3. Регулярные выражения. Алгебра регулярных выражений. Уравнения в регулярных выражениях. Теорема Клини (1162494), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ëåíòàîêàí÷èâàåòñÿ ãðàíè÷íûì ìàðêåðîì a, a∈/ Σ .Ñëîâî äîïóñêàåòñÿ àâòîìàòîì, åñëè ïðèäîñòèæåíèè ãðàíè÷íîãî ìàðêåðà àâòîìàòîêàçûâàåòñÿ â ôèíàëüíîì ñîñòîÿíèè.x1 x2 x3 · · ·· · · xN a⇑qiN−1-ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÊîíå÷íûé àâòîìàò ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêìåõàíè÷åñêîå óñòðîéñòâî, êîòîðîå äâèæåòñÿ âîäíó ñòîðîíó ïî ëåíòå, íà êîòîðîé çàïèñàíîçàäàííîå ñëîâî â àëôàâèòå Σ .
Ëåíòàîêàí÷èâàåòñÿ ãðàíè÷íûì ìàðêåðîì a, a∈/ Σ .Ñëîâî äîïóñêàåòñÿ àâòîìàòîì, åñëè ïðèäîñòèæåíèè ãðàíè÷íîãî ìàðêåðà àâòîìàòîêàçûâàåòñÿ â ôèíàëüíîì ñîñòîÿíèè.x1 x2 x3 · · ·· · · xN a⇑qiN ∈ F-ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÀ ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ðàçðåøèòü òàêîìóàâòîìàòó ïåðåìåùàòü ñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ïîëåíòå â îáå ñòîðîíû?` x1 x2 x3 · · ·⇑q0· · · xN a-ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÀ ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ðàçðåøèòü òàêîìóàâòîìàòó ïåðåìåùàòü ñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ïîëåíòå â îáå ñòîðîíû?` x1 x2 x3 · · ·⇑qi1· · · xN a-ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÀ ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ðàçðåøèòü òàêîìóàâòîìàòó ïåðåìåùàòü ñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ïîëåíòå â îáå ñòîðîíû?` x1 x2 x3 · · ·⇑qi2· · · xN aÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÀ ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ðàçðåøèòü òàêîìóàâòîìàòó ïåðåìåùàòü ñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ïîëåíòå â îáå ñòîðîíû?` x1 x2 x3 · · ·⇑qi3· · · xN aÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÀ ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ðàçðåøèòü òàêîìóàâòîìàòó ïåðåìåùàòü ñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ïîëåíòå â îáå ñòîðîíû?` x1 x2 x3 · · ·⇑qi4· · · xN a-ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÀ ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè ðàçðåøèòü òàêîìóàâòîìàòó ïåðåìåùàòü ñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ïîëåíòå â îáå ñòîðîíû?` x1 x2 x3 · · ·· · · xN aÍàñêîëüêî ðàñøèðèòñÿ êëàññ ÿçûêîâ,ðàñïîçíàâàåìûõ òàêèìè äâóñòîðîííèìèàâòîìàòàìè?ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÄâóñòîðîííèì êîíå÷íûì àâòîìàòîì íàçûâàåòñÿñèñòåìà B = (Σ, S, I , F , T ) , â êîòîðîéΣ ëåíòî÷íûé àëôàâèò, S êîíå÷íîåìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé, I , F ïîäìíîæåñòâàíà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ ñîñòîÿíèé;T ⊆ S × Σ ∪ {`, a} × S × {−, +} îòíîøåíèå ïåðåõîäîâ.IIÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÄâóñòîðîííèì êîíå÷íûì àâòîìàòîì íàçûâàåòñÿñèñòåìà B = (Σ, S, I , F , T ) , â êîòîðîéΣ ëåíòî÷íûé àëôàâèò, S êîíå÷íîåìíîæåñòâî ñîñòîÿíèé, I , F ïîäìíîæåñòâàíà÷àëüíûõ è ôèíàëüíûõ ñîñòîÿíèé;T ⊆ S × Σ ∪ {`, a} × S × {−, +} îòíîøåíèå ïåðåõîäîâ.×åòâåðêà (ïåðåõîä) (s 0, y , s 00, δ) îçíà÷àåò, ÷òîàâòîìàò, ïðåáûâàþùèé â ñîñòîÿíèè s 0 èîáîçðåâàþùèé áóêâó èëè ãðàíè÷íûé ìàðêåð y ,ïåðåõîäèò â ñîñòîÿíèå s 00 è ïåðåìåùàåòñ÷èòûâàþùóþ ãîëîâêó ê ñîñåäíåìó ñèìâîëó ïîíàïðàâëåíèþ δ .IIÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÁîëåå ôîðìàëüíî âû÷èñëåíèå äâóñòîðîííåãîàâòîìàòà îïðåäåëÿåòñÿ òàê.Êîíôèãóðàöèåé êîíå÷íîãî äâóñòîðîííåãîàâòîìàòà B = (Σ, S, I , F , T ) íàçûâàåòñÿ âñÿêîåñëîâî îäíîãî èç ñëåäóþùèõ âèäîâ: s ` w a ,` usv a , ãäå w , u, v ñëîâà, è s ñîñòîÿíèå.Êîíôèãóðàöèÿ ` sw a íàçûâàåòñÿ íà÷àëüíîé ,åñëè s ∈ I .Êîíôèãóðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ôèíàëüíîé, åñëè s ∈ F.ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÎòíîøåíèå ïåðåõîäîâ α −→ β íà ìíîæåñòâåêîíôèãóðàöèé àâòîìàòà B âûïîëíÿåòñÿ â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè1.
