Задания по термодинамике и статистической физике (1163347), страница 3
Текст из файла (страница 3)
также [2], гл. 3, задача 8)Задача 43.Для стационарного процесса, описываемого действительной случайной переменнойξ(t), определить временную корреляцию смещения η(t) величины ξ(t) с ускорением˙ (т.е. величины η η̈).η̈(t) = ξ(t)(Решение см. [1], стр. 203-204 или [2], гл. 3, задача 9)Задача 44.Выразить корреляцию η ∗ (t)η(t + ∆t) смещений случайной стационарной величиныξ(t) через соответствующую ей спектральную плотность J(ω) и рассчитать эту корреляцию в случае, когда процесс ξ(t) является марковским и гауссовским.(Решение см. [1], стр.
211 или [2], гл. 3, задача 13)9Задача 45.Методом спектральных разложений получить выражения для корреляционных функций смещений Fx (t) = x(t)x(0) и скоростей Fv (t) = v(t)v(0) брауновской частицы,двигающейся в вязкой среде в поле U (x) = mω02 x2 /2 в случае, когда процесс блужданий уже стал стационарным.(Решение см. [1], стр. 212-214 или [2], гл. 3, задача 15)Задача 46.Считая, что тепловой шум ЭДС сопротивления R определяется формулой Найквиста, определить временные корреляционные функции и спектральные плотноститепловых флуктуаций тока и напряжения на конденсаторе в электрическом колебательном контуре. Используя полученные результаты для спектральных плотностейи полагая, что средняя энергия индуктивности L в колебательном контуре равнаLI 2 /2 = θ/2 (или средняя энергия конденсатора равна Q2 /2C = θ/2) подтвердитьформулу Найквиста для теплового шума ЭДС сопротивления R.(Решение см.
[1], стр. 217-219 или [2], гл. 3, задача 19)Задача 47.Определить среднее от квадрата заряда Q(t), прошедшего за счет существованияфлуктуационных токов I(t) через соединяющий обкладки конденсатора проводникс сопротивлением R за время t.(Решение см. [1], стр. 216-217 или [2], гл. 3, задача 17)Задача 48.Оценить тепловой шум случайного силового воздействия на брауновскую частицу вполосе частот ∆ω, выбираемой произвольно внутри диапазона (0, Γ0 ).(Решение см. [1], стр. 188 или [2], гл. 3, §8)Задача 49.С помощью обобщенной формулы Найквиста оценить в диапазоне частот ∆ω дисперсию угловой скорости ϕ̇ зеркальца баллистического гальванометра (см.
задачу15) с заданным моментом инерции I, если момент силы трения зеркальца о воздухпропорционален его угловой скорости, Mтр = γ ϕ̇, где γ = ΓI.Решение: Так как согласно теореме о равнораспределении ϕ̇2 = θ/I, то всоответствии с формулой Найквистаξ2 ∆ω=2ξ 2 ∆ω2θ ∆ω−→ ϕ̇2 =.Γ πγ π∆ω§7. Явления переноса и кинетические уравнения.Задача 50.Определить среднее значение модуля относительной скорости двух частиц равновесного идеального классического газа и оценить среднюю длину λ и среднее время τ10свободного пробега частиц разреженного классического газа, считая известным полное сечение σ рассеяния частиц друг на друге.(Решение см. [1], стр 458-459, или [2] гл.5, задачи 6,7)Задача 51.С помощью решения стационарного кинетического уравнения с релаксационным членом рассчитать коэффициенты диффузии D и термодиффузии Dθ для классическогоразреженного газа в приближении τ = const и λ = vτ = const.(Решение см.
[1], стр 472-473, или [2] гл.5, задача 15)Задача 52.С помощью решения стационарного кинетического уравнения с релаксационным членом рассчитать коэффициенты теплопроводности κ и диффузионного потока теплаκn для разреженного газа в приближении τ = const и λ = vτ = const.(Решение см. [1], стр 473, или [2] гл.5, задача 15)Задача 53.Определить коэффициент теплопроводности газа (в частности, идеального, где p =nθ) давление которого всюду постоянно, p(z) = const.(Решение см. [1], стр 475., или [2] гл.5, задача 16)Задача 54.Показать, что с точки зрения кинетического уравнения с релаксационным членомдля разреженного классического газа между коэффициентами переноса имеет место= const.
