3. Регулярные выражения. Алгебра регулярных выражений. Уравнения в регулярных выражениях. Теорема Клини (1162494)
Текст из файла
Ìîäåëè âû÷èñëåíèéÂ.À. Çàõàðîâ, Ð.È. Ïîäëîâ÷åíêîËåêöèÿ 3.1. Ðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ. Àëãåáðàðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé.2. Òåîðåìà Êëèíè î ñîîòâåòñòâèè ìåæäóðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè èêîíå÷íûìè àâòîìàòàìè.3. Çàäà÷à ïîèñêà ïî øàáëîíó. ÀëãîðèòìÀõî-Êîðàñèê.4. Äâóñòîðîííèå êîíå÷íûå àâòîìàòû.ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÀ ÌÎÆÍÎ ËÈ ÎÏÈÑÀÒÜ ÓÑÒÐÎÉÑÒÂÎÀÂÒÎÌÀÒÍÎÃÎ ßÇÛÊÀ ÁÅÇ ÏÎÌÎÙÈÀÂÒÎÌÀÒÎÂ?ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÀ ÌÎÆÍÎ ËÈ ÎÏÈÑÀÒÜ ÓÑÒÐÎÉÑÒÂÎÀÂÒÎÌÀÒÍÎÃÎ ßÇÛÊÀ ÁÅÇ ÏÎÌÎÙÈÀÂÒÎÌÀÒÎÂ?Ñóùåñòâóåò è áîëåå óäîáíûé ñïîñîá îïèñàíèÿàâòîìàòíûõ ÿçûêîâ ïðè ïîìîùè àëãåáðàè÷åñêèõâûðàæåíèé (ôîðìóë) ñïåöèàëüíîãî âèäà ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé.Èìåííî ðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ âáîëüøèíñòâå êîìïüþòåðíûõ ïðèëîæåíèé âòåêñòîâûõ ðåäàêòîðàõ, ñèíòàêñè÷åñêèõàíàëèçàòîðàõ, èíòåðïðåòàòîðàõ êîìàíäíûõ ñòðîê èäð.
äëÿ îïèñàíèÿ ïðîñòûõ ôîðìàëüíûõ ÿçûêîâ.ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÐåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ íàä àëôàâèòîìΣ = {a1 , a2 , . . . , an } ýòî ôîðìóëû, êîòîðûåîïðåäåëÿþòñÿ íàä ìíîæåñòâîì êîíñòàíò1. 0, 1 ,2. a1, a2, . . . , an ,è ìíîæåñòâîì îïåðàöèé, ñîñòîÿùèì èç1. äâóõìåñòíûõ îïåðàöèé ·, + ,2. îäíîìåñòíîé îïåðàöèè ∗ .ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÐåãóëÿðíûì âûðàæåíèåì íàçûâàåòñÿ âñÿêàÿôîðìóëà, êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèìòðåáîâàíèÿì:1.
êàæäàÿ êîíñòàíòà ÿâëÿåòñÿ ðåãóëÿðíûìâûðàæåíèåì;2. åñëè ôîðìóëû R1 è R2 ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìèâûðàæåíèÿìè, òî ôîðìóëû(R1 · R2 ) ,(R1 + R2 ) ,(R1∗ )òàêæå ÿâëÿþòñÿ ðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè.ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÏðèìåðû ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé.(0 + 1) ,(a1 + a2 ) ,((a1 · a2 ) + (a2 · a1 )) ,(((a1 · ((a1 + a2 )∗ )) + a2 )∗ ) .ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÏðèìåðû ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé.(0 + 1) ,(a1 + a2 ) ,((a1 · a2 ) + (a2 · a1 )) ,(((a1 · ((a1 + a2 )∗ )) + a2 )∗ ) .Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè ââåäåì ïðèîðèòåòîïåðàöèé: âûñîêèé äëÿ ∗ , ñðåäíèé äëÿ · , íèçêèéäëÿ + . Áóäåì îïóñêàòü íåêîòîðûå ñêîáêè.Íàïðèìåð, çàïèñüa1 · a2 ∗ + 1 ∗ · a1îáîçíà÷àåò ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå((a1 · (a2 ∗ )) + ((1∗ ) · a1 )) .ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÇíà÷åíèåì êàæäîãî ðåãóëÿðíîãî âûðàæåíèÿ Rÿâëÿåòñÿ ôîðìàëüíûé ÿçûê L(R), L(R) ⊆ Σ∗ ,êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì:1.