α = s ` w a , β =` s 0w a , è (s, `, s 0, +1) ∈ T ;2. α =` usav a , β =` uas 0v a , è (s, a, s 0, +1) ∈ T ;3. α =` ubsav a , β =` us 0bav a , è4.(s, a, s 0 , −1) ∈ Tα =` wbs a , β =` ws 0 b a ,è (s, a, s 0, −1) ∈ T .ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÎòíîøåíèå ïåðåõîäîâ α −→ β íà ìíîæåñòâåêîíôèãóðàöèé àâòîìàòà B âûïîëíÿåòñÿ â òîì èòîëüêî òîì ñëó÷àå, åñëè1.
α = s ` w a , β =` s 0w a , è (s, `, s 0, +1) ∈ T ;2. α =` usav a , β =` uas 0v a , è (s, a, s 0, +1) ∈ T ;3. α =` ubsav a , β =` us 0bav a , è(s, a, s 0 , −1) ∈ Tα =` wbs a , β =` ws 0 b a ,4.è (s, a, s 0, −1) ∈ T .Âû÷èñëåíèå äâóñòîðîííåãî àâòîìàòà B ýòîïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðåõîäîâα0 −→ α1 −→ α2 −→ · · · −→ αn .ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÄâóñòîðîííèé êîíå÷íûé àâòîìàò B äîïóñêàåòñëîâî w , åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå âû÷èñëåíèå ýòîãîàâòîìàòàα0 −→ α1 −→ α2 −→ · · · −→ αn ,â êîòîðîì α0 =` q0w a íà÷àëüíàÿêîíôèãóðàöèÿ, à αn ôèíàëüíàÿ êîíôèãóðàöèÿ.ßçûê L(B) äâóñòðîíííåãî êîíå÷íîãî àâòîìàòà B ýòî ìíîæåñòâî âñåõ ñëîâ, êîòîðûå äîïóñêàåòýòîò àâòîìàò.ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÇÀÄÀ×À 10 [Òðóäíàÿ]Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî äâóñòîðîííåãîêîíå÷íîãî àâòîìàòà B ÿçûê L(B) ýòîðåãóëÿðíûé (àâòîìàòíûé) ÿçûê.Òàêèì îáðàçîì, óâåëè÷åíèå ¾ïîäâèæíîñòè¿êîíå÷íîãî àâòîìàòà íå ïðèâîäèò ê ðàñøèðåíèþåãî âû÷èñëèòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé.ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÇÀÄÀ×À 10 [Òðóäíàÿ]Äîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîãî äâóñòîðîííåãîêîíå÷íîãî àâòîìàòà B ÿçûê L(B) ýòîðåãóëÿðíûé (àâòîìàòíûé) ÿçûê.Òàêèì îáðàçîì, óâåëè÷åíèå ¾ïîäâèæíîñòè¿êîíå÷íîãî àâòîìàòà íå ïðèâîäèò ê ðàñøèðåíèþåãî âû÷èñëèòåëüíûõ âîçìîæíîñòåé.À óïðîùàåòñÿ ëè ïðè ýòîì ðàñïîçíàâàíèå ÿçûêîâ?ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÐàññìîòðèì íåäåòåðìèíèðîâàííûé êîíå÷íûé àâòîìàòAn , n ≥ 1 ,0, 1?0 -0,1 r r rs0s2 0,1 snêîòîðûé ðàñïîçíàåò ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç âñåõ äâîè÷íûõ ñëîâ,ñîäåðæàùèõ0íàn -îéïîçèöèè ñïðàâà.ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÐàññìîòðèì íåäåòåðìèíèðîâàííûé êîíå÷íûé àâòîìàòAn , n ≥ 1 ,0, 1?0 -0,1 r r rs0s2 0,1 snêîòîðûé ðàñïîçíàåò ÿçûê, ñîñòîÿùèé èç âñåõ äâîè÷íûõ ñëîâ,ñîäåðæàùèõ0íàn -îéïîçèöèè ñïðàâà.Òîãäà ìèíèìàëüíûé äåòåðìèíèðîâàííûé îäíîñòîðîííèéêîíå÷íûé àâòîìàò, ýêâèâàëåíòíûé àâòîìàòóAn ,ñîñòîÿíèé, à ìèíèìàëüíûé äåòåðìèíèðîâàííûéèìååò2näâóñòîðîííèéêîíå÷íûé àâòîìàò, ðàñïîçíàþùèé òîò æå ÿçûê, èìååòn+2ñîñòîÿíèå.Òàêèì îáðàçîì, äâóñòîðîííèå êîíå÷íûå àâòîìàòû ìîãóò áûòüãîðàçäî êîìïàêòíåå îäíîñòîðîííèõ.
Îäíàêî äî êîíöà ýòîòâîïðîñ âñå åùå íå ðåøåí.ÄÂÓÑÒÎÐÎÍÍÈÅ ÊÎÍÅ×ÍÛÅ ÀÂÒÎÌÀÒÛÎÒÊÐÛÒÀß ÏÐÎÁËÅÌÀÑóùåñòâóåò ëè òàêîé ðåãóëÿðíûé ÿçûê, äëÿðàñïîçíàâàíèÿ êîòîðîãî ìîæíî ïîñòðîèòüíåäåòåðìèíèðîâàííûé äâóñòîðîííèé àâòîìàò,èìåþùèé ñóùåñòâåííî ìåíüøèé ðàçìåð, íåæåëèìèíèìàëüíûé íåäåòåðìèíèðîâàííûé îäíîñòîðîííèé àâòîìàò, ðàñïîçíàþùèé òîò æå ÿçûê?ÊÎÍÅÖ ËÅÊÖÈÈ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
