Задания по термодинамике и статистической физике (1163347)
Текст из файла
Московский государственный университетим.М. В. ЛомоносоваФизический факультетЗаданияпо статистической физике для студентов 4-го курсафизического факультета МГУ(весенний семестр - теория неравновесных систем)Автор-составитель И. А. КвасниковМосква2009УДК 531.19Квасников И.
А. Задания по статистической физике, теория неравновесных систем. - М.: Физический факультет МГУ, 2009 г, - 19 с.В сборник включены задачи, которые входят в план семинарских занятий по общему курсу «Термодинамика и статистическая физика» для студентов 4-го курсафизического факультета МГУ. Данный, второй выпуск содержит задания по теориинеравновесных статистических систем (теория флуктуаций, брауновское движение,общие представления о теории случайных процессов, основы кинетической теорииклассических систем), предназначенные для весеннего семестра общего годового курса, существенно переработанные по отношению к [3].§1.
Биномиальное распределениеЗадача 1.Пространственно однородный идеальный классический газ N материальных точекзанимает объем V . Найти абсолютную и относительную флуктуации числа частиц внекоторой части сосуда объема V1 ≤ V(Решение см. [1], стр 46 или [2], гл. 1, задача 2.)Задача 2.В большом сосуде, содержащем пространственно однородный идеальный классический газ плотности n = 1/v = N/V выделены (как бы «высвечены») две одинаковыесферические области радиуса R. Определить в пределе N → ∞, v = const зависимость от расстояния r между их центрами величину корреляции ∆N1 ∆N2 , где N1 иN2 - число частиц в каждой из этих сфер.Решение: искомая корреляция определяется областью пересечения сфер,имеющей форму чечевицы с объемом2 V1 = 23 π R − 2r2R + 2r , и решением задачи 1.(см, также [2], гл. 1, задача 4)Задача 3.Для системы, представленной в задаче 1, определить вероятность обнаружить N1частиц в мысленно выделенной части сосуда V1 (распределение Бернулли или биномиальное распределение) и рассмотреть среднее значение N1 и дисперсию (∆N1 )2 .Получить асимптотическое выражение для этой вероятности в случаях1) N1 N, N 1, v = const, N1 конечно - случай распределения Пуассона;2) |N1 − N1 | N1 , 1 N1 N, v = const, V1 /V = const - случай Лапласа (распределение Гаусса).(Решение см.
[1], стр 45-46 или [2], задача к гл. 1, §1)Задача 4.В поле зрения микроскопа наблюдатель видит 200 брауновских частиц. Более «точный» окуляр таков, что его поле зрения составляет 1/100 часть первого. Каковавероятность НЕ обнаружить в этом поле зрения ни одной частицы? Какова вероятность обнаружить ровно 1,2,3 и т.д. частиц?Решение: реализуется случай Пуассона (см. задачу 3). Так как N1 = 200/100 =2, тоwN1 (N ) =2N1 −214e ; w0 = e−2 ∼ ; w1 = w2 = 2w0 , w3 = w0 и т.д.N1 !93(см. также [3], гл.
1, задача 1.)Задача 5.Полагая вылеты отдельных электронов из катода независимыми друг от друга, авероятность отдельных вылетов за интервал времени τ t пропорциональной этой1величине τ , показать, что дисперсия (∆I)2 тока эмиссии I = ej за время t оказывается равной (∆I)2 = eI/t(Решение см. [1], стр 49 или [2], гл.
1, задача 6.)Задача 6.Система N не взаимодействующих друг с другом частиц со спином 1/2, обладающихмагнитным моментом β = e/2mc, находится в магнитном поле H, направленном всторону оси z. Определить среднее значение и дисперсию намагничения M = (N+ −N− )β = (2N+ − N )β, где N+ и N− = N − N+ - числа частиц с спинами вверх ивниз, если вероятность обнаружить положительное направление магнитного моментачастицы определяется больцмановским распределением p = exp {βH/θ} /2 ch βH/θ.(Решение см.
[1], стр 48 или [2], гл. 1, задача 5.)§2. Микроскопическая теория флуктуацийЗадача 7.С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсиючисла частиц в системе. Оценить относительную флуктуацию числа частиц в 1 cm3вырожденного идеального ферми-газа (газа электронов в металле при комнатнойтемпературе), а также невырожденного классического идеального газа.(Решение см. [1], стр 54-56 или [2], гл. 1, задача 12.)Задача 8.С помощью большого канонического распределения Гиббса определить дисперсиюэнергии системы, выразив ее через уравнения состояния системы.
Оценить относительную флуктуацию плотности энергии вырожденного электронного газа, а такженевырожденного идеального газа.(Решение см. [1], стр 55-57 или [2], гл. 1, задача 13.)Задача 9.С помощью большого канонического распределения Гиббса определить корреляциюфлуктуаций энергии и числа частиц в системе. Оценить эту величину для равновесного излучения и для идеального вырожденного ферми-газа.(Решение см. [1], стр 65 или [2], гл.
