М.Э. Казарян - Дифференциальные формы расслоения, связности (1163419)
Текст из файла
ìÅÔÎÑÑ ÛËÏÌÁ óÏ×ÒÅÍÅÎÎÁÑ ÍÁÔÅÍÁÔÉËÁäÕÂÎÁ, ÉÀÌØ 2001.í. ü. ëÁÚÁÒÑÎäÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÙ,ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÑ, Ó×ÑÚÎÏÓÔÉМЦНМОíÏÓË×Á, 2002УДК 514.762.5ББК 22.151К14К14Проведение летней школы «Современная математика» и издание настоящей брошюры осуществлено при поддержке Московской городскойДумы и Московского Комитета Образования.Казарян М. Э.Дифференциальные формы, расслоения, связности. — М.:МЦНМО, 2002.— 16 с.ISBN 5-94057-023-2Брошюра написана по материалам цикла занятий, проведенных автором в Летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2001 года.Читатель знакомится с основными понятиями дифференциальной геометрии —дифференциальными формами, расслоениями, метриками, связностями.
При этомизложение ведется на языке, который не требует использования сложных формулс многоэтажными индексами, столь обычных для данного предмета.Брошюра адресована старшим школьникам и младшим студентам.ББК 22.151ISBN 5-94057-023-2c Казарян М. Э., 2002.c МЦНМО, 2002.Приведенные ниже записки занятий данного курса следует рассматривать как практическое руководство для работы с основными понятиямидифференциальной геометрии — дифференциальными формами, расслоениями, метриками, связностями и т. п. Мы пытались разработать язык,который не требует использования сложных формул с многоэтажнымииндексами, столь обычных для данного предмета.
В результате значительно упрощаются и становятся более понятными все вычисления.äÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÙÅ ÆÏÒÍÙИнвариантное определение дифференциальной k-формы в областиU Rn (или на многообразии) состоит в том, что это произвольная полилинейная (по отношению к умножению на функции) кососимметричнаяфункция от набора k векторных полей. Для практических нужд вполне достаточно координатного определения, согласно которому пространство k U дифференциальных k-форм образовано выражениями видаw=Xai1 , :::, ik (x1 , : : : , xn) dxi1 ^ : : : ^ dxik .(1)i1 <:::<ikТаким образом, k-форма задается набором из Ckn функций — своихкоэффициентов. Выражение dxi можно воспринимать как единый символ (его истинный смысл будет обсуждаться ниже).
Знак внешнегоумножения «^» говорит о том, что это умножение косокоммутативL kно, dxi ^ dxjdxj ^ dxi . Можно сказать, что алгебра UUдифференциальных форм — свободная косокоммутативная алгебра надкольцом функций от переменных x1 , . . . , xn с образующими dx1 , . . . , dxn .Операция внешнего умножения (a, b) 7! a ^ b билинейна по отношениюк умножению на функции и градуированно антикоммутативна:= = a ^ b = ( 1) kl b ^ a 2 k+l U,a 2 k U,b 2 l U.Помимо внешнего умножения, имеется операция d внешнего дифференцирования, повышающая степень формы на 1, U ! U ! ! U.P дfЕсли f — 0-форма, то есть функция, то df =dx — полный дифдx0d1d:::dniiференциал этой функции. В общем случае дифференциал dw формы (1)3имеет видXdai1 , :::, ik dxi1 ^ : : : ^ dxik=Xdai1 , :::, ik ^ dxi1 ^ : : : ^ dxik .(2)Операция внешнего дифференцирования удовлетворяет следующимсвойствам, которые можно использовать в качестве ее аксиоматическогоопределения:1) эта операция R-линейна;2) для 0-формы f (т.
