Квантовая физика (1172598), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, то из (2.3) следует, что∂2pˆ = pˆ = − !∂x 222x2Очевидно, что хотя среднее значение проекции импульса < px > равнонулю, среднее значение квадрата импульса < p2 > у движущейся частицыдолжно быть отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будет получено в серии измерений? Согласно (1.5)p2+∞a2! 2nπ x ∂ 2  nπ x sin= ∫ Ψ (x ){pˆ Ψn (x )}d x = − sind x =a ∫0a ∂x 2 a −∞*n2a=2 ! 2 n 2π 2nπ x2 ! 2 n 2π 2 adx =⋅ 2 ∫ sin 2⋅ 2 ⋅ .aa 0aaa2Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n2pπ 2 h2 2= 2 n .aВ том, что значение < p2 > найдено правильно, можно убедиться и другим способом.

Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) являетсясобственной функцией оператора p̂ 2 . Подействовав на нее оператором квадрата импульсаpˆ 2 Ψn (x ) = − ! 2∂2∂x 2 2nπ x  π 2 ! 2 n 2 a sin a  = a 22nπ x π 2 ! 2 n 2sin=Ψn (x ) ,aaa2мы получаем в результате такого действия ту же волновую функцию, умноженную на некоторое числоπ 2 h2 n2, которое является собственным значеa2нием оператора квадрата импульса.12Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат показывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями(3.2) при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенноезначение, равное соответствующему собственному значению оператора p̂ 2 .Поэтому при измерении p2 всегда будет получаться одно и то же значениеπ 2 h2 n2.p =a22Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата импульса в серии измерений, то есть2pπ 2 h2 2= 2 n .aЗадача 3.

Частица в некоторый момент времени находится в состоянии, описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеетвид x2Ψ(x ) = A exp − 2 + ikx  , −∞ < x < +∞ a(3.3)где A и a - некоторые постоянные, а k - заданный параметр, имеющий размерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса< px > частицы в этом состоянии.Решение. Так как для волновой функции (3.3)pˆ x Ψ = −i!2! ∂Ψ =  k! + 2 x  Ψ (x )a ∂x то по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем+∞px+∞= ∫ Ψ (x ){pˆ x Ψ (x )}d x = k! ∫ Ψ * (x )Ψ (x )d x +*−∞+−∞+∞2!2!xΨ * (x )Ψ (x )d x = k!I 1 + 2 I 2 .2 ∫a −∞aИз условия нормировки волновой функции13I1 =+∞*∫ Ψ (x )Ψ(x ) d x = 1.−∞Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функциейкоординаты x, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞до +∞.

Поэтому этот интеграл равен нулю, то есть+∞+∞ 2x 2 I 2 = ∫ x Ψ (x )Ψ(x ) d x = A ∫ x exp − 2  d x = 0 . a −∞−∞*2Поэтому, окончательно, находим отличное от нуля среднее значениепроекции импульса частицыpx = k h.Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантового осциллятора с частотой ω0 в первом возбужденном состоянии, описываемом волновой функцией m ⋅ ω 0x 2 Ψ(x ) = Ax exp − , −∞ < x < +∞ .2h (3.4)Здесь A - некоторая нормировочная постоянная, а m - масса частицы.Решение. Так как потенциальная энергия осциллятораkx 2 m ⋅ ω 0 x 2=U (x ) =,22то в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергииосциллятора находим по формуле{+∞}+∞U = ∫ Ψ * (x ) UˆΨ (x ) d x = ∫ Ψ (x )U (x )Ψ (x )d x =−∞=m ⋅ω2−∞2 +∞0 m ⋅ω0 x 2 2 4 − d x.Axexp∫!−∞Интегрируя один раз по частям, получим14+∞ m ⋅ ω0x 2 m ⋅ ω 20h2 2U =3 ∫ A x exp −⋅dx .h 22m ⋅ ω 0 −∞Так как по условию нормировки волновой функции+∞∫ Ψ (x )−∞2+∞ m ⋅ ω0x 2 d x = ∫ A x exp − d x = 1,h−∞22то для средней потенциальной энергии осциллятора получаем, окончательно,значение3U = hω 0 .4Правильность полученного результата можно обосновать следующим образом.

