В.П. Носко - Эконометрика для начинающих (1160539), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Проблема только в том,что используемое в процессе преобразования модели значениекоэффициента ρ нам не известно. Поэтому реально провестиуказанное преобразование невозможно. Вместо этого можнопытаться заменить указаное преобразование какой-либо егоаппроксимацией с заменой неизвестного значения ρ на егооценку по данным наблюдений.
Конечно, при использованиитакой аппроксимации мы уже не можем гарантировать, что49i −1).ε ′2 ,K , ε n′ в преобразованной модели будут независимыми всовокупности случайными величинами, однако есть некотораянадежда на то, что эти ошибки все же будут обнаруживатьменьшую автокоррелированность по сравнению с ошибками висходной модели.ОписываемаяздесьпроцедураКохрейна-Оркаттаиспользует для получения аппроксимации теоретическогопреобразования оценку для ρ в видеnr = ∑ ei ei −1i =2n∑ei =22i −1,где e1 ,K , en — остатки, получаемые при оцениванииисходноймоделинаблюдений.Аппроксимирующеепреобразование определяется соотношениямиyi∗ = yi − r yi −1 ,xi∗,1 = xi ,1 − r xi −1, 1 , K , xi∗, p = xi , p − r xi −1, p ,ε= ε i − rε i −1 ,которые приводят к преобразованной моделиyi∗ = θ 1 xi∗,1 +K+θ p xi∗, p + ε ∗i , i = 2,K , n.∗iЕсли в последней модели автокоррелированность непроявляется, то полученные в рамках этой модели оценкипараметров θ$ 1 ,K , θ$ p можно принять в качестве уточненныхоценок параметров θ 1 ,K , θ p .
Если же в преобразованноймодели еще остается выраженная автокоррелированность, топроцесс преобразования применяют уже к преобразованноймодели и еще раз уточняют значения параметров и т.д., покапоследовательно уточняемые значения параметров неперестанут изменяться в пределах заданной точности.50Заметим, наконец, чточто xi 1 ≡ 1 . Соответственно,переменной получаемxi∗,1 = xi ,1 − r xi −1,1 = 1 − r ,обычно мыдля первойпредполагаем,объясняющейтак что фактически мы имеем преобразованную модельyi∗ = α ∗ + θ 2 xi∗,2 K+θ p xi∗, p + ε ∗i , i = 2,K , n,с α ∗ = θ 1 (1 − r ) .
Получив в этой модели оценку α$∗дляα ∗ , мы можем оценить параметр θ 1 исходной модели, простополагаяθ$ 1 = α$ ∗ (1 − r ) .Пример. Проанализируем статистические данные осовокупных потребительских расходах (CONS) и денежноймассе (MONEY) в США за 1952—1956 г.
г. (квартальныеданные, в млрд. долларов).obs1952:11952:21952:31952:41953:11953:21953:31953:41954:11954:2MONEY159.3161.2162.8164.6165.9167.9168.3169.7170.5171.6CONS214.6217.7219.6227.2230.9233.3234.1232.3233.7236.5obs1954:31954:41955:11955:21955:31955:41956:11956:21956:31956:4MONEY173.9176.1178.0179.1180.2181.2181.6182.5183.3184.3CONS238.7243.2249.4254.3260.9263.3265.6268.2270.4275.6Результаты оценивания линейной модели наблюденийyi = α + β xi + ε i , i = 1,K ,20,в которой yi — значения объясняемой переменной CONS,а xi - значения объясняющей переменной MONEY, приведеныв следующей таблице:51VariableCoefficient Std.
Errort-StatisticProb.1X–154.7192.30019.8500.114-7.79420.0800.00000.0000R-squared0.957Durbin-Watson stat0.328Хотя коэффициент детерминации весьма близок кединице, значение статистики Дарбина-Уотсона достаточномало, и это дает возможность подозревать наличиеположительной автокоррелированности ошибок в принятоймодели наблюдений. Два следующих графика даютпредставление о рассеянии значений переменных и оповедении остатков.28082606CONS420-2240220-4-6-852:1 52:3 53:1 53:3 54:1 54:3 55:1 55:3 56:1 56:3CONS Residuals200150160170180190MONEYЗдесь наблюдаются серии остатков, имеющих одинаковыезнаки, что как раз и характерно для моделей, в которыхимеется положительная автокоррелированность ошибок.ДляподтвержденияположительнойавтокоррелированностиошибокиспользуемкритерийДарбина-Уотсона.