1, задача 18.)Задача 10.Для вырожденного и невырожденного идеального ферми-газа оценить дисперсиюхимического потенциала в системе, выделенной воображаемыми стенками.Решение:Так как ∆µ|θ = −∂µ∂vθv 2 ∆n =2∂p−v 3 ∆n,∂v θ∂p∂p1 262тоv (∆n) = θv −.θ = −∂v θN∂v θУчитывая, что (∆n)2 = (∆N )2 /V 2 и что согласно решению задачи 7⎧⎨ 3 θ N в случае θ ε ,F2(∆N ) = 2 εF⎩Nв случае θ εF ,⎧2ε θ⎪⎨ Fв случае θ εF ,получаем (∆µ)2 |θ = 32 N⎪⎩θв случае θ εF .N(∆µ)2 |Задача 11.Получить общую формулу для дисперсии энтропии равновесной системы, выделенной воображаемыми стенками, и оценить эту величину для вырожденного и невырожденного идеального газа.Решение:Так как ∆s|θ = −∂s∂vθv 2 ∆n = − ∂pv 2 ∆n, то учитывая, что (∆n)2 =∂θv(∆N )2 /V 2 и записывая формулу для дисперсии числа частиц из задачи 7,получаем 2 2∂v∂p∂pθ4 (∆N )2.(∆s) |θ =v=2∂θ vV∂θ v ∂θ p N 2ε=Так как для идеального нерелятивистского газа p = 3v , то ∂p∂θv2 CV N3 v ,поэтомуях θ εF(∆s)2 |θ =1Nзаписывая выражение для (∆N )2 из задачи 10 в случа 3π12и θ εF , получаем (∆s) |θ = 6 εθFN в случае θ εF ив случае θ εF .Задача 12.Определить дисперсию и относительную флуктуацию чисел заполнения равновесного идеального бозе-газа (выше температуры его конденсации), ферми-газа и невырожденного классического идеального газа.(Решение см.
[1], стр.57, или [2], гл.1, задача 14)Задача 13.Считая электромагнитное излучение в полости объема V равновесным, определитьфлуктуации потока числа фотонов и потока выносимой ими энергии через маленькоеотверстие в стенке.(Решение см. [1], стр.65, или [2], гл.1, задача 19)Задача 14.Определить флуктуации потока числа частиц идеального классического газа, вылетающих в вакуум через маленькое отверстие в стенке сосуда.
Газ в сосуде считатьравновесным.3(Решение см. [1], стр.74, или [2], гл 1, задача 27)Задача 15.Зеркало баллистического гальванометра подвешено на тонкой нити на расстоянии 5метров от шкалы. Какова должна быть величина коэффициента крутильной жесткости нити, чтобы амплитуда дрожания светового зайчика, связанного с тепловымифлуктуациями в системе имела порядок 0,1 см.?(Решение см.
[1], стр.74, или [2], гл 1, задача 26)Задача 16.Оценить мощность теплового шума, испускаемого электрическим сопротивлениемв находящуюся в состоянии термодинамического равновесия с ним согласованнуюдлинную линию. Получить формулу Найквиста для дисперсии ЭДС теплового шумасопротивления в полосе частот ∆ν.(Решение см. [1], стр.75-76, или [2] гл.1, задача 28)§3. Квазитермодинамическая теория флуктуаций.Задача 17.Исходя из основной формулы квазитермодинамической теории флуктуаций, получить для системы с постоянным числом частиц оценки для дисперсии температурыв случае фиксированного объема системы и в случае фиксированного давления вней, а также оценки дисперсии объема и давления при фиксированной температуресистемы.(Решение см.
[1], стр.78, или [2] гл.1, задача 30)Задача 18.Для системы с фиксированным числом частиц определить дисперсии температуры (∆θ)2N , объема (∆V )2N , энтропии (∆S)2N , а также их корреляции (∆θ∆V )N ,(∆θ∆S)N ,(∆p∆V )N .(Решение см. [1], стр.79, или [2] гл.1, задача 31)Задача 19.Получить выражение для дисперсии теплоемкости CV N системы, считая, что флуктуируют объем и температура при постоянном значении общего числа частиц. Оценить эту величину для газа электронов в металле при комнатной температуре и длятвердого тела при температуре много меньшей дебаевской.(Решение см. [1], стр.81, или [2] гл.1, задача 36)Задача 20.Для системы, выделенной воображаемыми стенками (объем системы фиксирован)определить дисперсии температуры и числа частиц, а также корреляции (∆N ∆θ)N ,(∆N ∆µ)N , (∆S∆θ)N .(Решение см.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