Определить полученную константу в приблиследующее соотношение: DDκθ κnжении τ = const и λ = const.Решение следует из результатов двух предыдущих задач.Задача 55.С помощью кинетического уравнения с релаксационным членом в приближении τ =const и λ = const рассчитать коэффициент внутреннего трения термически однородного классического газа.(Решение см. [1], стр 475, или [2] гл.5, задача 17)Задача 56.Считая электронный газ в металле классическим газом, рассчитать, используя решение стационарного кинетического уравнения с релаксационным членом, проводимость σ электронного газа при условии θ = const, теплопроводность κ электронногогаза при условии отсутствия электрического тока, и в приближениях τ = const и2λ = vτ = const определить константу eσθκ = const в законе Видемана-Франца.(Решение см.
[1], стр 476-477, или [2] гл.5, задача 18)11Задача 57.Решить предыдущую задачу, считая электронный газ в металле вырожденным (случай θ εF ). Получить формулы для σ и κ, а также определить константу в законеВидемана-Франца.(Решение см. [1], стр 478-479, или [2] гл.5, задача 19)Задача 58.Исходя из рассмотрения предыдущих задач, определить коэффициент Зеебека длятермо-ЭДС электронного газа в вырожденном и невырожденном случаях.(Решение см. [1], стр 481, или [2] гл.5, задача 20)Задача 59.Доказать H-теорему Больцмана на основе кинетического уравнения Паули (уравнения кинетического баланса).(Решение см.
[1], стр 549, или [2] гл.5, задача 60)Задача 60.С помощью уравнения кинетического баланса установить принцип детального равновесия a) для адиабатической изолированной равновесной системы; б) для равновесной системы в термостате.(Решение см. [1], стр 549-550, или [2] гл.5, задача 61)12Помимо части из приведенных выше задачв экзаменационные билеты войдут следующие вопросы.1. Пользуясь микроканоническим распределением, получить выражение для вероятности крупномасштабной флуктуации в равновесной изолированной системе.2. Вывести общую формулу для вероятности заданной малой термодинамическойфлуктуации в равновесной неизолированной системе из формулы Эйнштейна, связывающей вероятность малой термодинамичесой флуктуации с изменением энтропии.3.
Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуационныхотклонений в равновесной системе, выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата (N = const, остальные параметры флуктуируют), и установитьего связь с условиями устойчивости этой системы.4. Получить выражение для вероятности крупномасштабных флуктуационныхотклонений в равновесной системе фиксированного объема, выделенной воображаемыми стенками из термостата (V = const, остальные параметры флуктуируют), иустановить его связь с условиями устойчивости этой системы.5.
Показать, что для системы, выделенной нежесткими теплопроводящими стенками из термостата (N = const, остальные параметры флуктуируют), флуктуационные отклонения температуры и объема от их равновесных значений независимы.6. Показать, что для системы фиксированного объема, выделенной воображаемыми стенками из термостата (V = const, остальные параметры флуктуируют),флуктуационные отклонения температуры и общего числа частиц от их равновесных значений независимы.7. Записать уравнение Ланжевена для импульса брауновской частицы, охарактеризовать корреляционную функцию случайного силового воздействия на частицу.8.
Дать физическую интерпретацию уравнения Фоккера–Планка в трехмерномпространстве и дополнительных условий к нему.9. Получить уравнение Смолуховского для общего марковского процесса. Прикаких условиях это нелинейное уравнение описывает брауновское движение и болееобщие диффузионные процессы?10. Пользуясь спектральным представлением стационарного случайного процесса, получить спектральную форму условия стационарности и указать связь междукорреляционной функцией и спектральной плотностью процесса.11.
Определение стационарного марковского гауссовского случайного процесса иматематические выражения для его свойств.12. Получить формулу Найквиста для спектральной плотности теплового шумасопротивления R при температуре θ в полосе частот ∆ν.13. Из уравнений Гамильтона для эволюции микроскопического состояния классической системы многих частиц вывести уравнение Лиувилля для плотности вероятности в фазовом пространстве.14. Кинетические функции распределения. Одночастичная функция распределения и связанные с ней физические характеристики классической неравновеснойсистемы.
Ограниченность описания кинетики системы с помощью только этой функции.15. Из уравнения Лиувилля получить общую форму кинетического уравнениядля одночастичной кинетической функции распределения. Что такое интеграл столкновений и каким общим требованиям он должен удовлетворять?1316. Записать кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо интеграластолкновений и получить его стационарное решение в первом порядке по параметру τ .17. Сформулировать концепцию самосогласованного поля в системах с дальнодействием. Получить из первого уравнения цепочки Боголюбова кинетическое уравнение Власова как нулевое приближение по параметру дальнодействия в классической плазме.18. Линеаризуя уравнение Власова для классического электронного газа в компенсирующем поле положительно заряженных тяжелых ионов, получить системууравнений для эволюции слабонеравновесного состояния.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