По таблицам находим нижнюю границу длякритического значения d 0.05 при n = 20 : d L,0.05 = 1.20 .Полученное при оценивании модели значение DW = 0.328существенно меньше этой нижней границы, так что гипотеза52H 0 : ρ = 0 отвергается в пользу альтернативной гипотезыДлякоррекциистатистическихвыводовH A: ρ > 0 .используем процедуру Кохрейна-Оркатта.Прежде всего находим оценку для неизвестного значенияnкоэффициента ρ : r = ∑ ei ei −1i =2n∑ei =22i −1= 0.874 . Основываясь наэтой оценке, переходим к преобразованнойоценивание которой дает следующие результаты:модели,Included observations: 19 after adjusting endpointsVariableCoefficient Std. Errort-StatisticProb.1X’-30.7772.79514.0430.609-2.1924.5930.04260.0003R-squared0.554Durbin-Watson stat1.667Хотявпреобразованноймоделикоэффициентдетерминации существенно ниже, чем в непреобразованноймодели, значение статистики Дарбина-Уотсона теперьпревышает верхнюю границудля критического значенияd 0.05 , соответствующего n = 19 .
(В преобразованной моделинаблюдений на единицу меньше, чем в исходной, так как припреобразовании используются запаздывающие значения обеихпеременных). Поэтому гипотеза о независимости всовокупности ошибок в преобразованной модели неотвергается (в пользу гипотезы об их положительнойавтокоррелированности). Два следующих графика даютпредставление о рассеянии значений преобразованныхпеременных и о поведении остатков в преобразованноймодели.53CONS_TRANSFORMED40420-2353025-421-652:1 52:3 53:1 53:3 54:1 54:3 55:1 55:3 56:1 56:322232425MONEY_TRANSFORMEDRESID: TRANSFORMED MODELОбратим внимание на существенно более нерегулярноеповедение остатков по сравнению с исходной моделью.Обращаясь к результатам оценивания коэффициентов впреобразованной модели, отметим значительное (более, чем в5 раз!) возрастание оценки стандартной ошибки sβ$ , чтоподтверждает сделанное ранее замечание о занижениистандартныхошибокпринеучетеимеющейсявдействительности положительной автокорреляции случайныхошибок в модели наблюдений.
Столь существенноевозрастание значения sβ$ приводит к возрастанию более, чем в5 раз,ишириныдоверительногоинтерваладлямультипликатора β . Если при оценивании исходной линейноймодели 95%-доверительный интервал для этого параметраимелвид2.058 < β < 2.542 ,топриоцениваниипреобразованноймоделимыполучаеминтервал1516.< β < 4.074 .54Рассмотренный пример ясно демонстрирует опасностьпренебрежения возможной неадекватностью построенноймодели в отношении стандартных предположений об ошибкахи необходимость обязательного проведения в процессеподбора подходящей модели связи между теми или инымиэкономическими факторами анализа остатков, полученных приоценивании выбранной модели.Более того, используя преобразованную модель, можнополучить улучшенную модель для прогнозирования объемоврасходов на потребление при планируемых объемах денежноймассы. Поясним это на примере простой линейной моделиyi = α + β xi + ε i , i = 1,K , n.Предполагая, что ε i − ρ ε i −1 = δ i , i = 2,K , n, и используяоценку r для коэффициента ρ , переходим к преобразованноймоделиyi∗ = α ∗ + β xi∗ + ε ∗i , i = 2,K , n,cyi∗ = yi − r yi −1 , xi∗ = ( xi − r xi −1 ) , i = 2,K , n,иα = α (1 − r ),∗и получаем в рамках этой модели оценки α$ ∗ и β$параметров α ∗ и β , так что оцененная модель линейной связимежду преобразованными переменными имеет видy$i∗ = α$ ∗ + β$ xi∗ , i = 2,K , n.В исходных переменных последние соотношенияпринимают видy$i − r yi −1 = α$ (1 − r ) + β$ ( xi − r xi −1 ) , i = 2,K , n,где α$ = α$ ∗ (1 − r ) , откуда получаем:()y$i = α$ + β$ xi + r yi −1 − α$ − β$ xi −1 , i = 2,K , n.55Если мы собираемся теперь прогнозировать будущеезначение yn +1 , соответствующее плановому значению x n +1объясняющей переменной, то естественно воспользоватьсяполученным соотношением и предложить в качествепрогнозного для yn +1 значениеy$= α$ + β$ x+ r y − α$ − β$ x .n +1n +1(nn)При таком способе вычисления прогнозного значения дляyn +1 учитывается тенденция сохранения знака остатков: если впоследнем наблюдении наблюдавшееся значениеynпревышало значение α$ + β$ x , предсказываемое линейнойnмоделью связи y = α$ + β$ x , то и последующее значениепрогнозируется с превышением значения α$ + β$ x ,yn +1i +1предсказываемого этой линейной моделью связи при r > 0 .Если же значение yn меньше, чем α$ + β$ xn , то тогдабудущее значение yn +1 прогнозируется меньшим значенияα$ + β$ x .i +1Пример.
