l3 (1175275), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Сложив всеуравнения, получимEк. сист   A( F )   A( f ) .(3.7)Изменение кинетической энергии системы материальных точек определяется работой каквнутренних, так и внешних сил. Напомним, что изменение импульса системы материальных точекопределяется импульсом только внешних сил (2.10).3.4. Потенциальная энергия взаимодействияПусть задана система материальных точек, между которыми действуют толькопотенциальные силы. Если система под действием этих сил перешла из одного состояния в другое(изменились положения тел, их скорости и т.п.), то потенциальные силы совершили работу,которая не зависит от того, каким образом осуществилось изменение состояния системы.

Работапотенциальных сил зависит только от начального и конечного состояний системы. Поэтому этуработу можно взять в качестве характеристики изменения состояния системы тел.Введем характеристику изменения состояния системы тел, называемую потенциальнойэнергией Е п по следующему правилу:(3.8)Е п 1 Е п2  А12 ( f п ) ,где Е п1 – потенциальная энергия системы тел в состоянии 1; Е п 2 – потенциальная энергиясистемы тел в состоянии 2; А12 ( f п ) – работа потенциальных сил взаимодействия при переходесистемы из состояния 1 в состояние 2.

Это правило можно переписать в виде:Е п   А12 ( fп ) или dЕ п  А12 ( f п ) .Из последнего выражения видно, что работа потенциальных сил совершается за счет убылипотенциальной энергии системы. Изменение потенциальной энергии системы тел, междукоторыми действуют потенциальные силы, равно взятой с обратным знаком работе этих сил припереходе системы из одного состояния в другое.Физический смысл имеет только изменение потенциальной энергии, однако часто говорят опотенциальной энергии системы в данном состоянии. В этом случае потенциальная энергия водном из состояний условно принимается за нуль (нулевой потенциальный уровень). Пусть Е п1 =0, тогда Еп2  А12 ( fп )  А21( fп ) .

Таким образом можно сказать, что потенциальная энергиясистемы в некотором состоянии равна работе потенциальных сил при переходе системы из этогосостояния в состояние, в котором значение потенциальной энергии условно принято за нулевое.3.5. Дифференциальная связь между потенциальной силой и потенциальной энергией.Понятие градиентаВ §3.4 была получена интегральная связь между изменением потенциальной энергии ипотенциальной силой:2 Eп    Fпот dr .1Решим обратную задачу: зная значение потенциальной энергии (по отношению к заранеевыбранному нулевому уровню), которой обладает материальная точка, помещенная в силовоепотенциальное поле, найдем величину потенциальной силы.

Рассмотрим бесконечно малоеперемещение dr . Изменение потенциальной энергии на этом перемещении будет d Eп   F dr  ( Fx d x  Fy d y  Fz d z ) .Пусть перемещение тела происходит только вдоль оси ОХ так, что y  const и z  const . ТогдаFx  dE п. Производная функции, когда при дифференцировании по одной из переменных (вdxнашем случае по х) остальные переменные считаются постоянными, называется частнойпроизводной и обозначаетсяEEE. Таким образом, Fx   п .

Аналогично, Fy   п и Fz   п .xyxzТогда вектор силы можно представить следующим образом:   Eп   Eп   EпF  i Fx  j Fy  k Fz   (ijk).xyz(3.9)Вектор, компоненты которого равны соответствующим частным производным скалярнойвеличины по координатам, носит название градиента скалярной функции (обозначаетсясимволом grad). Таким образом,(3.10)F   gradEп .Часто для обозначения градиента вводят так называемый оператор Гамильтона, равный поопределению      ijk.xyz(3.11)Потенциальную силу можно представить следующим образом:F  Eп .(3.12)Можно показать (это будет сделано в курсе математики), что вектор Eп направлен в сторонумаксимального возрастания функции E п .3.6.

Закон сохранения механической энергииРассмотрим систему материальных точек, между которыми могут действовать какпотенциальные, так и непотенциальные силы.Эти силы могут быть как внешними (обозначим ихF ), так и внутренними (обозначим их f ). Воспользуемся теоремой об изменении кинетическойэнергии для системы материальных точек(3.6):Eк  A( f пот )  A( f непот )  A( Fпот )  A( Fнепот ) ,где Е к – изменение кинетической энергии рассматриваемой системы; A( f пот ) – сумма работ всехвнутренних потенциальных сил; A( f непот ) – сумма работ всех внутренних непотенциальных сил;A( Fпот ) – сумма работ всех внешних потенциальных сил; A( Fнепот ) – сумма работ всех внешнихнепотенциальных сил.Перепишем равенство следующим образом:Eк  [ A( f пот )]  [ A( Fпот )]  A( f непот)  A( Fнепот ) .Слагаемое [ A( f пот )] представляет собой изменение потенциальной энергии взаимодействия телсистемы за счет работы внутренних потенциальных сил.

Слагаемое [ A( Fпот )] представляет собойизменение потенциальной энергии взаимодействия тел системыза счет работы внешнихпотенциальных сил. Можно записать в целом, что Eп   A( f пот )  A( Fпот ) . Тогда теорему обизменении кинетической энергии можно записать следующим образом:Eк  Eп  A( f непот )  A( Fнепот ) .Поскольку сумма кинетической и потенциальной энергий называется механической энергией, тоEк  Eп  Емех . Окончательно можно сформулировать равенство:Eмех  A( f непот )  A( Fнепот ) .(3.13)Таким образом, изменение механической энергии системы материальных точек равно суммеработ внутренних и внешних непотенциальных сил.

Выражение (3.13) часто называют закономизменения механической энергии.Закон сохранения механической энергии утверждает, что если работа внутренних ивнешних непотенциальных сил равна нулю, то механическая энергия системы не меняется.Замечание 1. Данный вывод справедлив, если потенциальные силы являютсястационарными, т.е. если их модуль и направление не зависят от времени.Замечание 2. Если внутри системы действуют только стационарные потенциальные силы,то система называется консервативной. Можно сказать, что механическая энергия сохраняется,если система консервативная и замкнутая. Однако это требование более сильное, чем то, котороетребуется в нашем условии выполнимости закона сохранения механической энергии.Замечание 3. Если внутри системы или на нее действуют диссипативные силы, томеханическая энергия системы сохраняться не может, если не работают внешние силы, работакоторых восполняет убыль энергии в системе.Замечание 4.

Закон сохранения механической энергии справедлив только в инерциальнойсистеме отсчета. Это следует из того факта, что закон был получен на основании теоремы обизменении кинетической энергии, которая сама являлась следствием второго закона Ньютона,который выполняется в инерциальной системе отсчета.Замечание 5. Можно показать, что закон сохранения механической энергии следует изоднородности времени, которая проявляется в том, что разные моменты времени одинаковы. Этоозначает, что два одинаковых эксперимента, поставленные в одинаковых условиях, приведут кодному и тому же результату.Замечание 6. Следует еще раз подчеркнуть, что общефизический закон сохраненияэнергии справедлив всегда без ограничений..

Характеристики

Список файлов лекций