Lections-mini (1160453), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В случае краевых условий иного типа, аппроксимация краевых условий должна бытьсогласована по порядку погрешности с порядком аппроксимации уравнения. Определениеаппроксимации и порядка погрешности аппроксимации будет дано ниже.Замечание 1.Заметим, что в уравнении (4) значения функции (, ) не обязательно брать именно в узлах рассматриваемой сетки, можно использовать значения этойфункции с некоторой «поправкой». Что именно имеется в виду под «поправкой», будетрассмотрено далее, а также будет показано, что выбор значений функции (, ) дляразностной схемы, использующих такую «поправку», позволит получить более высокийпорядок погрешности аппроксимации, а стало быть и более точное решение исходногоуравнения.Замечание 2.Замечание 3.

Качество и скорость решения численной задачи (4) – (5) во многом зависит от выбора числа узлов сетки ℎ : чем меньше узлов в сетке, тем меньше уравненийсодержится в системе, тем проще и быстрее ее решать, но и приближение решенияисходной задачи в этом случае будет более грубым.Замечание. Вопросы сходимости и устойчивости разностной схемы являются ключевыми, однако обычно достаточно рассмотреть только один из этих двух вопросов: в концекурса будет доказано, что из устойчивости разностной схемы следует ее сходимость крешению исходной задачи при условии, что разностная схема аппроксимирует исходнуюзадачу.§27.

Чисто неявная разностная схема21Совокупность узлов, которые участвуют в записи разностной схемы,называют шаблоном.Определение.Определение.Сеточная функция вида = ( , ) = − , ( , ) ∈ ℎ(6)называется погрешностью решения разностной схемы (4) – (5). =−1 − 2 + +1 +1− −+ ,ℎ2(7)Сеточная функция, задаваемая равенством (7) называется погрешностью аппроксимации разностной схемы (4) – (5) на решении исходной задачи.(︀)︀2Задача.

Доказать, что = O + ℎ .Определение.Теорема. Пусть решение (, ) задачи (1) – (3) обладает достаточной гладкостью (четыре раза дифференцируема по и два раза по ). Тогда для сходимости решения разностной схемы (4) – (5) к решению исходной задачи (1) – (3) в норме ‖·‖ необходимо идостаточно, чтобы выполнялось условие:6 0.5.ℎ2⃦⃦(︀)︀При этом условии, выполняется оценка: ⃦ +1 − +1 ⃦ 6 1 + ℎ2 , = 0, 1, . .

. где1 > 0 — константа, не зависящая от и ℎ.=Замечание 4. Разностные схемы могут сходиться условно (и быть условно устойчивыми) и абсолютно. Условная сходимость определяется наличием ограничений на шаги сетки любого характера, для абсолютной сходимости требуется, чтобы такие ограниченияотсутствовали. В примеденной выше теореме условие сходимости имеет вид ℎ2 6 0.5.Следовательно, явная разностная схема является условно сходящейся.Важно помнить, что сходимость и устойчивость разностной схемы доказывается в конкретной норме.

В данном параграфе доказана сходимость и устойчивость решений разностной схемы (4)– (5) в норме ‖·‖ , которая является достаточносильной нормой, а значит, обеспечивает более точную оценку, по сравнению, например,со среднеквадратичной нормой.Замечание 5.§27Чисто неявная разностная схема (схема с опережением).Погрешность, устойчивость, сходимость(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ], (, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(1, ) = 2 (),(1)(2)Поставим в соответствие задаче (1) – (2) следующую разностную схему:+1 +1 − 2+1 + +1+1 − = −1+ ( , +1 ),ℎ2( , ), ( , +1 ) ∈ ℎ ,(3)22{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ),+1 ∈ , 0 = 0 ( ), ∈ ℎ ,(4)где = ( , ) — искомое численное решение в точке ( , ) ∈ ℎ .Эта система имеет трехдиагональную матрицу порядка ( − 1):⎛⎞1 + 2−0 ...00⎜ −1 + 2 − .