L(0) = ∅ ,2. L(1) = {ε} ,3. L(ai) = {ai }, 1 ≤ i ≤ n ,4. L(R1 · R2) = L(R1)L(R2) (êîíêàòåíàöèÿ),5. L(R1 + R2) = L(R1) ∪ L(R2) (îáúåäèíåíèå),6. L(R1∗) = L∗(R1) (èòåðàöèÿ).ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßÒàêèì îáðàçîì,L(0 + 1) = {ε} ,L(a1 + a2 ) = {a1 , a2 } ,L(a1 · a2 + a2 · a1 ) = {a1 a2 , a2 a1 } ,L((a1·((a1 + a2 )∗ ) + a2 )∗ ) = {a1 , a2 }∗ = L((a1 + a1 )∗ ).ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßßçûê íàçûââåòñÿ ðåãóëÿðíûì , åñëè îí ÿâëÿåòñÿçíà÷åíèåì íåêîòîðîãî ðåãóëÿðíîãî âûðàæåíèÿ.Íàïðèìåð, ÿçûê L , ñîñòîÿùèé èç âñåõ ñëîâ ÷åòíîéäëèíû íàä àëôàâèòîì Σ = {a, b} , ÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíûì, ïîñêîëüêó L = L(((a + b) · (a + b))∗) .ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈßßçûê íàçûââåòñÿ ðåãóëÿðíûì , åñëè îí ÿâëÿåòñÿçíà÷åíèåì íåêîòîðîãî ðåãóëÿðíîãî âûðàæåíèÿ.Íàïðèìåð, ÿçûê L , ñîñòîÿùèé èç âñåõ ñëîâ ÷åòíîéäëèíû íàä àëôàâèòîì Σ = {a, b} , ÿâëÿåòñÿðåãóëÿðíûì, ïîñêîëüêó L = L(((a + b) · (a + b))∗) .À êàê â ýòîì óáåäèòüñÿ?Íàïðèìåð, âîñïîëüçîâàòüñÿ òîæäåñòâàìè àëãåáðûðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé.Äâà ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèÿ ñ÷èòàþòñÿ ðàâíûìè,åñëè èõ çíà÷åíèÿ îäèíàêîâû.ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓòâåðæäåíèå 3.1.
Äëÿ ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèéñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâà1. F + G = G + F ;2. F + 0 = F ;3. F + (G + H) = (F + G ) + H ;4. F · 1 = F ;5. 1 · F = F ;6. F · (G · H) = (F · G ) · H ;ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓòâåðæäåíèå 3.1. (Ïðîäîëæåíèå)Äëÿ ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé ñïðàâåäëèâûñëåäóþùèå òîæäåñòâà7 F · (G + H) = (F · G ) + (F · H) ;8 (G + H) · F = (G · F ) + (H · F ) ;9 F · 0 = 0;10 0 · F = 0 ;11 F + F = F ;Äîêàçàòåëüñòâî.
ÑàìîñòîÿòåëüíîÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓòâåðæäåíèå 3.1. (Ïðîäîëæåíèå)Äëÿ ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé ñïðàâåäëèâûñëåäóþùèå òîæäåñòâà7 F · (G + H) = (F · G ) + (F · H) ;8 (G + H) · F = (G · F ) + (H · F ) ;9 F · 0 = 0;10 0 · F = 0 ;11 F + F = F ;Äîêàçàòåëüñòâî. ÑàìîñòîÿòåëüíîÊàê âèäíî èç ýòèõ òîæäåñòâ, ðåãóëÿðíûåâûðàæåíèÿ îáðàçóþò àññîöèàòèâíîå ïîëóêîëüöî.ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓïðîñòèì ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a + b)(a + b) + aa + bb =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓïðîñòèì ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a + b)(a + b) + aa + bb =(a + b) · a + (a + b) · b + aa + bbb =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓïðîñòèì ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a + b)(a + b) + aa + bb =(a + b) · a + (a + b) · b + aa + bbb =aa + ba + ab + bb + aa + bb =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓïðîñòèì ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a + b)(a + b) + aa + bb =(a + b) · a + (a + b) · b + aa + bbb =aa + ba + ab + bb + aa + bb =aa + aa + bb + bb + ba + ab =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓïðîñòèì ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a + b)(a + b) + aa + bb =(a + b) · a + (a + b) · b + aa + bbb =aa + ba + ab + bb + aa + bb =aa + aa + bb + bb + ba + ab =aa + bb + ba + ab =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓïðîñòèì ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a + b)(a + b) + aa + bb =(a + b) · a + (a + b) · b + aa + bbb =aa + ba + ab + bb + aa + bb =aa + aa + bb + bb + ba + ab =aa + bb + ba + ab =(a + b)(a + b)ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÓòâåðæäåíèå 3.2.
