Выпуклость шара в пространстве Громова-Хаусдорфа (1162488), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Пусть ∆1 — одноточечное пространство, тогда для любого метрического пространства X имеем dGH (X, ∆1 ) = diam(X)/2.Определение 2.19. Будем говорить, что конечное метрическое пространство M находитсяв общем положении или является пространством общего положения, если все ненулевыерасстояния в M различны и все неравенства треугольника для троек, состоящих из различныхточек, — строгие.Для произвольного метрического пространства X определим величины:nos(X) = inf{|xy| : x 6= y}, e(X) = inf |xy| − |zw| : x 6= y, z 6= w, {x, y} =6 {z, w} .Предложение 2.20 ([6]).
Пусть M = {1, . . . , n} — некоторое метрическое пространство.Тогда для любого 0 < ε ≤ s(M )/2 и каждого X ∈ M такого, что 2dGH (M, X) < ε, существует единственное, с точностью до нумерации точками пространства M , разбиениеX = tni=1 Xi , обладающее следующими свойствами:(1) diam Xi < ε;0(2) для любых i, j ∈ M и любых x ∈ Xi и x ∈ Xj (здесь индексы i и j могут быть равны 0друг другу) выполняется |xx | − |ij| < ε.Предложение 2.21 ([6]). Пусть M = {1, . . . , n} — некоторое метрическое пространство.Тогда для любого 0 < ε ≤ s(M )/2, каждого X ∈ M, 2dGH (M, X) < ε, и каждого R ∈Ropt (M, X) семейство {R(i)}ni=1 является разбиением множества X, причем имеют местоследующие свойства:(1) diam Xi < ε;(2) для любых i, j ∈ M , x ∈ R(i), x0 ∈ R(j) выполняется |xx0 | − |ij| < ε.Более того, если R0 — еще одно оптимальное соответствие между M и X, то разбиения{R(i)}ni=1 и {R0 (i)}ni=1 могут отличаться друг от друга лишь нумерациями, заданными соответствиями i 7→ R(i) и i 7→ R0 (i).3.
Основные результаты7Определение 2.22 ([6]). Семейство {Xi } из предложения 2.20 назовем каноническим разбиением пространства X относительно M .Предложение 2.23 ([6]). Пусть M = {1, . . . , n} — метрическое пространство, n ≥ 3,e(M ) > 0. Выберем произвольное 0 < ε ≤ 14 min{s(M ), e(M )}, любые X, Y ∈ M, 2dGH (M, X) <ε, 2dGH (M, Y ) < ε, и пусть {Xi } и {Yi } обозначают канонические разбиения соответственно X и Y относительно M .
Тогда для каждого R ∈ Ropt (X, Y ) существуют Ri ∈ R(Xi , Yi )такие, что R = tni=1 Ri .3Основные результатыТеорема 2. Шар с центром в одноточечном метрическом пространстве — выпуклый вслабом смысле.Доказательство. Пусть B = Br (∆1 ) — замкнутый шар с центром в ∆1 , где r > 0, и X, Y ∈ B.Используя утверждение 2.18, заметим, чтоdGH (∆1 , X) = diam(X)/2 ≤ r, dGH (∆1 , Y ) = diam(Y )/2 ≤ r.Выберем некоторое соответствие R ∈ Ropt (X, Y ), которое существует в силу предложения2.16. Построим пространство Rt = (R, ρt ) с метрикой ρt (x, y), (x0 , y 0 ) = (1 − t)xx0 + tyy 0 при t ∈ (0, 1), и пусть R0 = X, R1 = Y . Тогда, по предложению 2.17, кривая Rt , t ∈ [0, 1],соединяющая X и Y , — кратчайшая.Покажем, что кривая Rt лежит в шаре B. Для этого оценим расстояние по Громову–Хаусдорфумежду центром ∆1 и пространством Rt .
ИмеемdGH (∆1 , Rt ) = diam(Rt )/2.Для любых x, x0 ∈ X и y, y 0 ∈ Y выполняется|xx0 | ≤ diam X ≤ max(diam X, diam Y ); |yy 0 | ≤ diam Y ≤ max(diam X, diam Y ).Следовательно,diam(Rt ) = max |(x, y)(x0 , y 0 )|ρt = max (1 − t)|xx0 | + t|yy 0 | ≤≤ (1 − t) max(diam X, diam Y ) + t max(diam X, diam Y ) = max(diam X, diam Y ),откуда dGH (∆1 , Rt ) ≤бовалось.12max(diam X, diam Y ) = max dGH (∆1 , X), dGH (∆1 , Y ) ≤ r, что и тре-Теорема 3.
Шар с центром в одноточечном пространстве не выпуклый в сильном смысле.Доказательство. Для того, чтобы доказать эту теорему, построим кратчайшую, соединяющую некоторые пространства A и B, принадлежащие шару Br (∆1 ) ⊂ M радиуса r с центром∆1 , которая выйдет за шар. Пусть A = [0, 2r] ⊂ R и B = {0, 2r} ⊂ R. Рассмотрим произвольноесоответствие R ∈ Ropt (B, A) (оно существует по предложению 2.16) и оценим его:3.
