Задания по термодинамике и статистической физике (1163347), страница 2
Текст из файла (страница 2)
[1], стр.79, или [2] гл.1, задача 32)4Задача 21.Получить формулу для дисперсии свободной энергии в единице объема системы, считая, что флуктуируют число частиц и температура. Оценить относительную флуктуацию свободной энергии газа электронов в единице объема металла при комнатнойтемпературе.(Решение см. [1], стр.80, или [2] гл.1, задача 34)Задача 22.В изолированной системе, разделенной на две части неподвижной перегородкой,определить флуктуации температуры в каждой из частей, а также флуктуацию разности температур между ними.(Решение см.
[1], стр.83, или [2] гл.1, задача 38)Задача 23.Система, помещенная в термостат, разделена подвижной перегородкой на две части по N1 и N2 частиц в каждой. Определить флуктуации объемов этих частей иплотностей числа частиц в них.(Решение см. [1], стр.84, или [2] гл.1, задача 39)§4. Парная корреляционная функция в теории флуктуаций.Задача 24.Выразить через корреляционную функцию F2 (R) корреляцию отклонений плотностичисла частиц ∆ρ(r1 )∆ρ(r1 ) от их средних значений, гдеρ(r) =Nδ(r − ri ),∆ρ(r) = ρ(r) − ρ,i=11ρ= ,vа также получить выражение для дисперсии числа частиц в некотором объеме V0 ,мысленно выделяемом внутри системы.(Решение см.
[1], стр.72, или [2] гл.1, ззадача 24)Задача 25.Выразить через корреляционную функцию F2 (R) среднее значение квадрата модуля|ρk |2 фурье компоненты ρk плотности числа частиц ρ(r) (см. задачу 24). Найти такжеобратную формулу для F2 (R) через |ρk |2(Решение см.[1], стр. 73 или [2] , гл. 1, задача 25)Задача 26.Рассматривая систему с фиксированными значениями температуры и числа частиц,записать отклонение свободной энергии от ее равновесного значения через фурьекомпоненты плотности числа частиц. Полагая, что флуктуационные отклонения свободной энергии обязаны не только отклонениям плотности числа частиц, но и ее5градиентам, получить, используя полученную в зад.
25 связь среднего значения |ρk |2с парной корреляционной функцией F2 (R), оценку ее поведения в области большихзначений R.(Решение см. [1], стр. 90-92 или [2], гл. 1, задача 44)§5. Уравнение Ланжевена и корреляционные эффектыв брауновском движении.Задача 27.Для брауновской частицы размера R ∼= 10−4 см, находящейся в равновесии со средойтипа газа или жидкости, оценить среднее время между отдельными взаимодействиями частиц среды с брауновской частицей, среднее время взаимодействия частицысреды с брауновской частицей и время установления для брауновской частицы максвелловского распределения по скоростям.(Решение см. [1], стр.
115 или [2], гл. 2, задача 1)Задача 28.Оценить среднее значение квадрата случайной силы, реально действующей на брауновскую частицу размера R ∼ 10−4 см.(Решение см. [1], стр. 116 или [2], гл. 2, задача 2)Задача 29.Определить в шкале времени t τ (включая d t τ ) корреляцию отклоненийимпульса брауновской частицы от среднего значения ∆p(t) ∆p(t + ∆t). Сравнить ееповедение как функции ∆t с корреляцией отклонений координаты брауновской частицы ∆x(t) ∆x(t + ∆t).(Решение см. [1], стр.
145 или [2], гл. 2, задача 28)Задача 30.Определить в шкале времени t τ корреляцию отклонений импульса и отклоненийкоординаты от своих средних значений ∆p ∆x и оценить это “соотношение неопределенностей” в случае t 1/Γ.(Решение см. [1], стр. 146 или [2], гл. 2, задача 29)6Задача 31.Показать, что в грубой шкале времени t τ (включая dt τ ) корреляция смещениябрауновской частицы ∆x(t) со случайным силовым воздействием на нее отсутствует.Решение:Так как∆x(t) = x(t) − x =иF (t − t )F (t) = ϕ(t ) =t0dt1 − e−ΓtF (t − t )Γϕ/2 в случае |t | τ,0 в случае |t | > τ,то, учитывая, что t Γ < t Γ 1, получаем в низшем по τ порядке τ−Γt 1τ2 1 ϕγθ 1−eϕ∼=τ,∆x(t)F (t) =dt=Γ22 m22m0что в шкале t τ и означает отсутствие корреляции.(см.
также [2], гл. 2, задача 30)Задача 32.Показать, что предположение о независимости смещений брауновской частицы в последовательные интервалы времени достаточно для получения формулы Эйнштейнадля среднего от квадрата смещения частицы, но недостаточно для обоснования диффузионного приближения в теории брауновского движения.(Решение см. [1], стр. 117 или [2], гл.
