Выпуклость шара в пространстве Громова-Хаусдорфа (1162488)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВАМеханико-математический факультетКафедра дифференциальной геометрии и приложенийКурсовая работаВыпуклость шара в пространстве Громова-Хаусдорфа.Курсовая работастудентки 4-го курсаКлибус Д.Научный руководитель:профессор, д.ф-м.н. Тужилин А.А.Москва 20172Содержание1 Введение32 Основные определения и предварительные результаты43 Основные результаты74 Список литературы101. Введение13ВведениеРасстояние Громова–Хаусдорфа между метрическими пространствами является полезным инструментом для моделирования некоторых процедур сопоставления объектов. С момента своего появления оно использовалось математиками в изучении топологических свойств.
Будемисследовать геометрию пространства M всех метрических компактов (рассматриваемых сточностью до изометрии) с метрикой Громова–Хаусдорфа. Пространство Громова–Хаусдорфа— польское (полное сепарабельное) и линейно связное. Также А.О.Иванов, Н.К.Николаева иА.А.Тужилин показали, что метрика Громова–Хаусдорфа является строго внутренней. До сихпор имеется еще много разных вопросов, связанных с этим пространством. Настоящая статьяпосвящена следующему вопросу: являются ли шары в пространстве Громова–Хаусдорфа выпуклыми. Существует два понятия выпуклости: в сильном смысле (каждая кратчайшая кривая, соединяющая любую пару точек множества, принадлежит этому множеству) и слабомсмысле (для любой пары точек множества найдется кратчайшая кривая, которая соединяетэти точки и принадлежит этому множеству).
Мы покажем, что шар ненулевого радиуса с центром в одноточечном пространстве выпуклый в слабом смысле, но не выпуклый в сильном.Также мы покажем, что шар достаточно малого радиуса с центром в пространстве общегоположения выпуклый в слабом смысле.2. Основные определения и предварительные результаты24Основные определения и предварительные результатыПусть X — метрическое пространство, а x ∈ X — произвольная его точка. Расстояния междуточками x и y будем обозначать через |xy|, а одноточечное пространство — через ∆1 .
Длякаждого ε >0 определим ε-окрестность Uε (x) точки x, положив Uε (x) = {y ∈ X : |xy| <ε}. Множество Uε (x) называют открытым шаром радиуса ε с центром в точке x. Крометого, если A — непустое подмножество пространства X, то ε-окрестность множества Aопределяется как Uε (A) = ∪a∈A Uε (a). Замкнутым шаром радиуса ε с центром в точке xназывают множество Bε (x) = {y ∈ X : |xy| ≤ ε}. Для x ∈ X и непустого A ⊂ X положим|xA| = inf{|xa| : a ∈ A}. Для непустого A ⊂ X и неотрицательного r (возможно, равного ∞)замкнутой r-окрестностью множества A или замкнутым шаром радиуса r с центром в Aназовем множество Br (A) = {x ∈ X : |xA| ≤ r}.Определение 2.1. Пусть X и Y — два непустых подмножества метрического пространства.Определим расстояние по Хаусдорфу: dH (X, Y ) = inf {ε > 0 | (Uε (X) ⊃ Y ) & (Uε (Y ) ⊃ X)} .Для произвольного метрического пространства X, обозначим через H(X) семейство всехего непустых замкнутых ограниченных подмножеств.Предложение 2.2 ([1]).
Пусть X — метрическое пространство, тогда dH является метрикой на H(X).Предложение 2.3 ([7]). Для любого метрического пространства X, каждого A ∈ H(X) илюбого неотрицательного r имеем Br (A) ∈ H(X).Определение 2.4 ([7]). Пусть W — произвольное метрическое пространство, a, b ∈ W , |ab| =r, s ∈ [0, r].
Будем говорить, что c ∈ W находится в s-положении между a и b, если |ac| = s и|cb| = r − s.Предложение 2.5 ([7]). Пусть X — произвольное метрическое пространство и A, B ∈H(X), r = dH (A, B), s ∈ [0, r]. Тогда если множество C ∈ H(X) находится в s-положениимежду A и B, то C ⊂ Bs (A) ∩ Br−s (B).Обозначение 2.6 ([7]). Множество Bs (A) ∩ Br−s (B) из предложения 5.5 будем обозначатьчерез Cs (A, B) или, если понятно, о каких A и B идет речь, то просто через Cs .Определение 2.7. Пусть X и Y — произвольные непустые компактные метрические пространства.
Тройку (X 0 , Y 0 , Z), состоящую из метрического пространства Z и двух его подмножеств X 0 и Y 0 , изометричных соответственно X и Y , назовем реализацией пары (X, Y ).Расстоянием dGH (X, Y ) по Громову–Хаусдорфу между X и Y назовем точную нижнюю граньчисел ρ, для которых существует реализация (X 0 , Y 0 , Z) пары (X, Y ) такая, что dH (X 0 , Y 0 ) ≤ ρ.Пусть M — пространство всех непустых метрических компактнов, рассматриваемых с точностью до изометрии, наделенное расстоянием Громова–Хаусдорфа. Хорошо известно [1], чтона M расстояние Громова–Хаусдорфа является метрикой.
