М.Э. Казарян - Дифференциальные формы расслоения, связности (1163419), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда по формуле Стокса=f =ZдDj=Z=w,где wD= dj.Дифференциальная 2-форма w dj называется формой кривизны заданной связности. Она инвариантно определена, то есть не зависит отвыбора тривиализации. Действительно, для другого выбора тривиализации мы имеем w0 dj0 dj ddg dj w.Из приведенных рассуждений мы получаем следующий вывод: параллельный перенос не меняется при гомотопии пути в пространствекривых с фиксированными концами, если и только если форма кривизны связности тождественно обращается в нуль.
Связность снулевой формой кривизны называется плоской. 1-форма плоской связности, заданная в некоторой односвязной области базы, замкнута и выбором тривиализации ее можно превратить в нулевую форму.== += =8äÉÆÆÅÒÅÎÉÁÌØÎÁÑ ÇÅÏÍÅÔÒÉÑ Ï×ÅÒÈÎÏÓÔÅÊПокажем в качестве примера, как язык связностей в S1 -расслоениипозволяет существенно упростить все вычисления в дифференциальнойгеометрии поверхностей.Определение. Метрикой, или римановой структурой на поверхности называется невырожденное скалярное произведение в каждой еекасательной плоскости.Если M R3 — поверхность в трехмерном евклидовом пространстве,то ограничение евклидовой структуры на поверхность задает на ней риманову структуру.Рассмотрим пространство W касательных векторов единичной длины. Это пространство образует S1 -расслоение p : W ! M.
Слоем этогорасслоения служит окружность касательных векторов единичной длины,приложенных к данной точке поверхности. Тривиализация этого расслоения задается полем ортонормированных касательных реперов (e1 , e2)(полю e1 соответствует значение углового параметра f 0, полю e2соответствует значение f p/2). Пусть (e1 , e2 ) — двойственный базис1-форм. Тогда 2-форма e1 ^ e2 , задающая элемент площади, не зависит от выбора тривиализации (с точностью до знака, который меняетсяпри обращении ориентации поверхности).===Теорема. Расслоение p обладает естественной связностью, называемой римановой. В тривиализации, задаваемой полем (e1 , e2)ортонормированных касательных реперов, 1-форма римановойсвязности имеет видj a1 e1 a2 e2 ,=+где коэффициенты a1 , a2 разложения по базису e1 , e2 определяются равенствамиde1a1 , de2a2 .==Условие, задающее форму связности j, равносильно равенствамde1= j ^ e,2de2= j ^ e.1Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для доказательства теоремы нужно убедиться, что при изменении тривиализации заданная этими формулами формасвязности преобразуется правильным образом. Поле реперов (e01 , e02), соответствующее другой тривиализации, получается из поля (e1 , e2) поворотом на угол g(x) в отрицательном направлении. Аналогичным образом9преобразуется и двойственный базис 1-форм,e01= cos g esin g e2 ,1e02= sin g e + cos g e .12Дифференцируя базисные формы, получаем= cos g de sin g de + dg ^ ( sin g e cos g e) == (cos g) j ^ e (sin g) j ^ e dg ^ e0 == j ^ e0 dg ^ e0 = (j + dg) ^ e0,de0 = sin g de + cos g de + dg ^ (cos g e sin g e) == (sin g) j ^ e + (cos g) j ^ e + dg ^ e0 == j ^ e0 + dg ^ e0 = (j + dg) ^ e0 .Отсюда j0 = j + dg, что согласуется с (3).
Теорема доказана.Форма кривизны римановой связности имеет вид w = K .de01121212222122121221111Функция K точки поверхности называется гауссовой кривизной. В случае,когда M — поверхность в R3 , гауссова кривизна равна произведениюглавных кривизн K l1 l2 . Именно, выберем ортогональные координатыв R3 так, чтобы плоскость Oxy касалась поверхности в начале координат.
Тогда поверхность задается как график функции z f(x, y). Приуказанном выборе координат разложение Тейлора функции f начинаетсяс квадратичных членов,==f= 12 (ax + 2bxy + cy ) +22:::Тогда главные кривизны l1 , l2 — собственные значения квадратичнойформы ax2 2bxy cy2 , а гауссова кривизна K l1 l2 b2 ac — ееопределитель. Знаменитая «блистательная» теорема Гаусса утверждает, что в отличие от главных кривизн гауссова кривизна полностьюопределяется метрическими свойствами поверхности, то есть римановойструктурой на ней. Это свойство гауссовой кривизны мы и взяли вышеза определение.++=Задача. Вычислить гауссову кривизну метрики dx2=+ cos2x dy2 .Р е ш е н и е. Координатные поля дx , дy ортогональны, но не нормированы (второе имеет длину cos x).
