Некоторые решения коллоквиума (1161708)
Текст из файла
Так завтра коллоквиум будет послелекции??? Кто решал задачи! Язаметил, что они из какого - тосборника, может уже есть готовыерешения???ААААЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕЕ!!!!!!!!!!Господа, давайте резко заботаем задачки, сдадим коллок и будем такие клевыефизики? Да, понятно, что кванты халва и все их всегда сдают, но колком ведь круче же.Коллоквиум будет в понедельник в 18 часов.Важно, что кроме собственно решенных задачек с нас потребуют их защитить. Тоесть, было бы круто, если бы в решениях задач расписывался каждый переход (или хотябы давался список теорем/утверждений/etc, использованных при решении)Господа, где пройдет коллоквиум, подскажитеплиз :)В шестьсот-какой-то =) В 526 б.
хм, то есть у нас нафаке? о_О не на физфаке? круто. на физфаке всё оченьпроблемно со свободными аудиториями, а у нас как раз эконом уехал..Ссылка на лекции(Вопрос: есть ли конспекты лекции 2011, там же вроде они нужны.. у мя как бы естьсканер, если у кого нить есть, то можно отксканить и выложить где-нить...?!?!!?!?!?!)Если кто подскажет, как копировать формулки из пдф-ки сюда - будет няшей.Пара слов о том, как набирать здесь формулы: Insert - formula - и дальше пишемTeX’ом, с тем лишь отличием, что после тaеховских команд типа \psi, \frac нужно ставитьпробел, чтобы эта команда преобразовалась в то, что нужно. Фигурные скобочки ненужны. Чтобы перестать набирать над/подстрочные символы надо нажать “вправо”.Крышечки над буквами ставятся как \hat. Ĥ , деление - \fracab, корень - \sqrt √x ,надстрочные индексы - ^, подстрочные - _ x3 2 .
Буковки - \psi, \phi, \Delta, \partial ψ , ϕ, Δ, ∂большими,оказывается нужноЧтобы формулы были нормальными и переключить размер шрифта на бОльший до н ачала набора оной формулы. Жаль, что явыяснил это только под конец... С другой стороны, есть такое ощущение, чторазноразмерные формулы приводят к нестабильной работе в Опере.Так, я всё понял. Опера - говно. Не используйте Оперу для гуглодоков, товарищи.Коллоквиум 2011В одномерном случае (для электрона. Но это же не принципиально, правда?)волновая функция имеет вид ψ (x, t) = Aei(kx − ωt) , где A - некоторая константа, k - грубоговоря, скорость распространения волны, соответствующей частице (k = p/h), а w частота (частота чего? волны вероятности, вроде).
(i spin all)Соответственно, в трёхмерном случае тупо заменяем x на радиус-вектор r.Получаем ψ (r, t) = Aei(kr − ωt) , где под kr понимается скалярное произведение этихвекторов.Нам хотелось бы, чтобы вероятность обнаружить частицу в кубике (то есть интегралпо объёму кубика квадрата модуля волновой функции) была бы равна единице.
Номодуль волновой функции всюду равен A (ибо k,r,w,t - все вещественны), следовательно,если A = 1 3 , то всё что надо выполняется.√LНо возникает резонный вопрос: какого хрена вероятность обнаружить частицу хотьгде-нибудьоказывается равна бесконечности, какую бы константу A мы ни подбирали??Мой вариант ответа: вне этого пространства ( L3 ) вероятность обнаружить частицусчитаем равной нулю. Что-то типа поетнциальной ямы, только похитрее, ибораспределение получается равномерно размазанным по всему объёму.
И на границахестественно должно происходить сшивание с 0, но эти эффекты мы тоже считаемпренебрежимо малыми.Ответ (видимо) кроется в том, что при фиксированном значении импульса (аследовательно, и величины k), мы не можем ничего сказать о местоположении частицы. Аесли же импульс задан неточно, то внезапно константа A начинает зависеть от этогоsin yсамого импульса A=A(k), и получается что-то типа ψ (x, t) = y A0 ei(kx − ωt) , гдеy = 21 (Δk − v 0 t) , Δk -разброс величины k (которая, как мы уже выяснили, должна бытьопределена неточно). И тогда вроде как всё более-менее нормально получается.
Хотявсё равно как-то стрёмно. Как и все кванты.∂p̂x =− ih ∂x. p̂ =− ih∇− [A, B ] = AB − BA .x = x.Не забываем о том, что всё это - операторы. (kormi)1.2.1∂ψ[x, px ]ψ = (xpx − px x)ψ = − ih(x ∂x −∂(xψ)∂x )∂ψ∂ψ= − ih(x ∂x − x ∂x − ψ ∂x∂x ) == (ih)ψ ⇒ [x, px ] = ih1.2.2∂ψ∂xψ∂ψ∂ψ[x, pˆ z ]ψ = (xpz − p z x)ψ = − ih(x ∂z − ∂z x) = ih(x ∂z − x ∂z − ψ ∂x∂z ) =ˆ=− ih(ψ ∂x∂z ) = − ih · 0 = 0 ⇒ [x, pz ] = 0p2Гамильтониан H (p, r, t) = K(p, t) + U (r, t) = 2 m + U (r, t)2Оператор Гамильтона ( p → p̂ ): Ĥ = Kˆ + Û = − h Δ + Û .2m(опять-таки, не стоит забывать, что это оператор и применяется он к волновойфункции)Внимание вопрос:что есть оператор Û ? Как он действует на волновую функцию?Просто умножает её на потенциальную энергию U , т.е. Û ψ = U ψ ?a) В случае свободной частицы U =0.b) одномерное движениеU (x, t) = ψ * k x2 /2H (p, x, t) =22∂pˆ = p̂x =− ih ∂x∂ , pˆ =− h2 ∂x2p = px ,px 22m+ ψ * k x2 /22Û = kxˆ /2Ĥ =−h2 ∂ 22m ∂x2(Не забываем, что x̂ - тоже оператор.
