l4 (1175276), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Таким образом, втораясоставляющая вектора момента импульса материальной точки относительно произвольного полюса,лежащего на оси вращения, перпендикулярна оси вращения и направлена к центру вращения. Обозначимrее lO ⊥ :rrlO ⊥ = −mr|| ωr⊥ .(4.5)Объединяя выражения (4.4) и (4.5), запишем уравнение для определения момента импульсаматериальной точки относительно полюса:r rrrrlO = lO|| + lO ⊥ = mr⊥2 ω −mr|| ωr⊥ .(4.6)Последнее равенство проиллюстрировано на рис. 4.2. Размерность момента импульса в СИ:[lO ] = кг⋅м2⋅с–1.Вернемся к выражению (4.1) и рассмотрим его правую часть.

Векторное произведение радиусавектора точки, проведенного из полюса, на вектор силы называется моментом силы относительноrполюса, которое обозначается М O :rr rMO = r × F .(4.7)rrlωOМодуль момента силы (рис. 4.3) M O = rF sin α = Fh , где h = r sin α –rlO||r длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действияv силы – называется плечом силы. Рассмотрим основные свойстваrrrr||lO ⊥вектора М O .1. Момент силы относительно полюса не меняется приrrпереносе силы вдоль линии ее действия, поскольку при этом неOменяется плечо силы.2. Момент равнодействующей нескольких сил равен суммеРис.

4.2моментов каждой силы относительно полюса. Действительно,согласно свойству дистрибутивности векторного произведенияr rN rr rr r r N r N r rM O (F )M O ( R) = r × R = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi ) = ∑ M Oi .i =1i =1i =1rrТакимобразом,выражение(4.1)можетбытьможет быть записаноO rFв видеαrdlO N rh(4.8)= ∑ M Oi ,d t i =1Рис. 4.3т.е. скорость изменения момента импульса материальной точки равнасуммарному моменту сил, действующих на нее. Соотношение (4.8)называется основным уравнением динамики вращательного движения материальной точки илиуравнением моментов.В качестве примера можно рассмотреть движение планеты вокруг Солнца под действиемгравитационной силы. Момент, создаваемый силой гравитации относительно полюса, расположенного вцентре орбиты (Солнце) определяется по формулеrr rM O = r × Fг р .r rr rПоскольку центральная сила направлена к центру, то r || Fгр , а поэтому r × Fгр = 0 .

Следовательно,rr rмомент импульса планеты lO = [r , mv ] = сonst . Таким образом, либо планета будет двигаться поокружности (когда r = const ) c постоянной по модулю скоростью, либо по некруговой, но плоскойrтраектории (чтобы осталось постоянным направление вектора lO ). Вывод: материальная точка в полецентральных сил может двигаться только по плоской траектории.4.2. Момент импульса системы материальных точекотносительно полюсаСоставим для системы материальных точек основное уравнение динамики вращения вокругобщей оси. Запишем для каждой точки системы соотношение (4.8):r⎧ dlO1 r r= r1 , R1 ,⎪⎪ drt⎪ dlO 2r r⎪= r2 , R2 ,⎨ dt⎪....⎪ rr⎪ dlON = rr , R ,NN⎪⎩ d trrrгде lOi – момент импульса i-й точки; ri – ее радиус-вектор; Ri – равнодействующая всех сил на i-юточку; N – число точек системы.Просуммируем все составленные уравнения.

Тогда левая часть полученной суммы будет выражена ввиде[][][]NNd r[ri , mi vri ] = d ∑ [rri , mi vri ] .d t i =1i =1 d t∑Моментом импульса системы точек относительно полюса называется векторная суммамоментов импульсов каждой материальной точки системы относительно этого полюса:N rN rrrLO = ∑ lOi = ∑ [ri , mi vi ] .i =1Тогда(4.9)i =1rd LO N r r= ∑ ri , Ri .dti =1[](4.10)Равнодействующая всех сил, действующих на i-ю точку системы, определяется векторной суммойrrвнешних Fi и внутренних f ik сил:rr N rRi = Fi + ∑ f ik .k =1Поэтому (4.10) перепишем в видеrN ⎡r N r ⎤d LO N r r= ∑ ri , Fi + ∑ ⎢ri , ∑ f ik ⎥ .dti =1i =1 ⎣ k =1⎦[ ]mirriOrf ikr rri − rkrrkРис.