Поэтому в качестве ортонормированного репера возьмем поляe1=д ,e2x10= cosд x .yДвойственные 1-формы и элемент площади равны, соответственно,e1= dx,e2= cos x dy, = e1 ^ e2 = cos x dx ^ dy.Дифференцируя, находим форму связностиde1= 0,a1 = 0, de2 = sin x dx ^ dy = tg x ,j = a1 e1 + a2 e2 = tg x e2 = sin x dy.a2 = tg x,Отсюда получаем окончательно,w = dj = cos x dx ^ dy = ,то есть K 1. Заметим, что приведенная метрика есть стандартная метрика на единичной сфере в сферических координатах.+Задача. Докажите, что метрика dx2 x2 dy2 евклидова и найдите евклидовы координаты X, Y (в которых метрика принимает вид dX2 dY 2).+Р е ш е н и е.
Действуя, как в предыдущей задаче, находим последовательнодye1 дx , e2,e1==x= dx, e = x dy, = x dx ^ dy.1de = 0, de = dx ^ dy = ,x1 j = 0 ee = dy.xw = dj = ddy = 0, K = 0.21212Итак, связность плоская. Значит, существует другой репер (E1 , E2),состоящий из ковариантно постоянных (касающихся поля связности)полей. Найдем эти поля. Всякое сечение расслоения W имеет видu= cos f e + sin f e ,12где угол f является функцией точки базы. Условие ковариантной постоянности имеет видdfj = 0,то есть df=dy,f = y + const .Поля E1 , E2 соответствуют значениям константы 0 и p/2 соответственно,E1 cos y e1 sin y e2 , E2 sin y e1 cos y e2 .==11+Нам нужно найти координаты, для которых указанные поля являются координатными. Чтобы найти их, заметим, что дифференциалы этихкоординат образуют двойственный базис:= E = cos y e sin y e = cos y dx x sin y dy = d(x cos y),dY = E = sin y e + cos y e = sin y dx + x cos y dy = d(x sin y).Значит, X = x cos y, Y = x sin y.
Иными словами, x, y — полярныеdX112211координаты на стандартной евклидовой плоскости с евклидовыми координатами X, Y.Вычисления, проведенные в предыдущих задачах, существенно проще тех, которые проводятся при помощи стандартных методов. Объясним причину такогоуспеха. Обычно связность задается (в базисе коммутирующих координатныхполей) своей матрицей, состоящей из 1-форм (см. лекцию А. А.
Болибруха)A=+211 dx +111 dx+221 dx +112 dy121 dx212 dy!122 dy222 dy.Даже с учетом симметрий символов Кристоффеля ijk = ikj связность задается набором из 6 функций. В наших же вычислениях связность определяетсядвумя коэффициентами формы j, что позволяет утверждать, что наши вычисления в три раза короче обычных, не говоря уж о том, что благодаря инвариантнойформе записи не возникает опасность запутаться в индексах и знаках.
Выигрышдостигается за счет того, что в ортонормированном базисе символы Кристоффеля имеют больше симметрий: матрица связности кососимметрична и имеет видA=j.00jæÏÒÍÕÌÁ çÁÕÓÓÁ|âÏÎÎÅПусть M — замкнутая ориентированная двумерная поверхность. Рассмотрим некоторое S1 -расслоение p : W ! M и введем в нем произвольную связность.
Тогда форма w — форма кривизны этой связности —2-форма, поэтому ее можно по M проинтегрировать.Теорема. Интегралq (p)= 21p12ZwMпринимает целые значения и является топологическим инвариантом, называемым числом Эйлера расслоения. В случае, когда W —расслоение касательных единичных векторов, q (p) совпадает с эйлеровой характеристикой q (M) 2 2g самой поверхности M.=Классическая формула Гаусса—Бонне, являющаяся частным случаемэтой теоремы, утверждает, что для всякой ориентированной замкнутойповерхности M R3 выполняется равенствоZKM= 2p q (M).Эта замечательная теорема является простейшим проявлением того,как глобальные топологические инварианты могут изучаться при помощи тех или иных дифференциально-геометрических структур.
Болеесовременными проявлениями этих идей являются теория Черна—Вейля,инварианты Дональдсона и Зайберга—Виттена, гомологии Флоера.Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что если заданы двесвязности, то разница их форм связности h j1 j2 является глобально заданной 1-формой на M, не зависящей от выбора тривиализации.Действительно, при другом выборе тривиализации мы имеем=j01j02 = (j1 + dg)(j2+ dg) = j1j2 .Отсюда вытекает, что формы кривизны этих связностей связаны соотношением w1 w2 dh, откуда по формуле Стокса,=Zw1MZMw2 =ZdhM= 0.Таким образом, число q (p) действительно является инвариантом. Чтобы вычислить его, постараемся построить у расслоения p глобальноенепрерывное сечение s. Если нам это удастся, то расслоение тривиально, и связность,в которой s ковариантно постоянно, является плоской.ZПоэтомуMw = 0 в данном случае.
В общем случае глобальное сечениепостроить нельзя. Покажем, однако, что его всегда можно построить вдополнении к некоторому конечному набору точек.Реализуем расслоение W как расслоение единичных окружностей внекотором двумерном векторном расслоении E ! M. Выберем сечениеv : M ! E этого векторного расслоения (для этого уже никаких топологических препятствий не будет). Пусть X M — множество нулей13этого сечения.
В каждом слое над дополнением M n X точку сечения vможно спроектировать вдоль направления радиус-вектора на единичную окружность и получить, тем самым, непрерывное сечение исходного расслоения p над M n X. Осталось заметить, что если v — сечение общего положения, то множество его нулей состоит из конечногочисла точек (строгое обоснование этого интуитивно понятного утверждения требует привлечения дополнительных технических средств, например, теоремы Сарда).
Если, например, E — расслоение касательных векторов, то v — это векторное поле, и X — множество его особыхточек.Итак, пусть выбрано сечение s расслоения p, заданное в дополнениик набору точек X fx1 , : : : , xn g M. Пусть Ui — маленькая окрестностьточки xi . Тогда при обходе вокруг точки xi в положительном направлении сечение s делает некоторое количество оборотов в слое (в некоторойтривиализации над Ui). Количество этих оборотов мы назовем индексомсечения s в точке x и обозначим через inds (x). Мы хотим доказать равенствоXq (p)inds (xi) 2 Z.(4)==XВ случае, когда расслоение образовано касательными векторами, сумма (4) совпадает с суммой индексов особых точек общего векторногополя на поверхности, откуда и будет следовать теорема.Для доказательства равенства (4) рассмотрим плоскую связность вM n X, для которой сечение s ковариантно постоянно.
В тривиализациинад (проколотой) окрестностью Ui n xi эта связность задается формой j̃i ,которая замкнута, dj̃i 0 и для которой, по построению, имеет месторавенство=Zgij̃i = 2p inds (xi),где gi — произвольный путь в Ui , обходящий точку xi один раз в положительном направлении.Рассмотрим произвольную гладкую форму ji , которая определена навсей области Ui и совпадает с j̃i вблизи границы дUi (например, можноположить ji ri j̃i , где функция ri равна единице вблизи дUi и равнанулю в некоторой меньшей окрестности точки xi).Построенные формы ji склеиваются в связность нашего расслоения, определенную уже на всем M. Эта связность больше не являетсяплоской, однако носитель формы кривизны сосредоточен в объединении=14областей Ui , поэтому12pZMw=X=X12p12pZZUiw=дUiXji =12pXZ12pZdjiUiдUi=j̃i =Xinds (xi),что и доказывает равенство (4) , а вместе с ним и теорему.Задача. Найдите число Эйлера расслоения Хопфа S3 ! S2 , сопоставляющего точке единичной сферы S3 2 C 2 R4 проходящую через неекомплексную прямую, рассматриваемую как точку проективной прямойC P1 S2 .
(Ответ: 1.)==15Максим Эдуардович КазарянДифференциальные формы, расслоения, связностиРедактор В. КлепцынСерийное оформление обложки разработал М. Панов.Издательство Московского Центранепрерывного математического образованияЛицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г.Подписано в печать 27.2.2002 г. Формат 60 88 1/16. Бумага офсетная № 1.Печать офсетная. Печ. л. 1. Тираж 1000 экз. Заказ №.МЦНМО121002, Москва, Большой Власьевский пер., 11Отпечатано с готовых диапозитивов в Московской типографии «Транспечать»107078, Москва, Каланчевский тупик, д.
3/5Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241–72–85. E-mail: biblio@mccme.ruISBN 5-94057-023-29 785940 570233 >.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