. .00 ⎟⎜⎟⎜ ....... ⎟ ,.........=⎜ .. ⎟⎜⎟⎝ 000 . . . 1 + 2− ⎠000 ...−1 + 2обладающую строгим диагональным преобладанием: >∑︀| | , = 1, ( − 1).=1̸= — погрешность аппроксимации на решении: = ( , ) = −Задача.+1 − 2+1+ +1+1− +1+ −1+ ( , +1 ).ℎ2(5)(︀)︀Доказать, что = O + ℎ2 .Пусть функция (, ) имеет достаточную гладкость (четыре раза дифференцируема по и два раза по ). Тогда чисто неявная разностная схема сходится к решениюисходной задачи в норме ‖·‖ с первым порядком точности по и вторым порядком точности по ℎ.Теорема.Если в разностной задаче (3) – (4) взять нулевые краевые условия0+1⃦ +1⃦ =⃦ 6= 0, то для можно вывести оценку, аналогичную полученной выше: ⃦∑︀ ⃦ ⃦⃦0 ⃦ + ⃦ ⃦ .

Эта оценка означает, что решение разностной схемы устойчиво=0по начальному условию и по правой части уравнения.Замечание.+1⃦ ⃦(Этого не было на лекциях)§28. Симметричная разностная схема. Задача на собственные значения. Сходимость,устойчивость в норме 2 ( )23§28Симметричная разностная схема. Задача на собственныезначения. Сходимость, устойчивость в норме 2 (ℎ )§29Разностные схемы с весами. Погрешность аппроксимациина решении§30Разностная схема для уравнения Пуассона. Первая краевая задача§31Разрешимость разностной задачи. Сходимость разностной задачи Дирихле§32Методы решения разностной задачи Дирихле§33Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, устойчивость, сходимостьГлава VМетоды решения обыкновенныхдифференциальных уравнений исистем ОДУ§34Постановка задачи Коши и примеры численных методоврешения задачи Коши⎧⎨ = (, ()),⎩(0) = ,0где () = (1 (), 2 (), .

. . , ()) , > 0,(1) (, ()) = (1 (, ()), . . . , (, ()) .Пожалуй, наиболее простым методом решения задачи Коши является разностная схема (метод) Эйлера. Несмотря на всю простоту схемы, метод Эйлера часто используется на практике.Метод Эйлера представляет собой разностное уравнение:⎧⎨ +1 − = ( , ), ∈ (2)⎩ = , ∈ Z .Пример 1.00+Эта схема является явной, так как значение численного решения в каждой следующей точке+1 , ∈ Z+ находится по явной формуле: +1 = + , ∈ Z+ . Введем погрешностьразностной схемы (2): = − , ∈ Z+ .Эта оценка означает, что разностная схема (2) аппроксимирует исходную задачу с первым порядком по . В дальнейшем покажем, что рассмотренная разностная схема будетсходиться к решению задачи Коши с первым порядком по .Рассмотрим теперь двухэтапную разностную схему Рунге–Кутта (схему «предиктор–корректор»).

В данной разностной схеме вводятся дополнительные точки, так называемыеполуцелые слои: + 1 = + 0.5, ∈ Z+ .Пример 2.2+1 = + (+ 1 , + 0.5 ( , )).2(3)Далее будет показано, что эта двухэтапная разностная схема имеет второй порядокточности по .§35. Общий -этапный метод Рунге–Кутта25Оценка погрешности общего двухэтапного метода Рунге–Кутта.Рассмотрим общий вид двухэтапного метода Рунге–Кутта для уравнения Коши:⎧+1 − ⎪= 1 1 + 2 2 , ∈ Z+⎪⎨0 = 0 ,⎪⎪⎩1 = ( , ), 2 = ( + 2 , + 21 ( , )),(4)где 1 , 2 , 2 , 21 ∈ R — некоторые числа, от выбора которых зависит как погрешность аппроксимации, так и точность численногорешения.(︁)︁(︀ )︀′ = − + (1 + 2 ) ( , ) + (2 2 − 0.5) +(−0.5)+ O 2 .212Потребуем выполнение следующих условий:1.

