Квантовая физика (1172598)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Московский государственный технический университетим. Н.Э. БауманаЛ.К.Мартинсон, Е.В.СмирновМЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯК РЕШЕНИЮ ЗАДАЧПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИРАЗДЕЛ “ИЗМЕРЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНВ КВАНТОВЫХ СИСТЕМАХ”Под редакцией Л.К.МартинсонаИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2001Рецензент:Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Методические указания к решению задач по курсу общей физики: Раздел “Измерение физических величин в квантовых системах”/Под ред. Л.К.Мартинсона.

- М.: Изд-во МГТУ им.Н.Э.Баумана, 200_, ____ с.Содержится краткий обзор основных понятий и соотношений теории,необходимых для решения задач по одному из разделов квантовой механики.Изложена методика решения типовых задач.Для студентов II курса всех специальностей.2I. ПОСТУЛАТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИКвантовая механика принципиально отличается от классической механики в подходе к вопросу о результатах измерения физических величин вквантовых системах.Прежде всего, в квантовой механике физическая величина можетиметь дискретный спектр значений, тогда как в классической механике всефизические величины изменяются непрерывно.Кроме того, результаты измерения в квантовой системе имеют вероятностный характер.

Это означает, что в общем случае в процессе измерениянаблюдаемой физической величины в квантовой системе с определенной вероятностью может реализоваться одно из нескольких возможных значенийэтой величины. Говорят, что в таком квантовом состоянии физическая величина не имеет определенного значения.

В этом случае, зная волновую функцию, описывающую квантовое состояние, мы должны уметь предсказыватьсреднее значение наблюдаемой физической величины, полученное из рядаизмерений.Такой подход к вопросу о результатах измерения наблюдаемых физических величин в квантовой механике базируется на представлении физических величин операторами и разработке адекватного математического аппарата.Сформулируем основные постулаты квантовой механики:I. Каждому состоянию квантовой системы соответствует волноваяфункция Ψ(x, y, z, t), определяющая это состояние. Волновая функция находится из решения уравнения Шредингера.II. Каждой наблюдаемой физической величине f в квантовой механикеставится в соответствие некоторый линейный самосопряженный (эрмитов)оператор Φ̂ , действие которого на волновую функцию задается при его оп3ределении.

Соотношения между квантовомеханическими операторами аналогичны соотношениям, связывающим в классической механике соответствующие физические величины.III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемойфизической величины f может быть только собственное значение fn соответствующего ей оператора Φ̂ .Собственные значения оператора Φ̂ находятся из решения уравненияΦ̂ Ψn = f n Ψn .(1.1)Это уравнение имеет набор собственных функций Ψn и собственных значений fn. В случае дискретного спектра физической величины этот набор представляет собой счетное множество (n=1, 2, ...).Система собственных функций оператора любой физической величиныпредставляет собой полную ортонормированную систему функций.

Поэтомулюбую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по таким собственным функциям:Ψ = ∑ C n Ψn ,(1.2)nпричем коэффициенты этого разложения можно определить по формулеCn =∫ Ψn ΨdV .∗R(1.3)NЗдесь интегрирование ведется по всей области RN изменения пространственных переменных размерности N. При использовании декартовой системыкоординат в одномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных задачахdV=dxdy для N=2 и в трехмерных задачах dV=dxdydz для N=3.Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ не является собственной функцией оператора Φ̂ , то в этом квантовом состояниифизическая величина f не имеет определенного значения.

Вероятность Pn то-4го, что при измерении физической величины f в этом квантовом состояниибудет получено численное значение fn, находится по формуле2Pn = C n ,(1.4)а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по результатам большого числа измерений можно определить как( )ˆ Ψ dV .f = ∑ Pn f n = ∫ Ψ ∗ Φn(1.5)RNНеобходимым и достаточным условием возможности одновременноготочного измерения двух физических величин a и b является коммутативность соответствующих им операторов Â и B̂ , то есть выполнение равенства(1.6)[Aˆ , Bˆ ] ≡ Aˆ Bˆ − Bˆ Aˆ = 0 .Если же коммутатор [Aˆ , Bˆ ] двух операторов не равен нулю, то соответствующие им две физические величины не могут быть измерены одновременно и точно. Для таких физических величин справедливы соотношениянеопределенностей вида ∆a⋅∆b > 0, утверждающие что обе неопределенности ∆a и ∆b не могут одновременно стремиться к нулю.5II.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИНОПЕРАТОРАМИПриведем выражения для операторов основных физических величинквантовой механики:Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функциюсводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можнозаписать в виде равенствxˆ = x , yˆ = y , zˆ = z .(2.1)Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являются также операторы координат в цилиндрической и сферической системах координат.Операторы проекций импульса.

