l11 (1175283), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Карно (1796–1832) в своей работе “Рассуждения одвижущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу” предложил рассмотреть цикл тепловоймашины, составленный только из обратимых процессов. У такой машины КПД должен быть больше, чемКПД любой другой машины, цикл которой состоит из необратимых процессов.Если для подвода теплоты к рабочему телу необходимо совершитьртеплообменс нагревателем, а теплообмен обратим только при равенстве1температур рабочего тела и нагревателя, то осуществим тепловой контактрабочего тела с нагревателем в изотермическом процессе. Это первый2процесс цикла (на рис. 11.4 кривая 1–2 – изотерма), проходящий приТ1температуре нагревателя Т 1 .

Чтобы потом обратимо осуществить передачутеплоты холодильнику, т.е. изотермический процесс 3–4 при температуре4Т2холодильника Т 2 , необходимо перевести рабочее тело с одной изотермы на3другую. Единственным обратимым процессом при этом может быть0VРис. 11.4равновесный адиабатный процесс. На диаграмме (p,V) он изображен кривой2–3. Аналогичный процесс адиабатного сжатия 4–1 понадобится для возвращения рабочего тела висходное состояние. Получаемый цикл из четырех процессов носит название цикла Карно. Он являетсяединственно возможным обратимым циклом рабочего тела при одном нагревателе и одномхолодильнике в тепловой машине. Поэтому, в соответствии с выводами § 11.1, КПД цикла Карно будетмаксимальным среди КПД всех возможных циклов, которые рабочее тело может осуществитьмежду нагревателем и холодильником с заданными температурами Т 1 и Т 2 .

В этом состоитсодержание теоремы Карно.Рассчитаем КПД цикла Карно к . Согласно (11.2),Q  Q2 1.Q1Q1Поскольку теплота от нагревателя передается в изотермическом процессе 1–2, тоmVQ1  A12  RT1 ln 2 .V1к Aц(11.4)(11.5)Аналогично, теплоту, передаваемую холодильнику в изотермическом процессе 3–4, определим поформулеQ2  A34 Подставляя (11.5) и (11.6) в (11.4), получаемmVRT2 ln 4 .V3(11.6)75Т1 lnк V2VVV Т 2 ln 4 Т1 ln 2  Т 2 ln 3V1V3V1V4.VVТ1 ln 2Т1 ln 2V1V1(11.7)Воспользуемся теперь уравнением Пуассона для связи параметров рабочего тела. Точки 2 и 3лежат на одной адиабате, поэтому p 2V2  p 3V3 . Кроме того, согласно уравнению состояния,p 2V2 p 3V3p 2  V3 . Из первого соотношения следует, что   , а из второго соотношения получимT1T2p 3  V2 p 2 V3 T1.

Приравниваем правые части полученных выражений:p 3 V2 T2V3 T1  V3   ,V2 T2  V2 откуда следует, что 1T1V2 1 T2V3.(11.8)Аналогично для адиабаты 4–1 можно получить, что 1T1V1 1 T2V4.(11.9)Поделим (11.8) на (11.9), тогдаV2 V3.V1 V4(11.10)Подставив (11.10) в (11.7), найдемк Т1  Т 2Т 1 2 .Т1Т1(11.11)В соответствии с теоремой Карно, эта формула определяет теоретический предел КПД всехвозможных тепловых машин с нагревателем, имеющим температуру Т 1 , и холодильником, имеющимтемпературу Т 2 . Соответственно тепловая машина, работающая по циклу Карно, называется идеальнойтепловой машиной.11.4. Второе начало термодинамики.

ЭнтропияПервый закон термодинамики не позволяет установить направление протекания процессов. Онтакже не исключает возможности такого процесса, единственным результатом которого было быпревращение теплоты, полученной от некоторого тела, в эквивалентную ей работу. Первое началодопускает также построение циклически действующей тепловой машины, совершающей работу за счетохлаждения одного источника теплоты. Такой двигатель называется вечным двигателем второго рода.Например, понижение температуры мирового океана на 0,01 С и превращение полученной теплоты вработу обеспечивает человечество энергией на 1700 лет при нынешних темпах энергопотребления!Обобщение большого количества экспериментальных фактов привело к выводу оневозможности построения вечного двигателя второго рода и получило название второго закона(второго начала) термодинамики.

Существует несколько эквивалентных друг другу формулировоквторого начала термодинамики. Сначала приведем две из них, принадлежащих немецкому физику Р.Клаузиусу (1850 г.) и английскому физику У. Томсону (он же лорд Кельвин,1851 г.):– невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодноготела к горячему;– невозможен процесс, единственным результатом которого является совершение работы за счетохлаждения одного тела.Сравним два способа расчета КПД цикла Карно, т.е.

приравняем соотношения (11.4) и (11.11):1Т2Q=1  2 .Т1Q176Q2ТQQ  2 , или 2   1 .Т2Т1Q1Т1Назовем отношение количества теплоты, полученного системой в каком-либо процессе, кQтемпературе этого процесса приведенной теплотой. В случае цикла Карно 1 – приведенная теплота,Т1Тогда получаем, чтополученная рабочим телом в процессе нагревания при температуре Т 1 , аQ2– приведенная теплота,Т2полученная рабочим телом в процессе теплообмена при температуре Т 2 (поскольку Q2  0 , то этоколичество теплоты на самом деле передается от рабочего тела). Если переписать последнеесоотношение в видеQ1 Q20,Т1 Т 2(11.12)то его можно сформулировать следующим образом: в равновесном обратимом цикле Карно суммарнаяприведенная теплота всех процессов равна 0.Рассмотрим теперь произвольный обратимый цикл А–В–А (рис.р11.5).

