Овчинкин часть 3 (1181127), страница 5
Текст из файла (страница 5)
При каком напряжении. ускоряющем электроны, разрешающая сила этих приборов будет одинакова? 2.38. Электрон притягивается к поверхности жидкого гелия электростатическими силами изображения, потенциальная энергия которых, как известно, равна е в †! д 1У(х) =— 4х с+!' где х — кратчайшее расстояние от электрона до поверхности, е— заряд электрона, с= 1,057 — диэлектрическая проницаемость гелия (рис.!2). В то же время медленный электрон не может проникнуть внутрь гелия из-за отталкивания (так называемое отрицательное сродство гелия к электрону). Поэтому можно считать, что на поверхности (х = О) потенциальная энергия испытывает бесконечный скачок и электрон оказывается в потенциальной яме г! (рис.
12). Пользуясь этой моделью и соотношением неопределенностей, оценить по порядку величины среднее расстояние х электрона от поверхности гелия в основном состоянии и энергию связи 8,„ электрона вблизи поверхности гелия. 2.39'. Оценить энергию основного 4/(х) состояния частицы массой гл и характерный размер области локализации частицы в потенциальном поле, равном к<0, а! /х ~йх, х>0. Сравнить с задачами 3.5 и 3.6. 2.40: Электрон движется со скоРис. 12 ростью и в плоскопараллельном слое вещества толщиной И с показателем преломления л перпендикулярно к ограничивающим плоскостям.
Скорость электрона г > с/и, так что наблюдается излучение Вавилова — Черенкова. Определить угловую расходимость Л р излучения, обусловленную конечной толщиной слоя 1рис. 13). 2.41'. Показать, что представление о классическом движении электрона в атоме водорода по первой боровской орбите противоречит соотношению неопределенностей Гейзенберга, т. е. неопределенность положения электрона порядка радиуса его орбиты.
2.42. Показать, что в водородоподобных атомах на круговой стационарной боровской орбите укладывается целое число длин волн де Бройля. Определить длину волны де Бройля на круговой орбите с главным квантовым числом и. 2.43'. Оценить на основании соотноше- 1 ния неопределенностей радиус атома водорода в основном состоянии и энергию связи электрона в том же сотоянии. Определить на основании таких же оценок размер двух- атомной молекулы и энергию ее основного состояния, рассматривая молекулу как одномерный гармонический осциллятор с собственной частотой шв и приведенной массой ц.
2.44: Действие силы на свободно движущуюся частицу массой гл можно обнаружить„наблюдая изменение ее координаты во времени. Оценить в соответствии с квантовомеханическими законами, какую минимальную силу, действующую по направлению движения частицы, можно обнаружить таким способом за время наблюдения т. 2.45; Силу можно измерить по изменению энергии пробного тела массой т до и после действия силы. Оценить в соответствии с квантовомеханическими законами, какую минимальную силу, дей- гг ствующую по направлению движения частицы, можно обнаружить таким способом за время наблюдения т, если начальная энергия пробного тела, равная йш много больше приращения энергии. 2.46: Желание измерить координату .т электрона с хорошей точностью путем уменьшения длины волны Х измерительного фотона, т.
е, локализация его в размере Х, приводит к тому, что появляется вероятность рождения виртуальных (е е~)-пар. В силу неразличимости электронов мы не можем отличить исходный электрон от электрона рожденной пары. Оценить, к какой погрешности Лх, которая практически определяет размер электрона, это приводит? 2.47. Соотношение неопределенностей между энергией и временем имеет два различных содержания: одно из них относится к нестабильным состояниям — оно определяет естественную ширину энергетического распределения излучения с энергией в, происходящего за время т, а другое относится к измерению — оно определяет время т, необходимое для измерения энергии 6 с заданной точностью Лгь. Используя обе эти стороны соотношения неопределенностей, оценить минимальное время гььь необходимое для определения того, находится ли ядро зтре в первом возбужденном состоянии с энергией бт = 14,4 кэВ, или оно уже претерпело"?-распад и находится в основном состоянии. Какова будет ширина измеряемого при этом энергетического распределения у-лучей.
2.48'. Рассмотрим опыт по дифракции электронов на двух щелях в незакрепленном экране. Определив место попадания частицы 1положение максимума 1-го порядка) и измерив х-компоненту импульса отдачи экрана со щелями Лрк 1рис. 14), можно, казалось бы, определить, через какую щель проходит электрон. Этот мысленный опыт Эйнштейн предлагал Бору в качестве аргумента против соотношения неопределенностей. Показать, что измерение импульса отдачи экрана с необходимой точностью приводит к неопределенности в импульсе рассеянного электрона и тем самым к размытию интерференционной картины в полном соответствии с соотношением неопределенностей.
Рис.!4 2.49'. Согласно принципу дополнительности Бора невозможно одновременное проявление микроскопическим объектом волновых и корпускулярных свойств. В 1995 г. в Массачусетском технологическом институте (США) был осуществлен эксперимент, направленный на проверку основ квантовой механики. Идея такого экспери- гз 1оо о Я 800 о 40 -50 О 50 Смещение, мам мента обсуждалась Фейнманом в своих лекциях. Как показано на рис. 15, пучок монохроматических атомов Ха (и= 1400 м/с) направлялся на дифракционную решетку с периодом и = 200 нм, где он расщеплялся на прямой пучок и продифрагировавший в первый порядок. Затем второй решеткой пучки сводились, образовывалась интерференционная картина, контраст которой измерялся. На расстоянии от первой решетки атомы Ха возбуждались лазером (гф — — 6000 А).
При возвращении в исходное состояние атомы испускали фотоны, которые в принципе позволяют определить 1 1 траекторию атома. На каких Ма ! расстояниях а согласно принци- 1 1 пу дополнительности происходи- ло размытие интерференционной 1 к картины? 2.50. Пучок немонохроматиРис.!5 ческих нейтронов с длиной вол- ны ог 2 до б А с концентрацией на единицу длины и на единицу интервала длин волн п(и) = по/г (и — скорость нейтронов), падает на толстый кусок поликристаллического бериллия, состоящего из большого числа ориентированных в различных направлениях маленьких кристаллов. Считая рассеяние нейтронов в образце однократным, вычислить силу, действующую на бериллий, если известно, что у Ве межплоскостное расстояние Ы - 2 А, а пв = 104 см 'с '? 2.51.
В октябре ! 999 г. в Венском университете бкш осуществлен эксперимент по дифракции очень массивных частиц — фуллеренов — молекул углерода Сыь Пучок молекул направлялся на дифракционную решетку с периодом И = 100 нм, а затем на расстоянии 1= 1,25 м от решетки измерялось пространственное распределение прошедших частиц.
Как видно из приведенных на рис. 16 результатов эксперимента, кроме прямого пучка наблюдалось 1гоо еще два симметрично рас- положенных максимума на о расстояниях Л = .+ 25 мкм. Какова была скорость фуллеренов в пучке? 2.52. Кластеры атомов или молекул получаются при расширении и, тем сао мым, охлаждении вылетаю- т щих из сопла монохроматигоо ческих частиц. В одном из экспериментов с кластерами гелия в 1994 г.
в ГеттинРис. 16 геме (Германия) на пути г4 пучка была установлена дифракционная решетка с периодом ~7= 200 нм и затем с помощью масс-спектрометра анализировался спектр частиц под различными углами в первом порядке интерференции (рис. 17). Определить скорость гелиевых кластеров: димеров, состоящих из четырех атомов гелия и обозначенных на рис. 17 как (Нез) 2 (В = 0,69 мрад), и тримеров, состоящих из шести атомов гелия (Нез)з (В = 0,46 мрад). 60 50 » 40 о зо 20 1о О О.г О.4 ОЛ О, нр»з Рис.!7 2.53.
Оценить неопределенности отклонения от вертикали Ьу и момента импульса ЛХ. математического маятника, совершающего малые колебания в поле силы тяжести. Масса маятника равна и, длина — Д 2.54'. Для гармонического осциллятора можно определить время как «движение» фазы осциллятора: 1 = р/02.
Используя соотношение неопределенностей энергия-время, найти связь между флуктуациями Л1»' среднего числа М когерентных осцилляторов в системе и флуктуацией Л р их фазы Р. В 3. Уравнение Шредингера. Квантование. Потенциальные барьеры 3.1'. Найти плотность потока вероятности для: а) плоской волны (.р, ~ 1 'р = ехр ~1 — ' г) = ехр(1хз), б) сферической волны 1р = — ехр(йг), ~а) /т 1 в) суммы сходящейся и расходящейся волн р = (хем" — е и"). 2«г 3.2. Волновая функция частицы массой 02, совершающей одномерное движение, имеет вид у(х) = Ае " . Найти потенциал (2(х), в котором двигается частица, и ее энергию е, если известно, что при х = О, 17(х) =О.
25 3.3. Волновая функция частицы массой т, совершающей одно- мерное движение в поле с потенциалом !/(.к), есть г!лз ехр( —.к/и) при х > О, 0 при .л<0. к Оценить с помощью соотношения неопределенностей среднюю кине- тическую энергию (Т) частицы и сравнить с результатом точного расчета. Найти //(х) при х > 0 и полную энергию частицы 8, если известно, что 1/(х) — 0 при .к — + 3.4. Волновая функция частицы массой т, совершающей одно- мерное движение в поле с потенциалом //(х), есть Ах ехр( — л/сс) при х > О, 'Р( ) О при лжО. к Оценить с помощью соотношения неопределенностей среднюю кине- тическую энергию (Т) частицы и сравнить с результатом точного расчета. Найти среднее значение координаты (.к), а также //(х) при .к > 0 и полную энергию 4/, если известно, что //(к) — 0 при .к- ю. 3.5.
Частица массы т находится в одномерном потенциале !со при лсО, ~/сх при .к > О. Оценить энергию основного состояния частицы в этом потенциале, используя в качестве волновой функции 1р =.к ехр( — их). В качест- ве оценки взять минимальное значение среднего значения полной энергии частицы. Сравнить с задачей 2.39. З.б. Используя правило квантования Бора — Зоммерфельда, най- ти закон квантования энергии частицы массой т при больших зна- чениях главного квантового числа л (в квазиклассическом прибли- жении) в одномерном потенциале 1с со при к < О, )/сх при х> О. Указан ие. Правило квантования Бора — Зоммерфельда: Фр /! = пй. 3.7. В кулоновском поле простейшим сферически симметричным решением уравнения Шредингера является волновая функция 1р = А ехр( — аг).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
