Линейная связность сферы в пространстве Громова-Хаусдорфа (1162492)
Текст из файла
Московский Государственный Университет имени М.В.ЛомоносоваМеханико-математический факультетКафедра дифференциальной геометрии и приложенийКУРСОВАЯ РАБОТАЛинейная связность сферы в пространстве Громова–ХаусдорфаPath connectedness of sphere in Gromov–Hausdorff spaceВыполнил студент 4 курсаР.А.ЦветниковНаучный руководительд.ф.-м.н., проф.
А.А. Тужилинг.Москва20171. Введение12ВведениеВажным геометрическим объектом является расстояние Громова–Хаусдорфа, введенное Эдвардсом в 1975 году, а затем переоткрытое и обобщеное Громовым в 1981. Оно измеряет различие между двумя произвольными метрическими пространствами и, фактически, являетсямерой наилучшего “совмещения” пространств. На основе этого расстояния вводится пространство Громова–Хаусдорфа, точками которого явлются классы изометричности компактныхметрических пространств. В нём, как известно, расстояние Громова–Хаусдорфа является метрикой. Имеются различные приложения расстояния Громова–Хаусдорфа, например в теориираспознавания образов.В данной статье мы изучаем линейную связность сферы в пространстве Громова–Хаусдорфа, а именно, мы докажем следующие два утверждения: (1) каждая сфера с центромв одноточечном пространстве линейно связна; (2) для каждого метрического компакта Xсуществует такое число RX , что все сферы с центром в X радиуса r ≥ RX являются линейносвязными.2Основные определения и предварительные результатыПусть X 0 и Y 0 — два непустых подмножества метрического пространства M .
Тогда расстоянием по Хаусдорфу, dH (X 0 , Y 0 ), между X 0 и Y 0 называется точная нижняя грань чисел d,таких, что d-окрестность X 0 содержит Y 0 и также d-окрестность Y 0 содержит X 0 . Эквивалентное определение: если |xy| — расстояние между x и y в M , то00dH (X , Y ) = max sup ( inf 0 |xy| ), sup ( inf 0 |xy| ) .x∈X 0y∈Yy∈Y 0x∈XПусть X и Y — произвольные компактные метрические пространства.
Тройку (X 0 , Y 0 , Z),состоящую из метрического пространства Z и двух его подмножеств X 0 и Y 0 , изометричных соответственно X и Y , назовем реализацией пары (X, Y ). Расстоянием dGH по Громову–Хаусдорфу между X и Y назовем точную нижнюю грань чисел ρ, для которых существуетреализация (X 0 , Y 0 , Z) пары (X, Y ) такая, что dH (X 0 , Y 0 ) ≤ ρ.Хорошо известно [1], что определенная выше функция dGH является метрикой на множестве M компактных метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии.Цель настоящей работы — выяснить, являются ли сферы в пространстве M линейно связными.Отношением между множествами X и Y называется каждое подмножество декартова произведения X ×Y .
Множество всех непустых отношений между X и Y обозначим через P(X, Y ).Через πX и πY обозначим канонические проекции пространства X × Y на его сомножители,т. е. πX (x, y) = x и πY (x, y) = y. Отношение R между X и Y называется соответствием, еслиограничение канонических проекций πX и πY на R — сюръекции. Множество всех соответствий между X и Y обозначим через R(X, Y ).Для каждого отношения σ ∈ P(X, Y ) определим его искажениеnodis σ = sup |xx0 | − |yy 0 |: (x, y) ∈ σ, (x0 , y 0 ) ∈ σ .2.
Основные определения и предварительные результаты3Хорошо известно [1], чтоdGH (X, Y ) =1inf dis R | R ∈ R(X, Y ) .2Оптимальным соответствием R, R ∈ R(X, Y ), называется соответствие, на которомдостигается расстояние по Громову–Хаусдорфу:dGH (X, Y ) =1dis R.2Множество всех оптимальных соответствий между X и Y обозначаим через Ropt .Обозначим через ∆1 одноточечное метрическое пространство.Для A ∈ M и вещественного λ > 0 через λA будем обозначать метрическое пространство,которое получается из A умножением всех расстояний в нём на λ.Диаметром diam[A] метрического пространства A называется точная верхняя грань расстояний между его точками.Предложение 2.1 ([1]).
Для любых X, Y ∈ M имеет местоdGH (X, Y ) ≤1max diam[X], diam[Y ] .2Предложение 2.2 ([1]). Для любых X, Y ∈ M выполняетсяdiam[X] − diam[Y ] ≤ 2 dGH (X, Y ).Предложение 2.3 ([1]). Для любого X ∈ M имеемdGH (X, ∆1 ) = diam[X]/2.Предложение 2.4 ([2]). Для любых A, B ∈ M существует кратчайшая γ, их соединяющая.Предложение 2.5 ([3]).
Для любых X, Y ∈ M множество Ropt (X, Y ) непусто.Предложение 2.6 ([3]). Для любых X, Y ∈ M и каждого R ∈ Ropt (X, Y ) семейство Rt , t ∈[0, 1], компактных метрических пространств таких, что R0 = X, R1 = Y , и для t ∈ (0, 1)пространство Rt есть (R, ρt ), гдеρt (x, y), (x0 , y 0 ) = (1 − t)|xx0 | + t|yy 0 |,является кратчайшей кривой в M, соединяющей X и Y .Предложение 2.7 ([1]). Для любых X, Y ∈ M, λ > 0 имеемdGH (λX, λY ) = λdGH (X, Y ).Предложение 2.8 ([1]).