x̂ψ = xψ ).c) см. выше.2+ kˆx /2p2H (p, r) = K(p) + U (r) = 2 m + U (r)2Ĥ = Kˆ + Û = − h Δ + Û .2mЗдесь неправильно, энергия должна быть с плюсом. Почему? Не обязательно же. Вконце концов мы можем отнормровать U (ибо она определена с точностью до константы),так чтобы энергия была положительна. Или тут что-то другое имеется в виду?ˆ x]ψ = (Hˆ xˆ − xH)ψ[H,ˆ ˆ = (−a)=−h22m (Δ(xψ)− xΔψ) =−h22m (0∂ψh22m Δ(xψ)h2+ Û xψ − (− x 2mΔψ + xUˆ ψ)) =+ 2 ∂x + xΔψ − xΔψ) = −h2 ∂m ∂x ψ=− ihˆ x , чтд.mpb) примерно столь же очевидноˆ p̂x ]ψ = (Hpˆ ˆ x − p̂x H)ψˆ =− h2 Δ(− ih ∂ψ ) − Û ih ∂ψ − ih ∂ h2 Δψ +[H,2m∂x∂x∂x 2m33∂ψ∂ψ∂ ˆ∂∂+ ih ∂xU ψ = ih2m Δ ∂x − ih2m ∂xΔψ − Û ih ∂x + Û ih ∂xψ + ψ ih ∂Û∂x ==3ih3 ∂ ψ(2m ∂x3−∂3ψ)∂x3∂Û∂Ûˆ+ ψ ih ∂Û∂x = ψ ih ∂x ⇒ [H, p̂x ] = ih ∂x, чтд.5.
Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме сбесконечно высокими стенками. Ширина ямы равна а = 4*10^-10 м. Найдите:а) с помощью соотношения неопределенностей минимально возможнуюэнергию;б) энергетический спектр электрона;в) число энергетических уровней в интервале (E;E + dE).a) Соотношение неопределённостей Δpx · Δx ≥ 2h . Так как у нас Δx ≤ a , то Δpx ≥hдальше всё как-то не очень очевидно. Можно ли сказать, что p0 = min max ||px || = 2a,апоэтому E = K + U ≥ K ≥p0 22m=h8a*a*mh2a.А? Или это совсем стрёмно? И чему в таком случаеравна масса электрона? (нам же нужно в качестве ответа дать какое-то число,правильно?)Думаю, тут надо так.
ΔpΔx = h/2 , Δx = a, Δp = p Тогда ap = h/2, p = h/2a Далее,E=p22m=h28ma2Ну вот и получили примерно. Там вроде ещё π возникает где-то (откудаинфа? инфа от друга, который физик. Ок, верю.)но по крайней мере оценили. Ну по сути,это то же самое, что написано чуток выше. И ответ тот же, хехе. Тем лучше!кг — масса электрона.Дж·cE = 06,037396978021978 * 10^-17 Дж(Вики)b)Какие-то кривые лекции, поэтому я просто перепишу своими словами, ладно?По-хорошему, что надо сделать? Взять уравнение Шрёдингера Ĥ ψ = E ψ . Найти егорешения.
(функции ψ и соответствующие величины E . E имеет смысл энергии).Посмотреть, чтобы выполнялись граничные условия. Искомая волновая функция - естьвзвешенная комбинация полученных собственных функций.Итак,Ĥ ψ = 0 ⇒−Положим k 2 =h2 ∂ 22m ∂x2ψ = E ψ ⇒ {ОДУ} ⇒ ψ = A1 eikx + A2 e−ikx .Тогда дифур примет вид ψ ′′ = − k 2 ψ Решением этого диффура2mEh2является простая функция ψ = C 1 sin(kx) + C 2 cos(kx) или просто со одна функция сосмещением периода ψ = A sin(k(x − ϕ)) Так, теперь надо записать граничные условия напотенциальную яму.
Координату левого кончика-конеца будем считать равным 0, правогоa. На границах ямы функция должна быть непрерывной и обращаться в 0. Поэтомуsin(k(a − ϕ)) = 0 и sin(− k ϕ) = 0 Ну и, например, взяв ϕ = a получим, чтоk =πna ,k2 =π 2 n2a2или E =h2 π 2 n22ma2Ну вроде как-то так, мой ответ отличается слегка от ответаниже на смещение похоже.Потом мы почему-то говорим, что “в силу симметричности ямы, ||A1 || = ||A2 || ”. Это неочень очевидно, но допустим, что это так. Будем даже считать, что A1 =− A2 , хотя этотоже неочевидно.
Тогда ψ (x) = cos k x или ψ (x) = sin k x . Пусть, для определённостикосинус. Тогда из граничных условий ψ (± a/2) = cos(ka/2) = 0 . Отсюдаk a/2 = π /2 + π n ⇒ k = 2 * π (n + 1/2)/a , где n может принимать всевозможныецелочисленные значения. Отсюда соответствующие собственные значения уравненияШрёддингера равны E n=−2h2 ∂ ψ2m ∂x2 /ψ=h22mk2 =h2 2*π(n+1/2) 2) Вроде как это и есть2m (aискомый энергетический спектр.Уважаемый, объясните! Почему “для определенности” косинус?В лекциях сказано, что в силу симметричности модули равны, а вот знаки могут бытькак одинаковыми, так и противоположными. Соответственно, может получиться либосинус, либо косинус. Наверное, стоит посчитать для обоих случаев? Не бейте меня,есличо, я ничего в этой фигне не понимаю.Надо оба рассматривать.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