Äëÿ ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèéñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå òîæäåñòâà1. F · F ∗ = F ∗ · F ;2. (F ∗)∗ = F ∗ ;3. F ∗ = 1 + F · F ∗ ;4. F ∗ = (1 + F + FF + · · · + F n−1) · (F n )∗ ;5. (F + G )∗ = (F ∗ · G )∗ · F ∗ ;6. (F · G )∗ = 1 + F (G · F )∗G .Äîêàçàòåëüñòâî. ÑàìîñòîÿòåëüíîÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÈñïîëüçóÿ óêàçàííûå òîæäåñòâà, ìîæíî óïðîùàòüðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ è ðåøàòü óðàâíåíèÿ íàäðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè.Ïðèìåð. Óïðîñòèòü ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÈñïîëüçóÿ óêàçàííûå òîæäåñòâà, ìîæíî óïðîùàòüðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ è ðåøàòü óðàâíåíèÿ íàäðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè.Ïðèìåð.
Óïðîñòèòü ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗ = 1 + a∗ b(a∗ b)∗ + 1 + b ∗ a(b ∗ a)∗ =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÈñïîëüçóÿ óêàçàííûå òîæäåñòâà, ìîæíî óïðîùàòüðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ è ðåøàòü óðàâíåíèÿ íàäðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè.Ïðèìåð. Óïðîñòèòü ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗ = 1 + a∗ b(a∗ b)∗ + 1 + b ∗ a(b ∗ a)∗ =1 + 1 + (a∗ b)∗ a∗ b + (b ∗ a)∗ b ∗ a =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÈñïîëüçóÿ óêàçàííûå òîæäåñòâà, ìîæíî óïðîùàòüðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ è ðåøàòü óðàâíåíèÿ íàäðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè.Ïðèìåð. Óïðîñòèòü ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗ = 1 + a∗ b(a∗ b)∗ + 1 + b ∗ a(b ∗ a)∗ =1 + 1 + (a∗ b)∗ a∗ b + (b ∗ a)∗ b ∗ a =1+(a + b)∗ b+(b + a)∗ a = 1+(b + a)∗ b+(b + a)∗ a =ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÈñïîëüçóÿ óêàçàííûå òîæäåñòâà, ìîæíî óïðîùàòüðåãóëÿðíûå âûðàæåíèÿ è ðåøàòü óðàâíåíèÿ íàäðåãóëÿðíûìè âûðàæåíèÿìè.Ïðèìåð.
Óïðîñòèòü ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗(a∗ b)∗ + (b ∗ a)∗ = 1 + a∗ b(a∗ b)∗ + 1 + b ∗ a(b ∗ a)∗ =1 + 1 + (a∗ b)∗ a∗ b + (b ∗ a)∗ b ∗ a =1+(a + b)∗ b+(b + a)∗ a = 1+(b + a)∗ b+(b + a)∗ a =1 + (b + a)∗ (b + a) = 1 + (b + a)(b + a)∗ = (b + a)∗ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÏóñòü F è G ïðîèçâîëüíûå ðåãóëÿðíûåâûðàæåíèÿ.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå X = X · F + G íàäðåãóëÿðíûìè ÿçûêàìè ñ íåèçâåñòíîé X .ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÏóñòü F è G ïðîèçâîëüíûå ðåãóëÿðíûåâûðàæåíèÿ.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå X = X · F + G íàäðåãóëÿðíûìè ÿçûêàìè ñ íåèçâåñòíîé X .Óòâåðæäåíèå3.3.
Ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå∗G · F ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿX =X ·F +G .ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÏóñòü F è G ïðîèçâîëüíûå ðåãóëÿðíûåâûðàæåíèÿ.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå X = X · F + G íàäðåãóëÿðíûìè ÿçûêàìè ñ íåèçâåñòíîé X .Óòâåðæäåíèå3.3. Ðåãóëÿðíîå âûðàæåíèå∗G · F ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿX =X ·F +G .Äîêàçàòåëüñòâî.G · F ∗ · F + G = G · (1 + F ∗ · F ) = G · F ∗ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÇÀÄÀ×À 8Äîêàçàòü, ÷òî â ñëó÷àå ε ∈/ L(F ) , ýòî ðåøåíèååäèíñòâåííîå.Êàêèå åùå ðåøåíèÿ èìååò óðàâíåíèåX = X · F + G â ñëó÷àå ε ∈ L(F ) ?ÇÀÄÀ×À 9Êàêèå ðåøåíèÿ èìååò óðàâíåíèåX =F ·X +G?ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÏåðåä íàìè îòêðûâàåòñÿ èíòåðåñíàÿ âîçìîæíîñòü:ÿçûêè ìîæíî çàäàâàòü íåÿâíî, êàê ðåøåíèÿóðàâíåíèé â àëãåáðå ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé!Íàïðèìåð, ÿçûê L îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèìåíüøååðåøåíèå óðàâíåíèÿ(X · a + b · X )∗ =1+b·X2· a.ÀËÃÅÁÐÀ ÐÅÃÓËßÐÍÛÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉÏåðåä íàìè îòêðûâàåòñÿ èíòåðåñíàÿ âîçìîæíîñòü:ÿçûêè ìîæíî çàäàâàòü íåÿâíî, êàê ðåøåíèÿóðàâíåíèé â àëãåáðå ðåãóëÿðíûõ âûðàæåíèé!Íàïðèìåð, ÿçûê L îïðåäåëÿåòñÿ êàê íàèìåíüøååðåøåíèå óðàâíåíèÿ(X · a + b · X )∗ =1+b·X2· a.ÇÀÄÀ×À 10 [Òðóäíàÿ] Äîêàæèòå èëèîïðîâåðãíèòå ãèïîòåçó:Êàêîâî áû íè áûëî óðàâíåíèå íàä ðåãóëÿðíûìèâûðàæåíèÿìè ñ îäíîé ïåðåìåííîé, åñëè ýòîóðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå, òî õîòÿ áû îäíî èç åãîìèíèìàëüíûõ ðåøåíèé ýòî ðåãóëÿðíûé ÿçûê .ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÊÀÊ ÑÎÎÒÍÎÑßÒÑß ÄÐÓÃ Ñ ÄÐÓÃÎÌÊËÀÑÑÛ ÀÂÒÎÌÀÒÍÛÕ È ÐÅÃÓËßÐÍÛÕßÇÛÊÎÂ?ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÒåîðåìà 3.4.