е. функции) df — полный ее дифференциал;3) правило Лейбница: d(a ^ b) da ^ b ( 1) k a ^ db, где a 2 k U;4) d Æ d 0.Ясно, что единственность такой операции, и, в частности, формула (2)вытекают из этих свойств. Проверка существования несколько труднее:нужно убедиться, что дифференциальная форма (2) не зависит от выбора координат. Иной способ доказательства корректности определениядифференциала состоит в том, чтобы воспользоваться его инвариантнымопределением, формулируемым на языке функций от векторных полей,которое мы здесь не приводим.==+++Пример. В пространстве R3 1-формы A dx B dy C dz и 2-формыP dy ^ dz Q dz ^ dx R dx ^ dy задаются, как и векторные поля, наборами из трех функций, а 3-формы g dx ^ dy ^ dz — одной функцией. Этовлечет за собой несправедливое отождествление разных понятий и происходящую от этого путаницу.
Соответствующие этим отождествлениямоперации называются в классическом анализе градиентом, ротороми дивергенцией соответственно,++U0FUd/grad/U1FU3d/rotU2Ud3/F U.FUF U — пространство/3Здесь F U — пространство функций, 3полей», то есть наборов из трех функций.div/«векторныхЗадача. Напишите координатные выражения для градиента, ротора идивергенции на языке функций и векторных полей.Представление (1) зависит от выбора координат в области U.
При переходе к координатам y1 , : : : , yn коэффициенты формы меняются следующим образом: нужно в выражении (1) рассматривать dxi не как независимые символы, а как полные дифференциалы координатных функций xi4старой системы координат,dxiдxдx= дydy + +dy .дyii:::11nnПосле этого нужно подставить полученные выражения в (1) и упроститьвыражение, воспользовавшись полилинейностью и кососимметричностью. Приведенное правило гораздо более естественно и легче запоминается, чем приводимое в учебниках по дифференциальной геометрииправило преобразования ковариантных тензоров, каковыми являютсядифференциальные формы.Приведенное правило замены координат имеет следующее обобщение.Пусть задано отображение f : V ! U областей евклидовых пространств(или многообразий), возможно, различных размерностей.
Тогда аналогичным образом определяется операция индуцированияf : U ! V,kkдействующая «в обратном направлении». Обобщением инвариантностиопераций внешнего умножения и дифференциала являются равенстваf (a ^ b)= fa ^ fb,f da= d f a.Несмотря на всю важность приведенных выше свойств дифференциальных k-форм, стоит признать, что основное их назначение — интегрирование по k-мерным поверхностям.
Вот формальное определение.Пусть M — гладкая ориентированная k-мерная поверхность. Введемна ней локальные координаты y1 , : : : , yk , задающие положительную ориентацию. Тогда ограничение на M данной k-формы u принимает видujM g(y) dy1 ^ : : : ^ dyk и интегрирование формы сводится к обычномукратному интегралу=ZuM=ZDg(y) dy1 ^ : : : ^ dyk=Zg(y) dy1 : : : dyk ,Dгде D — соответствующая M координатная область в Rk . Если на поверхности M нельзя ввести единую систему координат, то можно разбить еена области, и положить интеграл от формы u равным сумме интеграловпо отдельным областям.Основной теоремой теории интегрирования является формула Стокса. Пусть M — k-мерная ориентированная поверхность (многообразие)5с краем дM.
Ориентация M индуцирует естественную ориентацию накраю1 . Тогда для всякой (k 1)-формы w имеет место формула Стокса:ZdwM=Zw.дMРазличными вариантами этой формулы являются формулы Ньютона—Лейбница, Грина, Гаусса—Остроградского, Стокса, изучающиеся в классическом анализе.ó×ÑÚÎÏÓÔØ ×S1 -ÒÁÓÓÌÏÅÎÉÉВ лекциях А. А. Болибруха2 неоднократно подчеркивалось, что связность в векторном расслоении — это возможность ковариантного дифференцирования его сечений. Мы здесь изложим иной, геометрическийподход к понятию связности.
Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая, когда слоем расслоения является окружность.Определение. S1 -расслоением называется гладкое отображениеpW ! M, такое, что для каждой достаточно малой окрестности U Mвсякой точки задан изоморфизм p 1 (U) U S1 , переводящий слоипроекции p в слои проекции U S1 ! U на первый сомножитель. Такойизоморфизм называется тривиализацией расслоения над областью U.Если задана другая тривиализация (например, над пересечением окрестностей), то переход к ней U S1 ! U S1 задается функцией перехода gна U, принимающей значения в группе диффеоморфизмов окружности.Потребуем для S1 -расслоений, чтобы все эти диффеоморфизмы являлисьповоротами окружности, то есть чтобы все функции перехода принимализначения в группе S1 поворотов окружности.=На каждом слое Wx p 1 (x) S1 расслоения определен угловой параметр f 2 R/(2pZ) с точностью до прибавления константы (то есть выбораначала отсчета).
