l10 (1175282), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

10.2(10.6)1Работа будет положительной (и площадь под графиком необходимо взять сознаком “+”), если газ увеличивает свой объем. Работа газа против внешних силбудет отрицательна (и площадь под графиком необходимо взять со знаком “–”),если газ уменьшает свой объем. Так, например, на рис. 10.2 видно, что A1a 2  0 , аА2б1  0 .

Кроме того, А1а2  А2б1 . Таким образом, работа идеального газа зависит не только отначального и конечного состояния газа, но и существенно зависит от процесса перевода газа из одногосостояния в другое.Количество теплоты В соответствии с первым началом термодинамики количество теплоты,подведенное к газу, определяется суммой изменения внутренней энергии газа и совершенной им работы.Поскольку работа газа зависит от вида процесса, совершаемого газом, то и количество теплоты тожезависит от способа изменения состояния газа.

Для определения количества теплоты, подведенного кидеальному газу в произвольном процессе (или отведенного от него) можно воспользоваться уравнением(10.2). Однако часто бывает удобно рассчитать необходимую величину непосредственно, не прибегая красчету работы и изменения внутренней энергии.

С этой целью введем понятие теплоемкости.Теплоемкость тела (системы) численно равна количеству теплоты, которое необходимосообщить телу (системе), чтобы изменить его температуру на 1 К в данном процессе:QC.dT68Чтобы сравнивать между собой поведение различного числа молекул одного и того же вещества,удобно ввести понятие удельной теплоемкости вещества. Она численно равна количеству теплоты,которое необходимо сообщить единице массы тела (системы), чтобы изменить ее температуру на 1 К:1 Q.m dTсуд Удельная теплоемкость вещества также зависит от вида процесса изменения состояния системы. Длягазов очень удобно применять понятие молярной теплоемкости, которая определяется количествомтеплоты, необходимым для изменения температуры 1 моля газа на 1 К:Q.(10.7)Сm dTРассчитаем молярные теплоемкости идеального газа в изопроцессах. Для этого запишемiуравнение первого начала термодинамики для 1 моля: Сm dT  RdT  pdVm .2В изохорном процессе объем газа не изменяется, поэтому pdVm  0 и Q  dU .

Получаемвыражение для молярной теплоемкости идеального газа в изохорном процессе, которую обозначим CV :CV iR.2Тогда внутренняя энергия идеального газа может быть также определена по формулеmU  CV T .(10.8)(10.9)В изобарном процессе изменения объема газ совершает работу и тогда выражение для молярнойтеплоемкости идеального газа в изобарном процессе, которую обозначим C р , приобретает вид:Cp dViR p m .2dTВоспользуемся теперь уравнением Менделеева–Клапейрона для 1 моля газа (8.7), выразивэлементарную работу газа в изобарном процессе как pdVm  RdT .

Тогдаii2Cp  R  R R.(10.10)22Нетрудно видеть, что соблюдается соотношениеC p  CV  R ,(10.11)которое было впервые получено Р. Майером в 1842 г., а поэтому называется уравнением Майера.В изотермическом процессе газ не изменяет свою температуру, поэтому dT  0 . Однако газрасширяется, следовательно, он совершает работу: А  0 . Тогда молярная теплоемкость идеальногогаза в изотермическом процессеCT dViR  p m   .2dTВо всех рассмотренных изопроцессах молярные теплоемкости идеального газа постоянны изависят только от внутреннего строения его молекул.

Процесс, в котором теплоемкость вещества неизменяется, называется политропным. Получим уравнение такого процесса для идеального газа.miИспользуем выражение первого начала термодинамики: Сm dT   RdT  pdV , где   . Изμ2уравнения (8.8) следует, что p dV  V d p   R dT . Тогдаp dV  V d pp dV  V d pСm CV p dV ,RRp dV (Сm  CV  R)  V d p (CV  Сm ) .Воспользуемся теперь (10.11) и перепишем это в видеp dV (Сm  C p )  V d p (CV  Сm ) .Полученное дифференциальное уравнение можно решить методом разделения переменных:69dV Сm  C p d p.V CV  СmpОбозначимnСm  C pС m  CV,(10.12)тогдаn ln V   ln p  const ,илиpVn const .(10.13)Полученное соотношение является уравнением политропного процесса, в котором теплоемкостьгаза остается постоянной величиной. Величина n, определяемая по (10.12), называется показателемполитропы для данного газа.