Êàæäûé ðåãóëÿðíûé ÿçûêÿâëÿåòñÿ àâòîìàòíûì ÿçûêîì.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ßçûêè, êîòîðûå çàäàþòñÿêîíñòàíòàìè 0, 1 è a, a ∈ Σ , î÷åâèäíî ÿâëÿþòñÿàâòîìàòíûìè.ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÒåîðåìà 3.4. Êàæäûé ðåãóëÿðíûé ÿçûêÿâëÿåòñÿ àâòîìàòíûì ÿçûêîì.Äîêàçàòåëüñòâî. 1) ßçûêè, êîòîðûå çàäàþòñÿêîíñòàíòàìè 0, 1 è a, a ∈ Σ , î÷åâèäíî ÿâëÿþòñÿàâòîìàòíûìè.2) Êëàññ àâòîìàòíûõ ÿçûêîâ çàìêíóòîòíîñèòåëüíî îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ + .Ïîêàæåì, ÷òî îí çàìêíóò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèéêîíêàòåíàöèè è èòåðàöèè Êëèíè.ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏóñòü Li = L(Ai ), i = 1, 2, , ãäå Ai = (Σ, Si , Ii , Fi , Ti ).ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏóñòü Li = L(Ai ), i = 1, 2, , ãäå Ai = (Σ, Si , Ii , Fi , Ti ).Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé àâòîìàòA0 = (Σ, S1 ∪ S2 , I1 , F2 , T1 ∪ T2 ∪ T0 ) , ãäåT0 = {(s 0 , ε, s000 ) : s 0 ∈ F1 , s000 ∈ I2 } .ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏóñòü Li = L(Ai ), i = 1, 2, , ãäå Ai = (Σ, Si , Ii , Fi , Ti ).Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé àâòîìàòA0 = (Σ, S1 ∪ S2 , I1 , F2 , T1 ∪ T2 ∪ T0 ) , ãäåT0 = {(s 0 , ε, s000 ) : s 0 ∈ F1 , s000 ∈ I2 } .Òîãäà w ∈ L1 · L2 ⇔ w = uv , u ∈ L1, v ∈ L2 ⇔ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏóñòü Li = L(Ai ), i = 1, 2, , ãäå Ai = (Σ, Si , Ii , Fi , Ti ).Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé àâòîìàòA0 = (Σ, S1 ∪ S2 , I1 , F2 , T1 ∪ T2 ∪ T0 ) , ãäåT0 = {(s 0 , ε, s000 ) : s 0 ∈ F1 , s000 ∈ I2 } .Òîãäà w ∈ L1 · L2 ⇔ w = uv , u ∈ L1, vu ∈ L2 ⇔ñóùåñòâóþòóñïåøíûåâû÷èñëåíèÿs00 −→∗ s 0 èvs000 −→∗ s 00 àâòîìàòîâ A1 è A2 ⇔ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏóñòü Li = L(Ai ), i = 1, 2, , ãäå Ai = (Σ, Si , Ii , Fi , Ti ).Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé àâòîìàòA0 = (Σ, S1 ∪ S2 , I1 , F2 , T1 ∪ T2 ∪ T0 ) , ãäåT0 = {(s 0 , ε, s000 ) : s 0 ∈ F1 , s000 ∈ I2 } .Òîãäà w ∈ L1 · L2 ⇔ w = uv , u ∈ L1, vu ∈ L2 ⇔ñóùåñòâóþòóñïåøíûåâû÷èñëåíèÿs00 −→∗ s 0 èvs000 −→∗ s 00 àâòîìàòîâ A1 è A2 ⇔ ñóùåñòâóåòu0 ε00 v00óñïåøíîå âû÷èñëåíèå s00 −→∗ s −→ s0 −→∗ sàâòîìàòà A0 ⇔ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏóñòü Li = L(Ai ), i = 1, 2, , ãäå Ai = (Σ, Si , Ii , Fi , Ti ).Ðàññìîòðèì êîíå÷íûé àâòîìàòA0 = (Σ, S1 ∪ S2 , I1 , F2 , T1 ∪ T2 ∪ T0 ) , ãäåT0 = {(s 0 , ε, s000 ) : s 0 ∈ F1 , s000 ∈ I2 } .Òîãäà w ∈ L1 · L2 ⇔ w = uv , u ∈ L1, vu ∈ L2 ⇔ñóùåñòâóþòóñïåøíûåâû÷èñëåíèÿs00 −→∗ s 0 èvs000 −→∗ s 00 àâòîìàòîâ A1 è A2 ⇔ ñóùåñòâóåòu0 ε00 v00óñïåøíîå âû÷èñëåíèå s00 −→∗ s −→ s0 −→∗ sàâòîìàòà A0 ⇔ w ∈ L(A0)ÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÏîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî , ÷òî â ñëó÷àå L = L(A)ñóùåñòâóåò òàêîé êîíå÷íûé àâòîìàò A0 , äëÿêîòîðîãî L∗ = L(A0) , è çàâåðøèòå òåì ñàìûìäîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû.QEDÐÅÃÓËßÐÍÛÅ ÂÛÐÀÆÅÍÈß È ÊÎÍÅ×ÍÛÅÀÂÒÎÌÀÒÛÒåîðåìà 3.5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