Основные результаты8nodis R = sup |aa0 | : a, a0 ∈ R(0); |aa0 | : a, a0 ∈ R(2r); 2r − |aa0 | : a ∈ R(0), a0 ∈ R(2r) =no= sup diam R(0), diam R(2r), 2r − |aa0 | : a ∈ R(0), a0 ∈ R(2r) ≤ 2r.1) Если R(0) ∩ R(2r) 6= ∅, то выбрав a = a0 ∈ R(0) ∩ R(2r), получим, что dis R = 2r.2) Если R(0) ∩ R(2r) = ∅, то для всякого ε > 0 существует a ∈ R(0), a0 ∈ R(2r) такие, что|aa0 | < ε, значит, dis R = 2r.Тогда, по предложению 2.14, имеем dGH (A, B) = r. Отметим, что dH (A, B) = r, следовательноdGH (A, B) = dH (A, B).
Для t ∈ [0, r] положим γ(t) = Ct (A, B) = Bt (A) ∩ Br−t (B). Применяяследствие 2.9, видим, что γ(t) — кратчайшая кривая в H(R).Также для любого разбиения t0 = 0 < t1 < · · · < tn = r отрезка [0, r] имеемdGH (A, B) ≤nXdGH (γ(ti−1 ), γ(ti )) ≤i=1nXdH (γ(ti−1 ), γ(ti )) = dH (A, B) = dGH (A, B),i=1откудаdGH (A, B) =nXdGH (γ(ti−1 ), γ(ti )).i=1PnТак как длина кривой γ равна супремуму сумм i=1 dGH (γ(ti−1 ), γ(ti )) по всевозможным разбиениям отрезка [0, r], а все эти сумму одинаковы и равны dGH (A, B), то длина кривой γ равнаdGH (A, B), поэтому γ — кратчайшая кривая.Покажем, что эта кривая не лежит целиком в шаре Br (∆1 ).
Для этого найдем dGH (Ct (A, B), ∆1 ).По утверждению 2.18, dGH (Ct (A, B), ∆1 ) = diam(C2t (A,B)) . Заметим, что при t = 2r имеемdiam(C r2 (A, B)) = 3r, поэтому dGH (Cr/2 (A, B), ∆1 ) = 3r/2 > r, откуда γ(r/2) 6∈ Br (∆1 ), что итребовалось.Теорема 4. Шар радиуса 0 < ε/2 ≤ 41 min{s(M ), e(M )} с центром в пространстве общегоположения M выпуклый в слабом смысле.Доказательство. Пусть M = {1, . .
. , n}. Обозначим через Bε/2 (M ) ⊂ M замкнутый шаррадиуса ε/2 и выберем произвольные X, Y ∈ Bε/2 (M ). По предложению 2.20, существуютединственные, с точностью до нумерации точками пространства M , разбиения X = tni=1 Xi иY = tni=1 Yi , обладающиеследующими свойствами: для всяких xi ∈ Xi , xj ∈ Xj , yi ∈ Yi , yj ∈ Yjвыполняется |xi xj | − |ij| < ε и |yi yj | − |ij| < ε. Тогда |ij| − ε < |xi xj | < |ij| + ε и|ij| − ε < |yi yj | < |ij| + ε. По предложению 2.23, для каждого R ∈ Ropt (X, Y ) существуютRi ∈ R(Xi , Yi ) такие, что R = tni=1 Ri .
Рассмотрим произвольное соответствие R ∈ Ropt (X, Y )(по предложению 2.16, оно существует).Построим кратчайшую кривую Rt , определенную, как в предложении 2.17. Чтобы доказатьвыпуклость в слабом смысле, покажем, что dGH (M, Rt ) ≤ ε/2. Для этого определим соответствие R0 ∈ R(M, Rt ), положив R0 = tni=1 {i} × Ri . Имеем:no11dis R0 =sup |ij| − |pi pj |t : i, j ∈ M, (i, pi ), (j, pj ) ∈ R0 =22no1= sup |ij| − (1 − t)|xi xj | − t|yi yj | : i, j ∈ M, (xi , yi ) = pi ∈ Ri , (xj , yj ) = pj ∈ Rj =2dGH (M, Rt ) ≤3. Основные результатыno1sup (1 − t)|ij| + t|ij| − (1 − t)|xi xj | − t|yi yj | =2no1= sup (1 − t)(|ij| − |xi xj |) + t(|ij| − |yi yj |) ≤2nno 1o 111ε≤ (1 − t) sup |ij| − |xi xj | + t sup |ij| − |yi yj | ≤ (1 − t)ε + tε = ,22222что и требовалось.=93.
Основные результаты410Список литературыСписок литературы[1] Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск,Институт компьютерных исследований, 2004.[2] Ivanov A.O., Nikolaeva N.K., Tuzhilin A.A. The Gromov-Hausdorff Metric on the Space ofCompact Metric Spaces is Strictly Intrinsic. ArXiv e-prints, arXiv:1504.03830, 2015.[3] Сосов Е.Н. Введение в метрическую геометрию и ее приложения. Казанский Государственный Университет, 2015.[4] Iliadis S., Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Local Structure of Gromov-Hausdorff Space, and IsometricEmbeddings of Finite Metric Spaces into this Space.
ArXiv e-prints, arXiv:1604.07615, 2016.[5] Steven Schlicker. The Geometry of the Hausdorff Metric. Grand Valley State University,Allendale, MI, GVSU REU 2010.[6] Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Local Structure of Gromov-Hausdorff Space near Finite MetricSpaces in General Position. ArXiv e-prints, arXiv:1611.04484, 2016.[7] http://dfgm.math.msu.su/files/ivanov-tuzhilin/2016-2017/METRGEOM2016-05.pdf[8] Ivanov A.O., Iliadis S., Tuzhilin A.A.Realizations of Gromov-Hausdorff Distance. ArXiv e-prints,arXiv:1603.08850, 2016..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