Если из (10.12) выразить молярную теплоемкость газа С m в политропномпроцессе, то найдемnС m  CVCpCVn, CVn 1n 1(10.14)гдеCpCV.(10.15)СтСpГрафик зависимости теплоемкости газа в политропном процессе отпоказателя политропы изображен на рис. 10.3. Нетрудно видеть, что приСVn  0 из уравнения (10.13) следует pV  pV  p  const , т.е. уравнениеизобарного процесса.

В этом случае, в соответствии с (10.14), Ст  С p . Приnn01Рис. 10.3n01n  1 из уравнения (10.13) получаем pV  pV  pV  const , т.е. уравнениеизотермического процесса. В этом случае, в соответствии с (10.14), Ст   .При n   из уравнения (10.13), извлекая корень п-й степени, можно получитьnp V  V  const , т.е.уравнение изохорного процесса. В этом случае, согласно (10.14), Ст  СV . Следовательно, всеизопроцессы идеального газа – частные случаи политропного процесса.Кроме известных изопроцессов можно ввести понятие адиабатического процесса.Адиабатическим (или адиабатным)процессомназывают процесс, который проходит безтеплообмена с окружающей средой (Q = 0).

Тогда в этом процессе Ст  0 , и из (10.14) можнополучить, что это возможно при n   . Уравнение адиабатного процесса имеет вид: pV   const . Этоуравнение впервые было получено французским математиком и механиком С. Пуассоном, а поэтомуназывается уравнением Пуассона. Показатель степени в этом уравнении называется показателемПуассона для идеального газа. Нетрудно увидеть, что, согласно (10.8) и (10.10), из (10.15) следуетСpСVi2.i(10.16)10.4. Анализ изопроцессов идеального газас помощью первого начала термодинамикиРассмотрим описание различных изопроцессов идеального газа с помощью первого началатермодинамики.Изохорный процесс.

Поскольку в этом процессе V  const , то газ не совершает никакой работынад внешними телами: AV  0 . В соответствии с первым началом термодинамики QV  UV . Используяуравнение Менделеева–Клапейрона, можно выразить изменение внутренней энергии идеального газаi miR T  V p . Подводимое к газу количество теплоты можноследующим образом: UV 22mрассчитать, используя (10.7) так: QV  СV T .70Изобарный процесс. В данном процессе происходит изменение объема газа, поэтому онmсовершает работу над внешними силами. Поскольку p  const то, согласно (10.6), A p  pV  R T .Из этого выражения следует физический смысл универсальной газовой постоянной: она численно равнаработе изобарного расширения 1 моля идеального газа при повышении его температуры на 1 К.Уравнение первого начала термодинамики для изобарного процесса запишем следующим образом:Q p  dU p  A p , или Q p  U p  A p . Используя уравнение Менделеева–Клапейрона, выразимизменение внутренней энергии идеального газа следующим образом:U p i miR T  pV .22mС p T .Изотермический процесс.

Поскольку в этом процессе T  const , то внутренняя энергияидеального газа не изменяется: UT  0 . Уравнение первого начала термодинамики для такого процессазапишем в виде QT  AT , или QT  AT . Следовательно, при подведении к газу теплоты ( QT  0 ), онрасширяется, совершая положительную работу против внешних сил ( A  0 ). Получим выражение длярасчета работы газа в изотермическом процессе, проинтегрировав (10.6):Подводимое к газу количество теплоты определяется с помощью (10.7) так: Q p V2V2Vppm RTmmdV  RT ln 2  RT ln 1  p1V1 ln 1 .V1 p2p2V1  VAT   p dV  V1Поскольку в данном процессе теплоемкость бесконечна, то для расчета подведенного к газуколичества теплоты можно использовать лишь выражение первого начала термодинамики. Основнойвывод при анализе превращения энергии в изотермическом процессе: получаемая от внешней средытеплота идет не на увеличение температуры газа, а возвращается обратно в среду в виде механическойработы.Адиабатный процесс.

В таком процессе газ не получает теплоты израдиабата внешней среды: Qад  0 , поэтому 0  dU ад  Aад . Поэтому при расширении газа,когда он совершает положительную работу против внешних сил ( A  0 ), изменениевнутренней энергии газа отрицательно ( U  0 ). Следовательно, согласно (10.4),изотерма0V температура газа уменьшается. Поэтому на диаграмме (p,V) криваяадиабатического расширения газа (адиабата) будет располагаться ниже кривойРис. 10.4изотермического расширения (изотермы), проведенной из той же начальной точки(рис.

Характеристики

Список файлов лекций