Для любого X ∈ M, λ1 , λ2 > 0 выполняетсяdGH (λ1 X, λ2 Y ) ≤ |λ1 − λ2 |dGH (X, Y ).3. Основные результаты34Основные результатыПриведём ряд вспомогательных результатов.Лемма 3.1. Если γ(t), t ∈ [a, b], — непрерывная кривая в M, то diam[γ(t)] — непрерывнаяфункция.Доказательство. В силу непрерывности γ(t) получаем, что для любого ε > 0, для любого tdiam[γ(t)]−существует такое δ > 0, что если|t−t|<δ,тоdγ(t),γ(t)<ε.Согласно2.2,0GH0diam[γ(t0 )] ≤ 2 dGH γ(t), γ(t0 ) < 2 ε, откуда немедленно вытекает непрерывность функцииdiam[γ(t)].Лемма 3.2.
Если λ(t), t ∈ [a, b], — непрерывная положительная функция, а γ(t) — непрерывная кривая в M, то λ(t)γ(t) — непрерывная кривая в M.Доказательство. По лемме 3.1, diam[γ(t)], t ∈ [a, b], — непрерывная функция на отрезке(компакте), поэтому она ограниченная. Также ограниченной является непрерывная функцияλ(t).
Пусть λ(t) < M , diam[γ(t)] < M для любого t. В силу непрерывности γ(t) получаем,что для любого ε > 0 и для любого t существует δ1 > 0 такое, что если |t − t0 | < δ1 , тоdGH (γ(t), γ(t0 )) < ε. А в силу непрерывности λ(t) получаем, что для любого ε > 0, для любогоt существует δ2 > 0 такое, что если |t − t0 | < δ2 , то |λ(t) − λ(t0 )| < ε. Тогда, если положитьδ = min{δ1 , δ2 }, и если |t − t0 | < δ, то, применяя неравенство треугольника в метрическомпространстве M [1] и пользуясь 2.3, 2.7 и 2.8, имеемdGH λ(t)γ(t), λ(t0 )γ(t0 ) ≤ dGH λ(t)γ(t), λ(t)γ(t0 ) + dGH λ(t)γ(t0 ), λ(t0 )γ(t0 ) ≤≤ λ(t) dGH γ(t), γ(t0 ) + 1/2 |λ(t) − λ(t0 )| diam[γ(t0 )] ≤ ε λ(t) + 1/2 diam[γ(t)] < 2εM .Лемма 3.3. Кратчайшая кривая γ, соединяющая пару произвольных точек A и B из M сненулевым диаметром (т.е.
отличных от ∆1 ), не проходит через ∆1 .Доказательство. Допустим, что γ проходит через ∆1 . В таком случае она не будет кратчайшей, так как, с одной стороны, согласно 2.1, dGH (A, B) ≤ 1/2 max{diam[A], diam[B]}, а, cдругой, согласно 2.3 и [2], длина кривой γ будет равна dGH (A, ∆1 ) + dGH (B, ∆1 ), что строгобольше, чем 1/2 max{diam[A], diam[B]}. Противоречие.Лемма 3.4 ([1]). Искажение каждого соответствияR ∈ R(X, Y ) для компактных X и Yдостигается на некоторой паре (x, y), (x0 , y 0 ) , (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ R.Теорема 1. Любая сфера с центром в одноточечном компакте ∆1 линейно связна.Доказательство. Пусть S — сфера радиуса r > 0 с центром в одноточечном компакте ∆1 .Рассмотрим A и B ∈ S. В силу 2.4, их соединяет некоторая кратчайшая кривая γ.
По лемме3.3, диаметр всех точек γ ненулевой. Зададим отображение δ : [a, b] → M следующим образом:δ : t 7→ 2r/diam[γ(t)] γ(t). В силу лемм 3.1 и 3.3, 2r/diam[γ(t)] — непрерывная ограниченнаяфункция, тогда в силу леммы 3.2, получаем, что δ(t) — непрерывная кривая.
При этом всякривая δ лежит в S. В силу произвольности A и B получаем, что любая сфера с центром в∆1 линейно связна.3. Основные результаты5В дальнейшем нам потребуется следующие технические леммы.Лемма 3.5. Пусть F : [T0 , T1 ] × [S0 , S1 ] → R — непрерывная функция, удовлетворяющаяследующим условиям:(1) при каждом s ∈ [S0 , S1 ] функция fs (t) = F (t, s) строго монотонна, и(2) существует такое r, что при всех s ∈ [S0 , S1 ] выполнятеся F [T0 , s] < r < F [T1 , s].Тогда множество {F = r} — образ вложенной непрерывной кривой.Допуск разрываДоказательство.
В силу строгой монотонности функции fs (t) и условия fs (T0 ) < r < fs (T1 ),при каждом s существует и единственно ts такое, что fs (ts ) = r. Положим γ(s) = (ts , s) ипокажем, что отображение γ непрерывно. Пусть γ(s) разрывна в некоторой точке s0 . Тогдасуществует ε > 0 такое, что для любого δ > 0 найдётся точка sδ , для которой ||γ(s0 ) −γ(sδ )||R2 > ε, при этом |sδ − s0 | < δ. Обозначим открытую ε-окрестность точки γ(s0 ) черезOε . Заметим, что из компактности Ω следует компактность Ω \ Oε .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