Продолжим рассмотрение предыдущего примера.Вэтомпримере∗r = 0.874, α$ = α$ (1 − r ) = −30.777 (1 − 0.874) = −244.262 ,β$ = 2.795 . Наблюдавшимся значениям x ,K , xможно2сопоставить:• наблюдавшиеся значения y2 ,K , y20 ;• значенияy$ i = −154.700 + 2.300 xi ,получаемые по модели, построеннойавтокоррелированности ошибок;5620безучета• значенияy$i = −244.262 + 2.795xi ,получаемыепомодели,параметрыкоторойскорректированы с учетом автокоррелированности ошибок;• значенияy$i = −244.262 + 2.795 xi + 0.874( yi −1 + 244.262 − 2.795 xi −1 ) ,отличающиеся от значений, указанных в предыдущемпункте, учетом значения остатка в предшествующемнаблюдении.Ниже приведены графики значений y$ i , получаемыхуказанными тремя методами, и графики соответствующих имрасхождений y$i − yi . Индексы 1, 2, 3 указывают на один изтрех способов получения значений y$ i , в том порядке, вкотором они были перечислены выше).280151026052400220-520052:1 52:3 53:1 53:3 54:1 54:3 55:1 55:3 56:1 56:3F1СравнимF2F3средние-1052:1 52:3 53:1 53:3 54:1 54:3 55:1 55:3 56:1 56:3ER1квадратыER2ER3расхождений20(1 19)∑ ( y$i − yi ) 2 при использовании указанных трех методовi =257вычисления значений y$ i .
Эти средние квадраты равны,соответственно,MSE1 = 14.583, MSE 2 = 37.025, MSE 3 = 4.533,что говорит о большей гибкости прогноза, построенногопо последнему (третьему) методу.Рассмотримещеодноважноеследствиеавтокоррелированности ошибок в линейной моделиyi = α + β xi + ε i , i = 1,K , n,с ε i − ρ ε i −1 = δ i , i = 2,K , n. Преобразованиеyi′ = yi − ρ yi −1 , xi′ = xi − ρ xi −1приводит к модели наблюденийyi′ = α ′ + β xi′ + δ i , i = 1, K , n,на основании которой получаем соотношениеyi = α (1 − ρ ) + ρ yi −1 + β ( xi − ρ xi −1 ) + δ i , i = 2,K , n.Вспомним теперь о нашем предположении, что 0 < ρ < 1 ,и преобразуем последнее соотношение следующим образом:yi = α (1 − ρ ) + yi −1 − (1 − ρ ) yi −1 + β ( xi − xi −1 + (1 − ρ ) xi −1 ) + δ= yi −1 + (1 − ρ )(α + β xi −1 − yi −1 ) + β ( xi − xi −1 ) + δ i ,или∆ yi = β ∆ xi + ( ρ − 1)( yi −1 − α − β xi −1 ) + δ i .Здесь ∆ yi = yi − yi −1 , ∆ xi = xi − xi −1 и −1 < ( ρ − 1) < 0 .Второе слагаемое в правой части по-существу поддерживает«долговременную» линейную связь (тенденцию)y = α + β x.Если в момент i − 1 отклонение yi −1 от(α+ β xi−1 )положительно ( yi −1 > α + β xi −1 ) , то второе слагаемое будетотрицательным, действуя в сторону уменьшения приращения58i∆ yi = yi − yi −1 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