2, задача 3)Задача 33.Представляя условную вероятность ρ(x |x, ∆t) при ∆t → 0 в виде двух слагаемых,характеризующих вероятность брауновской частице за время ∆t остаться в точке x =x и вероятность за это же время с некоторой скоростью перехода W (x |x) оказатьсяв точке x = x , придать уравнению Смолуховского форму уравнения кинетическогобаланса.(Решение см. [1], стр.
123-124 или [2], гл. 2, задача 8)Задача 34.В пространственно однородном случае вывести из уравнения кинетического баланса(см. задачу 33) уравнение Фоккера-Планка для свободного брауновского движения.(Решение см. [1], стр. 124-125 или [2], гл. 2, задача 9)Задача 35.Найти решение одномерного уравнения Фоккера-Планка на полубесконечной прямойx > 0, считая, что внешнего силового поля нет, и что в точке x = 0 стоит непроницаемая стенка.(Решение см.
[1], стр. 126 или [2], гл. 2, задача 11)Задача 36.Найти решение одномерного уравнения Фоккера-Планка в поле сил тяжести U =7mgx на бесконечной прямой для брауновской частицы, которая в момент времениt = 0 находилась в точке x = x0 , определить средние значения x и (∆x)2 . Полагая, чтоположение отсчитывается от реально существующего дна сосуда, сформулироватьограничения на временной интервал t, в течение которого полученное решение имеетфизический смысл.(Решение см.
[1], стр. 127-128 или [2], гл. 2, задача 12)Задача 37.Определить на интервале 0 x L распределение плотности числа брауновскихчастиц ρ(x) в стационарном потоке j = const, если ρ(0) = ρ0 > ρ(L) и на путибрауновских частиц имеется прямоугольный потенциальный барьер U (x) = U0 вслучае a x a + ∆a и U (x) = 0 вне интервала ∆a.(Решение см. [1], стр. 135-136 или [2], гл.
2, задача 19)Задача 38.Полагая, что среда, окружающая брауновскую частицу, ежесекундно растворяет сединицы ее поверхности α частиц (сама брауновская считается сферической, плотность числа частиц ее материала задана), определить, как меняется с течением времени величина x2 . Коэффициент диффузии D0 брауновских частиц в среде в моментt = 0 считается заданным.Решение:Число частиц, составляющих брауновскую частицу N = 43 πR3 n согласноусловию изменяется по закону Ṅ = −4πR2 α, откуда следует, что размербрауновской частицы уменьшается с течением времени по линейному законуαR(t) = R0 − t = R0 (1 − t/T ) , T = α/nR0 .n(Далее см. [1], стр.
136 или [2], гл.2, задача 21)§6. Спектральные разложения в теории случайныхпроцессов.Задача 39.Показать, что корреляционная функция F (t) стационарного процесса, описываемогодействительной случайной переменной ξ(t), имеет экстремум в точке t = 0, а соответствующая ей спектральная плотность J(ω) — в точке ω = 0.(Решение см. [1], стр. 201-202 или [2], гл. 3, задача 6)Задача 40.Определить, как изменится спектральная плотность J(ω) случайного стационарного процесса ξ(t), если показание прибора, с помощью которого измеряется величинаξ(t), представляет усредненное значение этой величины за интервал времени (t−τ, t).
Используя полученный результат, объяснить тысячекратное расхождение теоретической оценки средней скорости брауновской частицы с измеряемой ее величиной посмещению брауновской частицы за время τ ∼ 0, 1сек.8(Решение см. [1], стр. 199-201 или [2], гл. 3, задача 4)Задача 41.Стационарный случайныйпроцесс ξ(t) характеризуется корреляционной функцией22F (t) = ξ exp{−Γ|t|} ξ = F (0) . Найти корреляционную функцию G(t) и соответ˙ствующую ей спектральную плотность I(t) для процесса ζ(t) = ξ(t).(Решение см.
[1], стр. 203 или [2], гл. 3, задача 7)Задача 42.Стационарный случайный процесс ξ(t) характеризуется временной корреляционнойфункцией F (t) = ξ 2 exp{−Γ|t|}, ξ 2 = F (0) . Определить корреляционную функциюG(t) и соответствующую ей спектральную плотность I(t) для стационарного процесса˙ в случаеζ(t), связанного с ξ(t) дифференциальным соотношением ζ̇(t) + Γζ(t)= ξ(t) < Γ.ΓРешение: Переходя к спектральному представлению, имеем ω = iωξω ,iωζω + Γζоткудаζω ζω∗ =ω2ω22+Γξω ξω∗ .Учитывая явный вид спектральной плотности J(ω) гауссовского процессаξ(t), получаем для спектральной плотности процесса ζ(t)2Γ2ΓΓ2.−I(ω) = J(0) 2 ω 2 + Γ2 ω 2 + Γ2Γ2 − ΓСоответствующая временная корреляционная функция имеет вид2ΓΓe−Γ|t| − e−Γ|t| .G(t) = ζ(t)ζ ∗ (t) = F (0)2ΓΓ2 + Γ(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
