Квантовая физика (1172598), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Докажите, что оператор квадрата момента импульса L̂2 коммутирует с операторами L̂x , L̂y и L̂z .Решение. По определению оператора L̂2Lˆ2 = Lˆ2x + Lˆ2y + Lˆ2z .Следовательно[Lˆ , Lˆ ]= [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]22xx2yxx2z(3.8)xДля первого слагаемого в (3.8) находим[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ2x2xxx− Lˆ x Lˆ2x = Lˆ3x − Lˆ3x = 0 .Второе и третье слагаемое в (3.8) преобразуем, воспользовавшись коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:[Lˆ , Lˆ ] = −i!Lˆ ;yxz[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .zxyС учетом этих соотношений21[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ == Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ = −i!(Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ),[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ = Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ Lˆ − Lˆ Lˆ Lˆ == Lˆ [Lˆ , Lˆ ]+ [Lˆ , Lˆ ]Lˆ = i!(Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ).2y2yxyy2zy2zz2yxxxzxxxxyxyyy2zxzyzxzzzxzxyzzyyxzxyxyyyxzyzzxzzПодставляя полученные выражения в (3.8), получаем[Lˆ , Lˆ ] = 02xто есть оператор L̂2 коммутирует с оператором L̂x .Аналогично доказывается коммутативность оператора L̂2 с операторами L̂y и L̂z .Вывод: квадрат момента импульса может быть одновременно точно измерентолько с одной из его проекций.Задача 9.

Докажите, что оператор квадрата импульса p̂ 2 коммутируетс оператором квадрата момента импульса L̂2 .Решение. В сферической системе координат1pˆ 2 = − ! 2 ∆ = − ! 2  ∆ r + 2 ∆θ ,ϕ r22Lˆ = − ! ∆ .θ ,ϕПоэтому[pˆ , Lˆ ] = ! [∆ , ∆ ]+ r1 [∆224rθ ,ϕ[2θ ,ϕ, ∆θ ,ϕ ] .]]=∆ ∆В этом выражении коммутатор ∆ θ,ϕ , ∆ θ,ϕ = ∆2θ,ϕ − ∆2θ,ϕ = 0 .[Также равен нулю и коммутатор ∆ r , ∆ θ,ϕrθ ,ϕ− ∆ θ,ϕ ∆ r = 0 , так как опе-раторы ∆r и ∆θ,ϕ содержат дифференциальные операции по разным переменным, и результат их последовательного действия на волновую функцию независит от порядка их следования. Тем самым мы доказали, что [pˆ 2 , Lˆ2 ] = 0 .Равенство нулю этого коммутатора означает, что квадрат импульса и квадратмомента импульса могут быть измерены одновременно точно.2223СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1.

Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994, 40 с.2. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш. шк., 1988, 527с.3. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО “Изд-во БИНОМ”, 1998,448 с.4. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991, 175 с.5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1961, 512 с.6. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.

Краткий курс теоретической физики . Кн. 2.Квантовая механика. М.: Наука, 1972, 367 с.24ОГЛАВЛЕНИЕ1. Постулаты квантовой мехаки.......................................................... 32. Представление физических величин операторами.......................... 63. Примеры решения задач......................................................................

10Список литературы.................................................................................... 2425.

Характеристики

Список файлов лекций