Эти операторы связаны с дифференцированием по соответствующим координатам, причемpˆ x = −i!∂∂∂, pˆ y = −i! , pˆ z = −i! .∂x∂z∂y(2.2)Используя известное соотношение классической механики, можно построитьоператор квадрата импульса по правилу∂2 ∂2 ∂2 222pˆ 2 = ( pˆ x ) + (pˆ y ) + ( pˆ z ) = − ! 2  2 + 2 + 2 ∂y∂z  ∂x(2.3)или, используя оператор Лапласа,pˆ 2 = − ! 2 ∆ .(2.4)Операторы проекций момента импульса. С использованием классической"" "формулы для момента импульса материальной точки L = [r , p ], можно построить операторы проекций момента импульса по правилам6 ∂∂ Lˆ x = yˆ pˆ z − zˆpˆ y = −i! y − z ∂y  ∂z∂  ∂Lˆ y = zˆpˆ x − xˆpˆ z = −i! z − x  .∂z  ∂x ∂∂ Lˆ z = xˆpˆ y − yˆ pˆ x = −i! x − y ∂x  ∂y(2.5)В сферической системе координат∂∂ Lˆ x = −i! sin ϕ+ ctg θ cos ϕ∂θ∂ϕ ∂∂ Lˆ y = −i! cos ϕ− ctg θ sin ϕ.∂θ∂ϕ ∂Lˆ z = −i!∂ϕ(2.6)Оператор L̂z имеет дискретный спектр собственных значенийL z = m h, где m=0, ±1, ±2, ...(2.7)каждому из которых соответствует собственная функцияΨm (ϕ) =1 imϕe2π(2.8)Эти собственные функции ортонормированы, так что1, ecли n = m*ΨΨ=.∫ m (ϕ) n (ϕ) d ϕ 00, ecли n ≠ m2πДля оператора квадрата момента импульса2 ∂∂Lˆ = Lˆ + Lˆ + Lˆ = − !  z − y  +∂z  ∂y22x2y2z22∂   ∂∂  ∂+  x − z  +  y − x ∂x   ∂x∂y  ∂z2.(2.9)В сферической системе координат оператор Лапласа∆ = ∆r +1∆ Θ,ϕr2может быть записан с выделением его радиальной части7∆r =1 ∂  2 ∂rr 2 ∂r  ∂r и угловой части∆θ ,ϕ1 ∂ 1 ∂2∂ sinθ.=+sin θ ∂θ ∂θ  sin 2 θ ∂ϕ 2В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферической системе координат преобразуется к видуLˆ2 = − ! 2 ∆θ ,ϕ .(2.10)Спектр собственных значений оператора L̂2 является дискретнымL2 = ! 2l (l + 1) , l=0, 1, 2, ....(2.11)причем каждому собственному значению с заданным значением l соответствуют (2l + 1) собственных функций Ψlm=Ylm(Θ,ϕ), отличающихся значениямицелочисленного параметра m=0, ±1, ±2, ..., ±l.

Каждому значению m соответствуют определенные значения проекции момента импульса Lz, которые определяются формулой (2.7).Функции Ylm(Θ,ϕ) называются шаровыми или сферическими функциями. Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферическихфункций:Y 0, 0 =133, Y1, 0 =cos θ , Y1, ± 1 =sin θ e ± iϕ .4π8π4π(2.12)Эти функции нормированы условием2ππ00∫ ∫ Y l,mY l,m sin θ d θ d ϕ = 1.*Операторы энергий.Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классическойформулой связи кинетической энергии частицы массы m0 и ее квадрата им-8пульса: E K =p2.