Разобьем этот цикл изотермами и адиабатами так, чтобыисходный цикл превратился в последовательность элементарныхциклов Карно 1-2-3-4. Естественно, что чем ближе адиабаты 2-3 и 4-11Bбудут находиться друг к другу, тем точнее получится приближение2последовательности циклов Карно к исходному циклу.

Тогда можносказать, чтодля осуществления исходного цикла потребуетсяAмножествонагревателейи холодильников. Для каждого из43элементарных циклов Карно будет справедливо соотношение (11.12) ввиде0VQ1i Q2iРис. 11.50.T1iT2iЕсли же просуммировать все эти выражения по исходному циклу, то получимQ0.TМатематически это означает, что выражениеQесть полный дифференциал некоторой функции S:TdS Q.T(11.13)Такую функцию ввел и дал ей название энтропия (по-гречески “превращение”) Р. Клаузиус в 1865 г.:это такая функция состояния термодинамической системы, дифференциал которой связан сэлементарным тепловым эффектом в обратимом процессе соотношением (11.13).Выведем расчетную формулу для изменения энтропии в обратимом процессе идеального газа.Подставим выражение (11.13) в (10.3) и учтем (10.6):T d S  dU  A  dU  p dV .Тогда, в соответствии с (10.5) и (8.8) получим:dS dU pi m d T m dV dV R R,TT2 T Vили после интегрирования в некотором процессе 1-2S TVimmR ln 2  R ln 2 .2T1 V1(11.14)Ясно, что если процесс круговой (цикл), то состояния 1 и 2 совпадают, т.е.

Т1  Т 2 и V1  V2 , атогдаS ц  0 .(11.15)7711.5. Основные свойства энтропии1. Обратимый процесс. Рассмотрим цикл Карно как пример обратимого процесса, в которомучаствуют три тела: нагреватель, рабочее тело и холодильник. Поскольку рабочее тело совершаетзамкнутый цикл, то для него справедливо (11.15), т.е. энтропия рабочего тела не изменяется.QСледовательно, если 1 – это изменение энтропии в процессе теплообмена с нагревателем, то, согласноТ1Qзакону сохранения энергии, изменение энтропии нагревателя в этом процессе определится как  1 .Т1Аналогичный вывод можно сделать и для второго слагаемого в (11.12). Тогда выражение (11.12) можнорассматривать и таким образом:Sнагр  S хол  0 .Обобщая все выводы для рабочего тела, нагревателя и холодильника, получаемS сист  0 .(11.16)Таким образом, алгебраическая сумма изменений энтропии всех тел, участвующих в обратимомпроцессе, равна 0.2.

Необратимый процесс. Рассмотрим в качестве примера необратимого процесса передачутеплоты от одного (более горячего) тела, температура которого Т 1 , к другому (более холодному) телу,температура которого Т 2 . Второе начало термодинамики утверждает, что процесс возможен только водном направлении: одно тело отдает количество теплоты Q1 , а другое получает количество теплотыQ2 .Направление процесса передачи теплоты учитывается в знаке этих величин: Q1  0 , а Q2  0 .Согласно закону сохранения энергии выполняется равенство Q1  Q2 . Рассмотрим промежуточныйэтап передачи столь малого количества теплоты, что температуры тел не изменяются.

ИзмененияQQэнтропии каждого из тел рассчитаем следующим образом: S1  1 , S 2  2 . Тогда общее изменениеТ2Т1энтропии системы из двух тел можно найти по формулеS сист  S1  S 2 Q1 Q2.Т1 Т 2Учитывая, что Т1  T2 , Q1  0 , а Q2  0 , получаемS сист  0 .(11.17)Таким образом, алгебраическая сумма изменений энтропии всех тел, участвующих в необратимомпроцессе, больше 0.Объединяя выводы (11.16) и (11.17), получаем, что для всех тел изолированной системы,участвующих в произвольном процессе, суммарное изменение энтропии неотрицательно:S сист  0 .(11.18)Этот вывод можно сформулировать несколько иначе: процессы в природе всегда идут в такомнаправлении, чтобы для всех тел, участвующих в процессе, алгебраическая сумма измененийэнтропии была неотрицательна.

Это правило, указывающее направление протекания любыхпроцессов, также является формулировкой второго начала термодинамики.Реальные процессы, происходящие в природе, всегда необратимы. Значит, энтропия системы вэтих процессах должна возрастать. Рост энтропии продолжается до тех пор, пока в системе не наступитсостояние равновесия, после чего все процессы в системе прекращаются. Другой вид приведеннойформулировки может звучать и таким образом: не может самопроизвольно происходить процесс суменьшением энтропии системы.Распространение второго начала термодинамики, установленного для замкнутых систем, на всюВселенную неправомерно.

Характеристики

Список файлов лекций