4.4rf kimkВторое слагаемое в последнем уравнении определяетсуммарный момент внутренних сил системы. Покажем, что он равеннулю. Для этого рассмотрим произвольную пару внутренних сил,действующих между i-й и k-й точками (рис. 4.4). Поскольку эти силыrrподчиняются третьему закону Ньютона, то f ik = − f ki . Поэтому сумма ихмоментов относительно точки О определяется следующим образом:rrr rr rr rr rr r rM ik + M ki = [ri , f ik ] + [rk , f ki ] = [ri , f ik ] − [rk , f ik ] = [(ri − rk ), f ik ] .rr rВекторы f ik и (ri − rk ) параллельны, поэтому их векторноепроизведение равно нулю.Таким образом, получили следующее выражение:rrd LO N r r= ∑ ri , Fi = М O внеш .dti =1[ ](4.11)Данное уравнение называется основным уравнением динамики вращательного движения системыматериальных точек или уравнением моментов: скорость изменения момента импульса системыматериальных точек равна суммарному моменту внешних сил, действующих на нее.Из выражения (4.11) следует, что если суммарный момент внешних сил, действующих насистему точек, равен нулю, то момент импульса такой системы остается постоянным.

Это –закон сохранения момента импульса системы материальных точек. Изменить момент импульсасистемы могут не внешние силы, а их момент. Вспомним, что отсутствие внешних сил, действующих насистему, приводит к постоянству ее импульса (2.10).Закон сохранения момента импульса есть следствие изотропии пространства относительноповорота осей координат: поворот осей координат не влияет на взаимодействие внутри системы тел.rДокажем это. Повернем оси координат некоторой системы отсчета на угол dϕ . При этом i-я точкаr rrrсистемы тел совершит перемещение dri , причем в соответствии с (1.12) dri = dϕ × ri .

Тогда можноr rсказать, что внешние силы, действующие на i-ю точку, совершили работу δA = Fi d ri . Поэтомуr r rδA = Fi (dϕ × ri ) .Полученное выражение в математике носит название смешанного произведения векторов.Оказывается, оно обладает замечательным свойством:r r rr r ra (b × c ) = b (c × a ) ,т.е. круговая перестановка его сомножителей не меняет результат произведения.

Поэтомуr r rr r rr rδA = Fi (dϕ × ri ) = dϕ (ri × Fi ) = dϕ М .Поскольку энергия системы при повороте осей координат не изменилась (не изменился характерrrrвзаимодействий в системе), то δA = 0 . А поскольку dϕ ≠ 0 , то М = 0 , а поэтому L = const .4.3. Момент импульса относительно осиРассмотрим вращение материальной точки вокруг оси OZ (рис. 4.5). Выбрав произвольныйrполюс на этой оси (точка О), найдем вектор lO – момент импульса данной точки относительно этогополюса.

Моментом импульса точки относительно оси называется скалярная величина lz – проекцияна данную ось момента импульса точки относительно произвольного полюса, принадлежащего этой оси:rZl z = Пр OZ lO .(4.12)rrrrωlOРанее (4.4) мы определили, что lO|| = mr⊥2 ω . Поэтомуr2lO||rlz = mr⊥ ω z .(4.13)vrr⊥mПодставив это в (4.6), получимrNdlz2 dω zr= mr⊥= ∑ M zi .(4.14)Odtdti =1Рис. 4.5Вспомним определение углового ускорения и перепишем (4.14) ввиде:N2mr⊥ ε z =N∑ M zi , или ε z =i =1∑ M zii =12mr⊥.Проекция углового ускорения материальной точки на ось вращения пропорциональна проекции наэту ось суммы моментов сил, действующих на точку. Коэффициентом пропорциональности в этом2соотношении выступает величина mr⊥ . Произведение массы материальной точки на квадратрасстояния точки до оси вращения называется моментом инерции материальной точкиотносительно оси:I z = mr⊥2 ,(4.15)где индекс “z” указывает на выбранную ось. Момент инерции – скалярная величина, его размерность вСИ [ I z ] = кг⋅м2.Теперь можно записать (4.14) в видеNIzεz = ∑ M z .(4.16)i =1Это иная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения материальнойточки (4.8) в скалярном виде.

Из этого соотношения следует физический смысл момента инерции.Момент инерции – мера инертности материальной точки во вращательном движении, он определяетмомент сил, который должен быть приложен к телу для придания ему определенного угловогоускорения. Вспомним, что при рассмотрении поступательного движения мерой инертности телавыступает масса тела.Введение понятия момента инерции позволяет (4.4) записать таким образом: lz = J z ω z .Сопоставив это выражение с определением импульса материальной точки, можно также рассмотретьаналогию понятий: импульс – момент импульса, масса – момент инерции, скорость – угловая скорость..

Характеристики

Список файлов лекций