Аналогичное соотношение связывает операторы в кван2m0товой механике. Поэтому, с учетом (2.4), получаемpˆ 2!2Eˆ K ==−∆2m02m0(2.13)Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения на функцию U=U(x, y, z), определяющую потенциальную энергиючастицы в стационарном силовом поле, то естьUˆ = U (x, y , z ) .(2.14)Оператор полной энергии в квантовой механике называют операторомфункцииГамильтонаилипростогамильтонианом.ГамильтонианH$ определяется как сумма операторов кинетической и потенциальной энергий и имеет вид!2Hˆ = Eˆ K + Uˆ = −∆ + U (x, y , z ) .2m0(2.15)Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных силовых полей, понимая под Uˆ = U (x, y , z, t ) силовую функцию, связанную с си"лой, действующей на частицу, соотношением F = −∇U .9III.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧЗадача 1. Докажите, что оператор проекции импульса p̂ x является линейным самосопряженным (эрмитовым) оператором.Решение. Линейность оператора pˆ x = −i!∂ !∂очевидна, поскольку≡∂x i ∂xдифференцирование является линейной операцией. Покажем, что операторp̂ x является эрмитовым оператором, то есть для него выполняется условиесамосопряженности∫ Ψ ( pˆ Ψ )dV = ∫ Ψ ( pˆ Ψ ) dV .*1R*x22NRx(3.1)1NЗдесь Ψ1 и Ψ2 - две произвольные функции, для которых выполнены все условия, накладываемые на волновые функции.

В частности, эти функциидолжны обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области.Для упрощения выкладок ограничиваемся рассмотрением одномерногослучая, когда функции Ψ1 и Ψ2 зависят только от одной пространственнойкоординаты x. Тогда имеем+∞+∞+∞+∞∂Ψ∂Ψ *!!I = ∫ Ψ ( pˆ x Ψ2 )d x = ∫ Ψ1* 2 d x = Ψ1*Ψ2 + i! ∫ Ψ2 1 d x .i −∞i∂x∂x−∞−∞−∞*1Поскольку по условию Ψ1 (m∞) = Ψ2 (m∞) = 0 , то+∞+∞ ∂Ψ1* ∂Ψ1*I = i! ∫ Ψ2d x = ∫ Ψ2  i! d x =∂x ∂x −∞−∞=+∞*+∞∂Ψ *∫−∞Ψ2  − i! ∂x1  d x = −∫∞Ψ2 ( pˆ x Ψ1 ) d x.Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности+∞*∫ Ψ1 ( pˆ x Ψ2 )d x. =−∞для оператора проекции импульса.10+∞∫ Ψ ( pˆ Ψ ) d x*2−∞x1Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массы m0, движущейся в одномерной потенциальной яме ширины a с абсолютно непроницаемыми стенками, описывается волновой функцией 2nπx sinΨn (x ) =  aa00< x < a,,(3.2), x < 0, x > aгде n = 1, 2, ...

- квантовое число, определяющее состояние частицы.Определите: а) среднее значение координаты частицы x , б) среднеезначение проекции импульса < px > и в) среднее значение квадрата импульсачастицы < p2 >.Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψn* = Ψn , находим+∞ax = ∫ Ψ (x ){xˆΨn (x )}d x = ∫ Ψn (x )⋅ x ⋅ Ψn (x )d x .*n−∞0Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаемaaanπx21 2nπx x = ∫ x sin 2d x = ∫ x 1 − cosdx = .a a0aa0 2Этот результат физически достаточно очевиден.

Частица движется в пространстве между непроницаемыми стенками ямы x=0 и x=a, отражаясь отних. Поэтому среднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора p$x , находимсреднее значение проекции импульса+∞ ! ∂Ψn p x = ∫ Ψn* (x ){pˆ x Ψn (x )}d x = ∫ Ψn (x )d x =ix∂0−∞aanπ x! ∂Ψ 2!= ∫ n d x = sin 2= 0.2i 0 ∂xiaa 0aОтметим, что значение < px >=0 для частицы в яме получается и вклассической механике. Для классической частицы этот результат очевиден,11так как частица движется вдоль оси x, отражаясь от стенок ямы, а ее импульснаправлен то в одну, то в другую, противоположную сторону. Поэтому среднее значение проекции импульса частицы на ось x оказывается равным нулю.в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса < p2 >.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций