Задания по термодинамике и статистической физике (1163347), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Записать кинетическое уравнение Больцмана в пространственно однородномприближении. Охарактеризовать физические ограничения, необходимые для построения интеграла столкновений в системах типа газа с короткодействием (отсутствиетройных и массовый характер парных столкновений, подход Боголюбова к описаниюкинетической эволюции системы).20. Показать, что локальное распределение Максвелла при подстановке в качестве одночастичной функции распределения в интеграл столкновений Больцмана обращает его в нуль. Каков физический смысл соответствующего значения Hфункции?21.
Выразить дисперсию числа частиц в макроскопическом объеме через парнуюкорреляционную функцию. Установить аддитивность дисперсии.22. Для пространственно однородного классического газа вычислить среднее значение и относительную флуктуацию числа частиц N1 в некоторой части сосуда объема V1 . Показать, что в пределе N → ∞, V → ∞, V /N = v = const, V1 = const эточисло подчиняется закону Пуассона.23. Для пространственно однородного классического газа вычислить среднее значение и относительную флуктуацию числа частиц N1 в некоторой части сосуда объема V1 .√Показать, что отклонение ∆N1 = N1 − N1 от среднего значения имеет √порядок N и что в пределе N → ∞, V, V1 → ∞, V1 /V = const величина ∆N1 / Nподчиняется нормальному закону.24.
С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсию энергии системы, выразив ее через уравнения состояния системы. Рассмотреть частные случаи вырожденного ферми-газа и классического идеального газа.25. Пользуясь уравнением Ланжевена для импульса брауновской частицы, получить зависимость от времени дисперсий ее импульса и координаты в шкале времени,грубой по сравнению со временем автокорреляции случайной силы.26.
Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функцию∆p(t) ∆p(t + ∆t) отклонения ее импульса от среднего значения в шкале времени,грубой по сравнению со временем автокорреляции случайной силы.27. Пользуясь уравнением Ланжевена, получить корреляционную функцию∆x(t) ∆x(t + ∆t) отклонения ее координаты от среднего значения на временах, больших по сравнению со временем забывания начальных условий.28. Вывести одномерное уравнение Фоккера–Планка для марковского процессадиффузионного типа из уравнения Смолуховского.29.
Получить дисперсионное уравнение для продольных колебаний электростатического поля и плотности в классической плазме, связывающее плазменную частотус величиной волнового вектора. Показать, как может быть устранена обратимость14во времени уравнения Власова («ε-процедура»).30. Вывести цепочку уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения из уравнения Лиувилля.31. С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом в приближении τ = const оценить коэффициент внутреннего трения термически однородногоклассического газа.32. Дать качественный вывод кинетического уравнения Больцмана для пространственно однородного газа с короткодействием (без использования цепочки Боголюбова).33. Доказать лемму Больцмана и получить из нее H-теорему Больцмана. Каковапричина появления необратимости во времени полученного результата?34.
Линеаризуя интеграл столкновений Больцмана, показать, что характерноевремя релаксации к состоянию равновесия определяется наименьшим положительным собственным значением соответствующего оператора.15Эти факты должны знать всеКаждый студент, сдающий экзамен по термодинамике и статистической физике ввесеннюю сессию, должен быть в состоянии по памяти, без предварительной подготовки ответить на следующие вопросы. Примерные ответы приведены в рамках (обозначения соответствуют обозначениям в учебнике [2]). На экзамене для правильногоответа необходимо объяснить смысл всех использованных в формуле обозначений.1.
Связь вероятности флуктуационного отклонения от равновесия в изолированной системе с изменением ее энтропии (формула Эйнштейна).w∆ ∼ e∆S2. Связь вероятности флуктуационного отклонения от равновесия в системе, помещенной в термостат и находящейся: (а) при фиксированном объеме; (б) под поршнем; (в) в воображаемых стенках с изменением энтропии и соответствующих термодинамических потенциалов.(а) w∆ ∼ e∆S−∆E/θT = e−∆F /θT ;(б) w∆ ∼ e∆S−(∆E+p∆V )/θT = e−∆G/θT ;(в) w∆ ∼ e∆S−(∆E−µT ∆N )/θT = e−∆Ω/θT3. Формула, выражающая вероятность заданной малой термодинамической флуктуации в равновесной неизолированной системе.w∆ ∼ exp∆p∆V − ∆θ∆S − ∆µ∆N2θ4. Уравнение Ланжевена для импульса брауновской частицы. Каковы статистические свойства случайной силы в его правой части?ṗ + Γp = F (t);F (t) ≡ 0; F (t1 )F (t2 ) = ϕ(t1 − t2 ),где ϕ(t) 1 при |t| < τ , ϕ(t) = 0 при |t| > τи рассматривается грубый масштаб времени dt τ5.
Формулы для дисперсии импульса брауновской частицы при Γt 1 и дисперсии ее координаты (формула Эйнштейна) при Γt 1.2θt (Γt 1)(∆x(t))2 ∼=mΓ(∆p(t))2 ∼= 2Γmθt (Γt 1),6. Что такое марковский случайный процесс?Случайный процесс ξ(t) называется марковским, если при любом n 3 условная вероятность Pnобнаружить частицу в интервале (ξn , ξn + dξn ) вудовлетворяетсоотношениюмоментвремениtnPn ( ξ1 , t1 ; .
. . ; ξn−1 , tn−1 | ξn , tn ) = P2 ( ξn−1 , tn−1 | ξn , tn )167. Уравнение Смолуховского для марковского случайного процесса.P2 ( ξ1 , t1 | ξ3 , t3 ) =P2 ( ξ1 , t1 | ξ2 , t2 )P2 ( ξ2 , t2 | ξ3 , t3 ) dξ28. Уравнение Фоккера–Планка для диффузионного случайного процесса в трехмерном случае.1∂ρ= div D ∇ρ + ρ ∇U∂tγ9. Решение уравнения Фоккера–Планка для диффузии на бесконечной прямойпри отсутствии внешнего потенциала.x2exp −ρ(x, t) =4(θ/γ)t4π(θ/γ)t1x21exp −или ρ(x, t) = √4Dt4πDt10.
Что такое гауссов случайный процесс?Случайный процесс ξ(t) называется гауссовым, если всеего плотности вероятности wn (ξ1 , t1 ; . . . ; ξn , tn ) являютсягауссовыми11. Корреляционная функция стационарного марковского гауссова случайногопроцесса (процесса Орнштейна–Уленбека).F (t) = F (0) e−Γ|t|12. Что такое стационарный случайный процесс?Случайный процесс ξ(t) называется стационарным, если всеего плотности вероятности однородны во времени: wn (ξ1 , t1 +t0 ; . . . ; ξn , tn + t0 ) = wn (ξ1 , t1 ; . . . ; ξn , tn ) для любого t013.
Спектральное условие стационарности случайного процесса.ξω ξω∗ = J(ω)δ(ω − ω )14. Формула Найквиста для спектральной плотности теплового шума сопротивления R при температуре θ в полосе частот ∆ν.E 2∆ω= 4Rθ∆ν15. Уравнение Лиувилля для классической системы N частиц.∂wN=∂ti=1N∂H ∂w∂w ∂H·−∂ri ∂pi∂ri ∂pi17= {H, w}кл16.
Определение s-частичной кинетической функции распределения.dq dpsFs (t, r1 , . . . , rs , p1 , . . . , ps ) = VwNdr1 . . . drs dp1 . . . dps17. Выражения через нестационарную одночастичную кинетическую функциюраспределения F1 (t, r, p) для локальной концентрации n(t, r) и плотности электрического тока j(t, r), если каждая частица имеет заряд q.NNqn(t, r) =F1 (t, r, p) dp, j(t, r) =p F1 (t, r, p) dpVVm18. Общая структура кинетического уравнения для одночастичной кинетическойфункции распределения и интеграл столкновений.1∂F1 ∂U ∂F1∂F1∂F1 (t, r, p)+ p·−·=∂tm∂r∂r ∂p∂t ст19.
Первое уравнение цепочки Боголюбова, связывающее одночастичную и двухчастичную кинетические функции распределения.∂F1 (t, r, p)1∂F1 ∂U ∂F11+ p·−·=∂tm∂r∂r ∂pv∂Φ(|r − r |) ∂F2 (t, r, r , p, p ) ·dr dp∂r∂p20. Кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкновений.(0)∂F1 (t, r, p)1∂F1 ∂U ∂F1F1 − F1+ p·−·=−∂tm∂r∂r ∂pτ21. Кинетическое уравнение Власова в однокомпонентной классической плазме.
(t, r) ∂F1∂F1 (t, r, p)1∂F1 ∂ U + U+ p·−·= 0,∂tm∂r∂r∂pNU (t, r) = n(t, r )Φ(|r − r |) dr =F1 (t, r , p )Φ(|r − r |) dr dpV22. Кинетическое уравнение Больцмана для пространственно однородного случая.1∂f=(f f1 − f f1 )u dω dp1 ,∂tvгде u = |p1 − p|/m, dω = a da dϕ, f = F1 (t, p), f , f1 , f1получаются из f заменой p на p , p1 и p1 соответственно, аp , p1 выражаются через p, p1 и параметры рассеяния a, ϕс помощью формул механики23. Функция, обращающая в нуль интеграл столкновений Больцмана.const|p − p0 (r)|22F(r, p) = exp(α + β · p + γ|p| ) = n(r)exp −(2πmθ(r))3/22mθ(r)1824. H-функция и H-теорема Больцмана.H(t) =F(t, r, p) ln F(t, r, p)dr dp;(2π)3dH(t)0dtВ последних двух вопросах F — обезразмеренная одночастичная функция распределения.Список литературы[1] И.А.Квасников, «Термодинамика и статистическая физика», теория неравновесных систем. Изд.
МГУ, 1987 г. 560 с.[2] И.А.Квасников, «Термодинамика и статистическая физика», том III, теориянеравновесных систем. Изд. УРСС, М., 2002г., 448 с.[3] И.А.Квасников, Д.В.Кукин, Задачи по курсу термодинамики и статистическойфизики, часть II. Изд. МГУ, 1981 г., 47 с.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