1 + 2 = 1 (это условие называется условием аппроксимации).2. 2 2 = 2 21 = 0.5.Тогда(︀ )︀ погрешность аппроксимации этого метода имеет второй порядок малости по : =O 2 .В случае выполнения только первого условия погрешность аппроксимацииимеет первый порядок по .Замечание.Оценка точности на примере двухэтапного метода Рунге–Кутта.Выпишем еще раз разностную схему, описывающую общий двухэтапный метод Рунге–Кутта:⎧⎨ +1 − = (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , )), ∈ Z +(5)⎩ = .00Введем погрешность разностной схемы (5): = − , ∈ Z.Покажем, что | | 6 | |, ∈ Z+ , где константа не зависит от шага , —погрешность аппроксимации на решении исходной задачи Коши: = −+1 − + (1 − ) ( , ) + ( + , + ( , )).Пусть функция (, ) удовлетворяет условию Липшица по второму аргументу с константой > 0: | (, ) − (, )| 6 | − |, (,(︀),)︀(, ) ∈ .При достаточно малых получаем: |+1 | = O 2 .§35Общий -этапный метод Рунге–КуттаРассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравненияпервого порядка:⎧⎨ = (, ()), > 0(1)⎩(0) = ,0где функции () и (, ) обладают достаточной гладкостью в соответствующих областях.Считаем, решение () существует и единственно.26Глава .

Методы решения ОДУ и систем ОДУ1 = ( , ),2 = ( + 2 , + 21 1 ),3 = ( + 3 , + 31 1 + 32 2 ),... = ( + , + 1 1 + 2 2 + . . . + −1 −1 ).При этом разностная схема для исходной задачи (1) имеет вид⎧⎨ +1 − = + + . . . + 1 12 2 ⎩ = , ∈ Z ,00+(2)где 1 , 2 , . . . , ∈ R.Будем также считать, что выполнено следующее условие аппроксимации, без которого∑︀рассмотрение метода не имеет смысла: = 1.=1Заметим, что формулы -этапного метода Рунге–Кутта достаточно громоздки. Это является одной из причин того, что на практике редко используются методы Рунге–Кутта для > 4.Замечание.§36Многошаговые разностные методыРассмотрим задачу Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравненияпервого порядка:⎧⎨ = (, ()), > 0,(1)⎩(0) = ,0где функции () и (, ) обладают достаточной гладкостью.

Считаем, что решение ()существует и единственно.Линейным -шаговым разностным методом решения задачи (1) называется разностная схема видаОпределение.∑︁=0− =∑︁ − ,(2)=0где ∈ N, > 0 – шаг сетки , , ∈ R, = 0, , причем 0 ̸= 0, ̸= 0.Замечание. Уравнение (2) следует рассматривать как рекуррентное соотношение, выражающее новое значение = ( ) через найденные ранее значения −1 , −2 , . . . , − .Уравнение (2) определено для = , + 1, .

. . и требует для начала расчета задания начальных значений 0 , 1 , . . . , −1 . Значение 0 = (0) определяется исходной задачей (1), а величины 1 , . . . , −1 можно вычислить с помощью других методов, например,с помощью рассмотренного выше метода Рунге–Кутта. В дальнейшем будем предполагать, что величины 0 , 1 , . . . , −1 уже заданы.Если в разностной схеме (2) 0 = 0, то рассматриваемый метод называется∑︀ явным, и0искомоезначениевыражаетсяявнымобразомчерезпредыдущие:==1 − − ∑︀ =1 − .§36.

Многошаговые разностные методы27Если 0 ̸= 0, то метод называется неявным, и для нахождения приходится ре0шать∑︀ нелинейноеуравнение − 0 ( , ) = (−1 , . . . , − ), где (−1 , . . . , − ) ==1 ( − − − ). Обычно это уравнение решают итерационным методом Ньютона,выбирая начальное приближение равным −1Заметим, что коэффициенты уравнения (2) определены∑︀ с точностью до множителя. Дляопределенности будем считать, что выполнено условие =0 = 1.Определение. Погрешностью аппроксимации разностной схемы (2) на решении исходной задачи (1) называется сеточная функция = −∑︁=0− +∑︁ (− , − ),(3)=0заданная на сетке , где = ( ) — решение исходной задачи (1).Для сходимости окончательно получаем следующую систему уравнений:⎧∑︀⎪⎪ = −1,⎨=1∑︀⎪⎪ −1 ( + ) = 0,⎩(4) = 2, ,=0∑︀0 = 1 −в∑︀которой коэффициенты 0 , 0 вычисляются по формулам 0 = − =1 ,=1 .

Характеристики

Список файлов лекций