Как и при гармонических колебаниях классического осциллятора, средняя потенциальная энергия квантового осциллятора равна его средней кинетической энергии, а их сумма составляет полную энергию осциллятора.В квантовой механике полная энергия осциллятора определяется известной формулой1E n = hω 0  n +  , n=0, 1,2, .... .2Для первого возбужденного состояния (n=1) полная энергия осциллятора3равна E1 = hω 0 . Тогда для средней потенциальной энергии такого кванто2вого осциллятора получаем значения13U = E1 = hω 0 .24Задача 5. В основном состоянии атома водорода волновая функцияэлектрона имеет вид rΨ(r) = A exp −  , 0≤ r<∞ r1 (3.5)15где A - нормировочная константа, а r1 - значение боровского радиуса.

Найдите для этого состояния средние значения:а) модуля кулоновской силы, действующей на электрон;б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром;в) кинетической энергии движущегося электрона.Решение. Константу A найдем из условия нормировки волновой функции, которое в сферической системе координат запишется в видеA2∞ 2r ∫ exp − r1  4πr2d r = 1.0Отсюда2  r1 4πA   23∞∫ξ2 −ξe d ξ = 1.0Интегрируя по частям, находим∞∞∞I = ∫ ξ e d ξ = 2∫ ξe d ξ = 2∫ e− ξ d ξ = 202 −ξ−ξ00и вычисляем нормировочную константуA=1π ⋅ r13.а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит отрасстояния r электрона до ядра, причемe2F (r) =.4πε 0r 2Оператор модуля кулоновской силы F̂K есть оператор умножения на функцию F(r).Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле(1.15):16{∞}∞F = ∫ Ψ (r ) FˆK Ψ (r ) 4πr 2 d r = ∫ Ψ (r )F (r )Ψ (r )4πr 2 d r =*0=02 ∞∞ 2r ee  r1  −ξe22expded.Arξ−==  r 2πε 0 r12ε 0 ∫0πε 0 r13  2  ∫0 1 2б) Потенциальная энергия электрона в поле ядраe2,U (r ) = −4πε 0rа оператор потенциальной энергии Û есть оператор умножения на функциюU(r).Поэтому{∞}∞U = ∫ Ψ * (r ) UˆΨ (r ) 4πr 2 d r = ∫ Ψ (r )U (r )Ψ (r )4πr 2 d r = −00e2I1 .4πε 0Здесь∞ 2r 14π  r I1 = ∫ A exp −  4πr 2 d r = 3  1 r r1 πr1  2 022∞∫ ξe−ξ0dξ =1.r1Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основном состоянии атома водорода равноe2.U =−4πε 0r1в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5) r!2!2 1 d  2 d Ψ !2  2 1  −  A exp −  .Eˆ K Ψ = −r∆Ψ = −⋅ 2⋅ =2m02m0 r d r  d r  2m0 r1  r r1  r1 Поэтому вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона поформуле (1.15), получим∞{}E K = ∫ Ψ * (r ) Eˆ K Ψ (r ) 4πr 2 d r =0−∞ 2r 1!2A2 exp − 4πr 2 d r −∫m0 r1 0r r1 ∞ 2r !!2!222Aexp4rdrII2.−=−π1 r 2m0 r12 ∫0m0 r12m0 r12 1 217Первый интеграл I1 был вычислен в пункте б) , причем I1=1/r1.

Второй интеграл I2=1 в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднее значение кинетической энергии электрона равноEKh2h2h2=−=.m0r12 2m0r12 2m0r12Для проверки найденных значений U и E K заметим, что их суммадолжна быть равна полной энергии электрона в основном состоянии атомаводородаE1 = −m 0 e4.32π 2 ε 20 h2Если учесть, что боровский радиусr1 =4 πε 0 h2,m 0 e2то для полученных значений U и E Kдействительно имеет место равен-ствоU + EKm 0 e4h2e2=−+=−= E1 .4πε 0r1 2m0r1232π 2 ε 20 h2Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля момента импульса L2 и его проекции Lz на выделенное направление длячастицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функциейΨ(θ, ϕ) = A sin θ cos ϕ ,(3.6)где θ - полярный угол, ϕ - азимутальный угол, а A - некоторая нормировочная постоянная.Решение.