Метрика на множестве X называется строго внутренней, если любые две точки x, y ∈ X соединяются кривой, длина которойравна расстоянию между x и y (такая кривая является кратчайшей). Пусть M — непустоеподмножество метрического пространства X с метрикой d, а dM = d — сужение метриMки d на множество M . Метрическое пространство (M, dM ) называется подпространствомпространства (X, d).2.
Основные определения и предварительные результаты5Теорема 1 ([7]). Пусть X — полное локально компактное пространство с внутренней метрикой. Тогда для любых A, B ∈ H(X), r = dH (A, B), s ∈ [0, r], множество Cs = Cs (A, B)принадлежит H(X) и находится в s-положении между A и B.Следствие 2.8 ([1]). Пусть X — полное локально компактное пространство с внутреннейметрикой (являющееся, как хорошо известно [1], ограниченно компактным со строго внутренней метрикой). Тогда H(X) — также ограниченно компактное, а метрика Хаусдорфа —строго внутренняя.Следствие 2.9 ([7]). Пусть X — полное локально компактное пространство с внутреннейметрикой, A, B ∈ H(X), и r = dH (A, B). Тогда γ(s) = Cs (A, B), s ∈ [a, b], является кратчайшей кривой, соединяющей A и B, причем длина кривой γ равна dH (A, B), а параметр s —натуральный.Определение 2.10. Подмножество M ⊂ X в метрическом пространстве (X, d) со строговнутренней метрикой называется выпуклым в слабом смысле, если сужение метрики d на M— также строго внутренняя метрика.Эквивалентное определение: непустое подмножество M метрического пространства X сострого внутренней метрикой выпукло в слабом смысле, если для любой пары точек из Mнекоторая соединяющая их кратчайшая в X целиком лежит в M .Определение 2.11.
Подмножество M метрического пространства X со строго внутреннейметрикой называется выпуклым в сильном смысле, если все кратчайшие в X, соединяющиеточки из M , лежат в M .Отношением между множествами X и Y называется каждое подмножество декартовапроизведения X × Y . Множество всех непустых отношений между X и Y обозначим черезP(X, Y ). Если πX : (X, Y ) → X и πY : (X, Y ) → Y — канонические проекции, т.е. πX (x, y) = xи πY (x, y) = y, то теми же символами будем обозначать ограничения этих отображений накаждое отношение σ ∈ P(X, Y ).Будем смотреть на каждое отношение σ ∈ P(X, Y ) как на многозначное отображение,которое может иметь область определения меньшую, чем X.
Тогда, по аналогии с тем, как этопринято для отображений, для каждого x ∈ X определен его образ σ(x) = {y ∈ Y |(x, y) ∈ σ};для каждого A ⊂ X определено σ(A) как объединение образов всех элементов из A; длякаждого y ∈ Y определен его прообраз σ −1 (y) = {x ∈ X|(x, y) ∈ σ}; для каждого B ⊂ Yопределен его прообраз как объединение прообразов всех его элементов.Определение 2.12. Отношение R ⊂ X × Y между множествами X и Y называется соответствием, если ограничения на R канонических проекций πX и πY сюръективны. Множествовсех соответствий между X и Y обозначим через R(X, Y ).Определение 2.13. Искажением dis σ отношения σ ∈ P(X, Y ) назовем следующее число:nodis σ = sup |xx0 | − |yy 0 | : (x, y), (x0 , y 0 ) ∈ σ .Предложение 2.14 ([1]). Для любых метрических пространств X и Y имеемdGH (X, Y ) =1inf {dis R : R ∈ R(X, Y )} .22.
Основные определения и предварительные результаты6Определение 2.15. Соответствие R ∈ R(X, Y ) назовем оптимальным, если dGH (X, Y ) =12 dis R. Множество всех оптимальных соответствий между X и Y обозначим через Ropt (X, Y ).Предложение 2.16 ([8]). Для любых X, Y ∈ M имеем Ropt (X, Y ) 6= ∅.Предложение 2.17 ([8]). Для любых X, Y ∈ M и каждого R ∈ Ropt (X, Y ) семействоRt , t ∈ [0, 1], компактных метрических пространств такое, что R0 = X, R1 = Y , а приt ∈ (0, 1) пространство Rt — это (R, ρt ), где ρt (x, y), (x0 , y 0 ) = (1 − t)xx0 + tyy 0 , являетсякратчайшей кривой в M, соединяющей X и Y .Определим диаметр метрического пространства X следующим образом:diam(X) = sup |xx0 |.x,x0 ∈XУтверждение 2.18 ([1]).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