Выбор тривиализации равносилен выбору локальногосечения, то есть начала отсчета на каждом слое над заданной окрестностью базы M.=1=Граница ориентируется по правилу: внешнююнормаль — вначало. Еслиx1 , x2 , : : : , xk — положительный касательный репер поверхности M в точке своего края,причем x2 , : : : , xk касаются края, а вектор x1 трансверсален краю и направлен наружу, тоx2 , : : : , xk — положительный касательный репер края дM.2 А.
А. Болибрух. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы. М.: МЦНМО,2002.6Хотя все слои Wx S1 изоморфны между собой, этот изоморфизмнеоднозначен. Связность позволяет частично сократить эту неоднозначность.=Определение. Связностью в S1 -расслоении называется поле касательных гиперплоскостей в пространстве расслоения, трансверсальноеслоям и инвариантное относительно действия группы поворотов S1 .Для всякого гладкого пути g на базе M, ведущего из точки x0 в x1 ивсякой начальной точки w0 2 Wx0 существует единственное поднятие bgв пространство расслоения, такое, что p (g) bg, bg (0) w0 и такое, чтопуть bg касается плоскостей связности в каждой точке (рис. 1).
Сопоставляя точке w0 конечную точку w1 над x1 пути bg, мы получаем отображение слоев g : Wx0 ! Wx1 . Построенное отображение называетсяпараллельным переносом вдоль пути g.==Ww0ĝw1gx0Mx1òÉÓ. 1. ðÁÒÁÌÌÅÌØÎÙÊ ÅÒÅÎÏÓ ÓÌÏÅ××ÄÏÌØ ÕÔÉ ÎÁ ÂÁÚÅТаким образом, можно утверждать, что связность — это инфинитезимальный параллельный перенос, то есть способ отождествить бесконечно близкие слои.Поле гиперплоскостей связности можно задать как поле ядер некоторой 1-формы a в пространстве расслоения. Форма a определена сточностью до умножения на ненулевую функцию.
Нормируем a условием того, что ее значение на единичном касательном векторе к слою д/дfравно 1 (f-угловой параметр на слое). Если выбрать некоторую тривиализацию, то из S1 -инвариантности поля связности вытекает, что форма aимеет видa df p j,=где 1-форма j задана на базе расслоения (точнее, в той области базы,над которой выбрана тривиализация). Форма j называется 1-формойсвязности. Эта форма зависит от выбора тривиализации. Если задана7другая тривиализация с угловой координатой f0равенстваa df p j df0 p j0== f + g(x), x 2 M, то из=мы получаемj0 = j + dg,(3)то есть при изменении тривиализации к форме связности добавляется дифференциал функции перехода.
Для того, чтобы задатьсвязность в S1 -расслоении, достаточно задать ее 1-форму на каждойобласти, над которой задана тривиализация, так, чтобы на пересеченииобластей эти 1-формы были согласованы условием (3) .Если путь целиком лежит в области, над которой задана тривиализаg, задающее параллельный перенос вдоль g, задаетсяция, то поднятие bравенством (df j) (bg) 0, то есть изменение угловой координаты fудовлетворяет уравнению f j (g). Поэтому угол, на который поворачивается слой при параллельном переносе, равен_ =_= _f =Zgj.Как зависит параллельный перенос от пути g, ведущего из точки x0 вточку x1 ? Чтобы понять ответ на этот вопрос, рассмотрим близкий вопрос: чему равен параллельный перенос вдоль замкнутого пути? (Связьс предыдущим вопросом возникает из рассмотрения замкнутого путиg2 1 g1 , где g1 и g2 — два различных пути из x0 в x1 .) Пусть g — замкнутая стягиваемая петля, то есть g дD является границей некоторогодвумерного диска D.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