В сферической системе координат уравнение Шредингерадопускает разделение переменных. В этом случае оказывается возможнымисследовать зависимость волновой функции от угловых переменных, отвле18каясь от ее зависимости от радиальной переменной. Именно такой случайрассматривается в данной задаче.Условие нормировки для волновой функции Ψ(θ,ϕ) имеет вид2ππ00*∫ ∫ Ψ (θ, ϕ)Ψ(θ, ϕ) sin θ d θ d ϕ = 1 .Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получимA22π∫ cos02πϕ d ϕ ∫ sin 3 θ d θ = 1 .0Поскольку2π∫ cos2πϕdϕ = π ,а0∫ sin0то для константы A получаем значение A =3θd θ =4,33.4πИспользуя формулу Эйлера, представим cosϕ в комплексной формеcosϕ =()1 iϕe + e− iϕ .2Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно представить в видеразложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора L̂2 :3113131sin θ e iϕ + e − iϕ  =sin θeiϕ +sin θe − iϕ =24π22 8π2 8π11=Y1, +1 (θ, ϕ) +Y1, −1 (θ, ϕ).22Ψ(θ, ϕ) =Поскольку в этом разложении присутствуют только собственныефункции оператора L̂2 , отвечающие значениям l=1, то с учетом (2.11) это означает, что результатом измерения квадрата момента импульса всегда будетодно и то же значение L2 = 2h2 .

Для модуля момента в результате измеренияполучим L = 2h . Однако, два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями m=+1 и m=-1. Следовательно, при измерении проекции мо19мента импульса частицы, находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовываться два значенияL z = +hL z = −h .иЭти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, которые определяются квадратами модулей коэффициентов C1 и C2 в разложенииволновой функции в ряд по собственным функциям оператора L̂2 . Так как в1, то эти вероятности одинаковы и равны2нашем случае C1 = C 2 =P (+ h) =12P (− h) =и12Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно нулю, так как11L z = P (+ h)h + P (− h)(− h) = h − h = 0.22Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле(1.15).

Действительно∂ΨLˆ z Ψ = −i!= i!A sin θ sin ϕ .∂ϕПоэтомуLx =2ππ002ππ00∫ ∫ Ψ (θ ,ϕ ){Lˆ Ψ (θ ,ϕ )}sinθ dθ d ϕ =*z= i!A2 ∫3∫ sin θ sinϕ cosϕ dθ d ϕ =π2πi!A2sin 3 θ d θ ∫ sin 2ϕ d ϕ .∫2 00Так как второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, то следовательно и L z = 0 .Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса связаны коммутационным соотношением[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .x20yz(3.7)Решение. Коммутатор операторов L̂x и L̂y имеет вид[Lˆ , Lˆ ]= Lˆ Lˆxyxy− Lˆ y Lˆ xС учетом явного вида операторов (2.5) имеем[Lˆ , Lˆ ]= −!  y ∂∂z − z ∂∂y  z ∂∂x − x ∂∂z  −  z ∂∂x − x ∂∂z  y ∂∂z − z ∂∂y  =2xy  ∂∂∂∂∂∂∂= − ! 2  y + yz− yx 2 − z 2+ zx− zy+ z2+∂ z∂ x∂z∂y∂x∂y∂z∂x∂z∂x∂y ∂x2+ xy22222∂2∂∂2 ∂∂ 2xxz−− = − !  y − x  = i!Lˆ z .2∂z∂y∂z∂y ∂y  ∂xТочно также можно получить коммутационные соотношения для других пар операторов проекций момента импульса:[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ ;yz[Lˆ , Lˆ ]= i!Lˆ .xzxyВывод: три проекции момента импульса Lx, Ly, Lz не могут быть одновременно точно измерены.Задача 8.

Характеристики

Список файлов лекций