Линейная связность сферы в пространстве Громова-Хаусдорфа (1162492), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Фиксируем ε и положимδn = 1/n. Получим последовательность γ(sδn ). Все точки γ(sδn ) будут лежать в Ω \ Oε . Всилу компактности множества Ω \ Oε , эта последовательность сходится к некоторой точке(t0 , s0 ), для которой |t0 − ts0 | ≥ ε, и F (t0 , s0 ) = r. Таким образом, fs0 (ts0 ) = r и fs0 (t0 ) = r, чтопротиворечит строгой монотонности функции fs0 .Лемма 3.6. Пусть даны произвольные C, G ∈ M такие, что dGH (G, C) > diam[G]/2. Тогдафункция F (λ) := dGH (G, λC) строго монотонно возрастает при λ ≥ 1.Доказательство. По лемме 3.4 существуют (c1 , g1 ), (c2 , g2 ) ∈ R, на которых достигается искажение соответствия R, откудаdisR = |c1 c2 | − |g1 g2 | ≥ 2dGH (G, C) > diamG.3.
Основные результаты6Так как |g1 g2 | − |c1 c2 | ≤ diamG, то disR = |c1 c2 | − |g1 g2 | > 0 и, значит, для любого λ ≥ 1выполняется λ|c1 c2 | − |g1 g2 | > 0.Для каждого соответствия R ∈ R(G, C) и λ > 0 через Rλ будем обозначать то же самое R,но рассматриваемое, как элемент из R(G, λC).
Тогда для любого λ ≥ 1 имеемno disRλ = sup λ|c01 c02 | − |g10 g20 | : (c01 , g10 ), (c02 , g20 ) ∈ R ≥ λ|c1 c2 | − |g1 g2 | == λ|c1 c2 | − |g1 g2 | ≥ |c1 c2 | − |g1 g2 | > diamG.Отсюда, аналогично проделанному выше, получаем, что если искажение соответствия Rλ достигается на (cλ1 , g1λ ), (cλ2 , g2λ ) ∈ R, то disRλ = λ|cλ1 cλ2 | − |g1λ g2λ | > 0 и, значит, для любого λ0 ≥ λвыполняется λ0 |cλ1 cλ2 | − |g1λ g2λ | > 0.Пусть теперь 1 ≤ λ1 < λ2 , тогдаdisRλ2 ≥ λ2 |cλ1 1 cλ2 1 | − |g1λ1 g2λ1 | = λ2 |cλ1 1 cλ2 1 | − |g1λ1 g2λ1 | > λ1 |cλ1 1 cλ2 1 | − |g1λ1 g2λ1 | = disRλ1 ,так что для каждого R ∈ R(G, C) функция disRλ параметра λ строго монотонно растет приλ ≥ 1.Пусть снова 1 ≤ λ1 < λ2 , а R — такое соответствие, на котором достигается dGH (G, λ2 C).Тогда2dGH (G, λ2 C) = disRλ2 > disRλ1 ≥ 2dGH (G, λ1 C),что и требовалось доказать.Теперь мы докажем линейную связность сферы достаточно большого радиуса, с центромв произвольной точке G ∈ M.Теорема 2.
Любая сфера S ∈ M c центром в G ∈ M и с радиусом r > diam[G] линейносвязна.3. Основные результаты7Наглядное представление доказательсваДоказательство. Рассмотрим пару произвольных точек A и B, лежащих на сфере S ∈ Mрадиуса r. Так как r > diam[G], то A и B отличны от ∆1 , поэтому существуют λ1 , λ2 , длякоторых diam[λ1 A] = diam[λ2 B] = 3r. Через γout (s), s ∈ [S0 , S1 ], обозначим непрерывнуюкривую, состоящую из метрических пространств с одним и тем же диаметром, определённуюнами в доказательстве теоремы 1, такую, что γout (S0 ) = λ1 A и γout (S1 ) = λ2 B.
Согласнопредположению 2.2, для любого s ∈ [S0 , S1 ] верно, чтоdiam[γout (s)] − diam[G] = 3r − diam[G] ≤ 2dGH γout (s), G .Так как r > diam[G], то 2dGH γout (s), G > 2r, поэтому кривая γout не пересекает сферу S, и,более того, лежит вне шара, ограниченного этой сферой.Из предложения 2.1 вытекает, что для каждого V ∈ S выполняетсяno 11r = dGH (G, V ) ≤ max diam[G], diam[V ] = diam[V ]22(максимум не может достигаться на diam[G], так как r > diam[G]). В итоге, для любого V ∈ Sвыполняется diam[V ] ≥ 2r. Зафиксируем ε > 0 такой, что r > diam[G] + ε он существует всилу условия r > diam[G] .
Для любого V ∈ S получаем, что2diam[V ] ≥ 2r > 2 diam[G] + ε .Теперь построим непрерывную кривую внутри шара, ограниченного сферой S. Положимγout . Это будет непрерывная кривая, состоящая из метрических пространствγin = (2diam[G]+ε)3rодного и того же диаметра, равного 2diam[G] + ε. Исходя из предложений 2.2 и 2.1 получаем,что для любого s ∈ [S0 , S1 ] имеет местоnodiam[G] − diam[γin (s)] ≤ 2dGH γin (s), G ≤ max diam[γin (s)], diam[G] .Так как diam[γin (s)] = 2diam[G] + ε для любого s ∈ [S0 , S1 ], тоdiam[G] − diam[γin (s)] = diam[γin ] − diam[G] = 2diam[G] + ε − diam[G] > diam[G].Вспомнив, что r > diam[G] + ε, получаем для любого s ∈ [S0 , S1 ]nonomax diam[γin (s)], diam[G] = max 2diam[G] + ε, diam[G] = 2diam[G] + ε < 2r.Из вышеперечисленных неравенств делаем вывод, что для любого s ∈ [S0 , S1 ]diam[G] < 2dGH γin (s), G < 2r.Таким образом, кривая γin (s) лежит внутри шара, ограниченного сферой S, и dGH γin (s), G >12 diam[G] для любого s ∈ [S0 , S1 ].Положим γ = γout /3r и введём функцию F [t, s] = dGH G, tγ(s) .
Заметим, что кривая γсостоит из пространств γ(s) единичного диаметра, а функция F [t, s] непрерывна на компактеΩ = [T0 , T1 ] × [S0 , S1 ] ∈ R2 , где T0 = diam[γin ], T1 = diam[γout ], причём для любого s ∈ [S0 , S1 ]выполняется F [T0 , s] < r и F [T1 , s] > r.3. Основные результаты8Так как F [T0 , s] > 12 diam[G] для любого s ∈ [S0 , S1 ], то согласно лемме 3.6, функция F [t, s]строго монотонна по t, поэтому в силу леммы 3.5 существует непрерывная кривая w[s], такая,что dGH w[s], G = r для любого s ∈ [S0 , S1 ].Итак, мы построили непрерывную кривую w, лежащую на сфере S.
Покажем, что w[S0 ] =A. Действительно, c одной стороны, w[S0 ] принадлежит лучу λA, а, с другой стороны, выполняется dGH w[S0 ], G = r, но такая точка единственна в силу леммы 3.6. Аналогичноw[S1 ] = B. В силу произвольности A и B получаем, что сфера S — линейно связна.3. Список литературы9Список литературы[1] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии, 2004. ISBN: 593972-300-4.[2] Ivanov A.O., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov–Hausdorff Metric on the Space ofCompact Metric Spaces is Strictly Intrinsic.
ArXiv:1504.03830, 2015.[3] Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A. Realizations of Gromov–Hausdorff Distance.ArXiv:1603.08850, 2016..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
