Некоторые решения коллоквиума (1161708), страница 2
Текст из файла (страница 2)
От этого проще становится выражение. И это правильно.btw, в Сивухине ровно эта задача разобрана (правда там опечаточка -- h^2 должнобыть). А так все Ок. На странице 142.c)у нас есть E n =h2 π(n+1/2) 2)2m (a. Отсюда можно выразить количество этих самых E_n винтервале [E, E + dE] .
Если бы мы нашли обратную функцию n(E) , то ответ легко бызаписался как число энергетических уровней = n(E + dE) − n(E) . А обратная функция легковыражается как n± (E) = ±1π√2mEh2− 1/2 . Отсюда получаем ответчисло уровней = n+ (E + dE) − n+ (E) . Можно было бы подумать, что это дело надоумножить ещё на два, потому что исходная функция неоднозначна, и каждому значению Eсоответствует два значения эн. Но нет, это не так. Потому что нас интересует числосамих уровней, а не квантовых чисел, им отвечающих.a) ψ 1 = A cos(kx)ψ 2 = B sin(kx)Нормируем.a/2∫A2 cos2 (kx) dx = 1 = {cos2 a = (1 + cos(2a))/2} = A2 (a/2 + sin(k)/(2k))−a/21A =√1/2(1 + sin(k)/2k)Для второй функции аналогично.Так не очень понял, почему там именно такой косинус и вообще 2 функциивзялись...
Я думаю, так надо. Из предыдущей задачи мы поняли, чтоψ = A sin(k(x − a)) . И интеграл этой штуки по нашей яме должен быть равенединицы. Техника интегрирования думаю подходит из решения выше.Косинус из лекций какого - то года. А без смещения потому что я взял двефункции, а не одну.b) Из 1.5(а) имеем E min =K =a/4∫√2mEh2=√14aahh8aam= 1/2aA2 cos2 (kx) - вероятность нахождения.
Дальше подставляем k и A(из 1.6(a)) и−a/4наслаждаемся.с) Ищем среднее значение как матожидание.(Δx)2 =a/2∫x2 A2 cos2 (kx) dx−a/2А вновь берём из 1.6(а) и наслаждаемся ещё интегрированием.Ответ у меня похож наsin(ak) a2a cos(ak)A2 a31)2 ( 12 +2k ( 2 − 2k 3 ) +4k 2Теперь (Δpx )2Хитрая мысль в том, что pсреднее = 0 . Можно непосредственно проверить. ( pψ функция антисимметричная, |ψ |2 -симметричная, их произведение антисимметрично,следовательно интеграл в симметричных пределах =0)Осталось тогда посчитать такой замечательный интегралa/2∫−a/2(− ihdψ 2dx)ψ 2 dxЕщё чуток интегрирования.Кстати, насчёт -ih тоже не уверен.Что есть оператор дипольного момента?? Что-то типа d̂E = dE , где E - величинаполя, а d - значение, собственно, дипольного момента??Что есть двухуровневый атом?? Где о нём можно прочитать??Я чуть привычней обозначу.
Пси - это фи из условия. Значит это соответсвиеψ 1 − E 1 , ψ 2 − E 2 выльется в то, что у нас есть гамильтониан без поля H 0 ψ i = E i ψ i Тоесть, для него эти E 1 и E 2 просто собственные значения. Как бы тут матрицу записать-то...H 0 = (E 1 0) (0E 2 ) Это матрица 2 на 2 построчно, кто-нибудь переделайте её внормальную, если поймёте, как. А поле вносит вклад D = − εdˆ И можно записатьматрицу этого вклада D тоже 2 на 2, которая считается, как V ij =∫ ψi * DψidV Далеенужно просто сложить старый H 0 с добавочным D и получить матрицу 2 на 2, у которойможно найти собственные значения, которые и будут собственными уровнями энергии вполе и отвечающие им собственные функции, которые будут соответствовать этимуровням энергии.a)Что это за стрёмные минусы у коммутаторов?? Как мне сказали, в данном случаеих можно просто опустить. Типа бывает ещё антикоммутатор и он там по-другомуобозначается.
А тут именно просто коммутатор.б)потому что для того, чтобы определить L, нужно определить все три величиныL_x, L_y и L_z. А никакие две из них одновременно не определяются, потому что ихкоммутатор отличен от нуля! (две величины можно одновременно измерить тогда итолько тогда, когда у них нулевой коммутатор. Не знаю, почему это так, наверняка опятькакой-нибудь постулат.)это следствие принципа неопределённостиk Гейзенберга http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%82_%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%81%D0%B0#.D0.9E.D0.BF.D0.B5.D1.80.D0.B0.D1.82.D0.BE.D1.80_.D0.BC.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B0(А как это противоречит зачёркнутому?)Окей, почти никакв)а вот это уже считается.
Коммутатор (вроде) получается нулевой. Физическийсмысл тогда в том, что можно локализовать проекцию момента импульса на окружности вплоскости Oxy, и это прикольно. Да, это так, потому что коммутируют такие величины, укоторых одинаковый спектр, отчего и измерять их можно одновременно.Ещё можно добавить, что раз он 0, то они получаются совместными и их можнонайти точно одновременно.a) 1 =2π2π00∫ (A sin ϕ)2 dϕ = ∫0.5 A2 (1 − cos 2ϕ)dϕ = π A2 ⇒ A = 1/√π ’ϕˉ = π в силу симметричности. ?????? Если честно посчитать, то и правдаполучается ϕˉ = π 2 ...2π∫0ϕsin2 ϕ dϕ = ϕ2 /4|02π2π− ( ∫ 0.5ϕ cos 2ϕ dϕ) = π 2 − 0.25ϕ sin 2ϕ|02π0же неправда! Это не должно быть так!! Что делать???? множитель pi^{-1}. Спасибо.222π2< (Δϕ) >=< (ϕ − π ) >= A2 ∫ ((ϕ − π ) sin ϕ) dϕ = A20= {по частям} = . .
. = {по частям} = . . . = . . . =π∫+ 0.25 cos 2ϕ|02π= π 2 ... Но этоДомножать на нормирующийϕ2 (1 − cos 2ϕ)/2 dϕ =−π2 3A (π /3− 2π)Здесь последнее слагаемое по-моему Pi/2 а не 2*Pi. Да, пожалуй.&&(((Будем считать, что угол \phi лежит в плоскости Oxz. Тогдаx = r cos ϕ, y = r sin ϕ . Тогда(это правда??)∂Тогда ∂xA sin ϕ =∂ϕ∂x∂x= 1/( ∂ϕ) = 1/(∂ϕ ∂∂x ∂ϕ A sin ϕ∂(r cos ϕ))∂ϕ= 1/(− r sin ϕ) = 1/(− y ) =− 1/y .= − 1/y · (− A cos ϕ) =Axyr, где r = √x2 + y 2 .Аналогично∂ϕ∂x= 1/x и∂∂y A sin ϕ= A/r .∂L̂z ψ =− ih(x ∂y∂ − y ∂x) = ??? Я не хочу дифференцировать∂1∂y y √x2 +y 2!!Здесь всё просто, смотрите как выглядит Lz в сферич. координатах И как же?∂L̂z =− ih ∂ϕи там всё действительно просто получается.Смотри сивухинаФормулы там выписаны.б)???? Вроде надо просто произвести замену переменных и получить из верхнеговыражения нижнее.Смотрите Сивухина 5 том стр.
151.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
