XX1³22 b2bbb(19)H=Hk,α =P + ωk Qkα ,2 kαk,αãäåk,αhibk0 ,β = −i~δk,k0 δα,β .Pbk,α , Q(20)Äàëåå çàäà÷à ðåøàåòñÿ òàê æå, êàê äëÿ îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà, åñëè ïîëîæèòü ôîðìàëüíî ìàññó m = 1. Ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûår1 bωk bp̂k,α = √Pk,α ,q̂k,α =Qk,α(21)~~ωkè ñîîòâåòñòâóþùèå íåýðìèòîâû ïîâûøàþùèå è ïîíèæàþùèå îïåðàòîðû1ak,α = √ (q̂k,α + ip̂k,α ) ,21a+k,α = √ (q̂k,α − ip̂k,α ) .2(22)Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóëû (20), îïåðàòîðû (22) óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûìñîîòíîøåíèÿì:£¤ak,α , a+(23)k,β = δk,k0 δα,β .Îïåðàòîðû ak,α è a+k,α ñâÿçàíû ñ îïåðàòîðàìè ââåäåííûõ ðàíåå êîìïëåêñíûõàìïëèòóä â ðàçëîæåíèè âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì:s2π~c2α̂k,α =ak,α .(24)V ωkÑàì æå îïåðàòîð âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü â âèäåsX 2π~c2 ¡¢∗ −ikrb t) =+ ak,α eα eikr .A(r,a+k,α eα eV ωk(25)k,αÍàêîíåö, ãàìèëüòîíèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèä嵶X1+b=(26)H~ωk ak,α ak,α +.2k,α6Ïîñêîëüêó ãàìèëüòîíèàí (26) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó ãàìèëüòîíèàíîâ íåçàâèñèìûõ ïîäñèñòåì, âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:2Y|Ψi =(27)|nk,α i,k,αãäåa+k,α ak,α |nk,α i = nk,α |nk,α i.Çäåñü nk,α = 0, 1, 2, .

. . öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî.ÑîîòâåòñòâåííX1E=Ek,α , ãäå Ek,α = ~ωk nk,α +.2(28)(29)k,αÂèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â öåëîì ìîæåò èçìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî, îäíàêî â êàæäîé ñòåïåíè ñâîáîäû èçìåíÿåòñÿ íà âåëè÷èíó, êðàòíóþ~ωk , ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ ýëåìåíòàðíûõ âîçáóæäåíèé êâàíòîâàíà. Ýòè êâàíòûíàçûâàþò ôîòîíàìè.Âîçâðàùàÿñü ê îïðåäåëåíèþP ýíåðãèè ïîëÿ (29), âèäèì, ÷òî ýíåðãèÿ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ E0 = Emin = k,α ~ωk /2 = ∞.

Òàêèì îáðàçîì ìû âñòðåòèëèñüñ ðàñõîäèìîñòüþ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî óñòðàíèòü.  äàííîì ñëó÷àå âñå ïðîñòî(õîòÿ è ñìåøíî ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ìàòåìàòèêè): ïîñêîëüêó ïîëó÷åííàÿ ∞ âñåãäà îäíà è òà æå èçìåíèì (ïåðåíîðìèðóåì) íà÷àëî îòñ÷åòà äëÿýíåðãèè èìåííî íà ýòó, õîòÿ è áåñêîíå÷íóþ âåëè÷èíó: ýíåðãèþ îñíîâíîãî ñîñòîÿíèÿ ïîëÿ.  îñíîâíîì ñîñòîÿíèè íåò íè îäíîãî ýëåìåíòàðíîãî âîçáóæäåíèÿ, èîíî íàçûâàåòñÿ âàêóóìîì.

Òåïåðü ìîæíî îêîí÷àòåëüíî çàïèñàòü ãàìèëüòîíèàíñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ:Xb=~ωk a+H(30)k,α ak,α .k,αÑîñòîÿíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ îïðåäåëÿþòñÿ ÷èñëîì ôîòîíîâ ñ ðàçëè÷èíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè è ïîëÿðèçàöèÿìè:|Ψi = |nk1 ,α1 , nk2 ,α2 , . . . i.(31)+a+ki ,αi |Ψi = aki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . .

nki ,αi + 1, . . . i =p=nki ,αi + 1|nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi + 1, . . . i,aki ,αi |Ψi = aki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi − 1, . . . i =√=nki ,αi |nk1 ,α1 nk2 ,α2 , . . . nki ,αi − 1, . . . i.(32)Ñîîòâåòñòâåííî2 Òàêàÿçàïèñü ñîñòîÿíèÿ, ñòðîãî ãîâîðÿ íåâåðíà, îäíàêî ïîñêîëüêó äëÿ íàñ âàæíà òîëüêî ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé, à íèãäå áîëüøå â òàêîì âèäå ìû ñîñòîÿíèåçàïèñûâàòü íå áóäåì, òî äàííàÿ íåñòðîãîñòü çíà÷åíèÿ íå èìååò.7Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå ïîëÿ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïîäåéñòâîâàâ ñîîòâåòñòâóþùèì÷èñëîì ðàç ïîâûøàþùèì îïåðàòîðîì íà îñíîâíîå, âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå:¢nk ,α¡i iY a+ki ,αip|0i.|Ψi =(33)+1)!(nk,αi iiÎïåðàòîðû a+ki ,αi è aki ,αi íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îïåðàòîðàìè ðîæäåíèÿ èóíè÷òîæåíèÿ ôîòîíîâ.8.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)