Lections-mini (1160453), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

. . < 6 , и если длянекоторого = 1, выполняется условие (−1 ) ( ) < 0,(2)то на интервале (−1 , ) существует по крайней мере один корень уравнения (1) или числокорней на этом интервале нечетно. Если же выполняется условие (−1 ) ( ) > 0, = 1, ,то на каждом из интервалов (−1 , ) либо нет корней уравнения (1), либо их число четно.В случае выполнения условия (2) интервал (−1 , ) вновь разбивается на частичныеинтервалы, и для частичных интервалов повторяется описанная выше процедура, котораяв итоге позволит найти промежуток меньшей длины, содержащий корень.Второй прием локализации корняБолее регулярным способом отделения действительных корней является метод бисекции(деления пополам).Предположим, что на интервале (, ) расположен лишь один корень * уравнения (1).Тогда () и () имеют различные знаки.

Пусть для определенности () > 0, () < 0.§22. Метод простой итерации15Положим 0 = +2 и рассмотрим значения функции () в этой точке.Если (0 ) < 0, то значение искомого корня * лежит в интервале (, 0 ), если же (0 ) > 0,то * ∈ (0 , ). Далее из этих двух интервалов (, 0 ) и (0 , ) выбираем тот, на границекоторого функция () имеет различные знаки.Затем находим точку 1 — середину выбранного интервала, вычисляем (1 ) и повторяемуказанный выше алгоритм. В результате получаем последовательность интервалов, содержащих искомый корень * , причем каждый последующий интервал имеет длину в 2 разаменьшую, чем предыдущий.

Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданного числа > 0.Как правило рассматриваемая функция () имеет больше одного корня, изадача состоит в поиске всех корней уравнения (1) на области определения функции ().Тогда можно поступать следующим образом: пусть мы нашли один из корней = * этого уравнения, причем этот корень имеет единичную кратность. Тогда для поиска других ()корней рассматриваемого уравнения осуществим переход к функции () вида () = −*.Очевидно, что уравнение () = 0 имеет на единицу меньше корней, чем уравнение (1), ивсе корни этого уравнения являются также корнями уравнения (1).

Поэтому после решения данного уравнения получаем корни исходного уравнения, отличные от уже найденных.Таким образом мы сможем найти по крайней мере все некратные корни уравнения (1).Замечание.§22Метод простой итерацииРассмотрим функцию (), ∈ R и уравнение () = 0.Будем считать, что начальное приближение 0 ∈ (* ) задано. Рассмотрим итерационныеметоды, задаваемые общей формулой+1 = ( ), ∈ Z+(1)с некоторой функцией (), определенной на (* ). Пусть функция () имеет вид() = + () (), (* ) = * ,(2)где () — функция, не обращающаяся в ноль в окрестности (* ), то есть (()) ̸= 0, ∈ (* ).Итерационный метод, описываемый формулой (1) с функцией () вида (2), называется методом простой итерации.Определение.Функция () удовлетворяет условию Липшица при ∈ (* ) с константой > 0, если для любых точек 1 , 2 ∈ (* ) выполнено неравенство |(1 ) −(2 )| 6 |1 − 2 |.Определение.Пусть функция () удовлетворяет условию Липшица с константой ∈ (0, 1) в некоторой окрестности (* ), и пусть задано начальное приближение 0 ∈ (* ).

Тогда метод простой итерации (1) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем .Утверждение.Если функция () непрерывно дифференцируема, то в качестве можно взять максимальное значение | ′ ()|, и сходимость будет иметь место, если =max∈ (* ) | ′ ()| < 1.Замечание.16+1 − + ( ) = 0, ∈ R+ , ∈ Z+ , 0 ∈ (* ).(3)Таким образом, если для поиска корня * применяется итерационный метод, записан′*ный в виде(︀ (3))︀ и () > 0, ∈ ( )′ , то значение параметра следует выбирать из ин2тервала 0, , где = sup∈ (* ) | ()|.Метод Эйткена ускорения сходимости итерационного методаМетод Эйткена позволяет ускорить сходимость метода простой итерации. Идея метода заключается в том, что после вычисления −1 , , +1 производится пересчет по формуле(+1 − )2, и значение ′+1 берется в качестве нового приближения.′+1 = +1 − (+1−2 +−1 )§23Метод Ньютона и метод секущихРассмотрим функцию (), ∈ R и уравнение(1) () = 0.+1 = − ( ), ′ ( ) ∈ Z+ .(2)Итерационный процесс поиска корня уравнения (1), задаваемый формулой (2), называется итерационным методом Ньютона.Определение.Замечание.Итерационный метод Ньютона часто называют методом касательных.Метод Ньютона является вычислительно сложным, поскольку на каждой итерации проводится вычисление значений производной функции (), что является,вообще говоря, неустойчивым процессом.Замечание 1.При решении задач на практике часто рассматриваетсямодифицирован ( )+1ный метод Ньютона, задаваемый формулой = − ′ (0 ) , ∈ Z+ .

Преимуществоэтого метода перед классическим методом заключается в том, что в нем не требуетсявычислять значения функции ′ () на каждой итерации. Однако при этом модифицированный метод Ньютона сходится медленнее классического метода Ньютона. Вопросысходимости метода Ньютона излагаются в §4.Замечание 2.Метод Ньютона для нелинейных систем уравнений{︃1 (1 , 2 ) = 02 (1 , 2 ) = 0.(3)Введем векторы = (1 , 2 ) , = (1 , 2 ) и матрицу Якоби системы (3) — матрицуиз частных производных функций 1 () и 2 ():1()⎜ 1⎜() = ⎜⎝ 2()1⎛⎞1()⎟2⎟⎟.⎠2()2(4)§24. Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости17При поиске значения каждой следующей итерации +1 можно сначала решить линейную систему: ( ) = − ( ), ∈ Z+ , где = +1 − . Теперь значение+1 получается из найденного : +1 = + .Замечание.⎧⎪1 (1 , 2 , .

. . , ) = 0⎪⎪⎪⎨ ( , , . . . , ) = 02 1 2⎪...⎪⎪⎪⎩ ( , , . . . , ) = 0 1 2.(5)Введем векторы = (1 , 2 , . . . , ) , = (1 , 2 , . . . , ) и матрицу Якоби систе, , = 1, . Запишем схему итерационного метода Ньютона,мы (5): = ( ), = используя матрицу Якоби: +1 = − −1 ( ) ( ), ∈ Z+ .Заметим, что вычислять матрицу на каждом шаге достаточно трудоемко.Аналогично одномерному случаю можно рассматривать модифицированныйметод Ньютона для решения нелинейных систем: +1 = − −1 (0 ) ( ), ∈ Z+ .Реализация модифицированного метода Ньютона проще классического варианта, но скорость сходимости при данном подходе меньше.Замечание.Метод секущихИтерационный метод решения уравнения (1) называется одношаговым,если для нахождения + 1-й итерации корня +1 используется только -я итерация .

Если для нахождения +1 используется не только , но и предыдущие ей другиеитерации, то метод называется многошаговым.Определение.Итерационный метод+1 = −( − −1 ) ( ), ( ) − (−1 ) ∈ N, 0 , 1 заданы.(6)Итерационный процесс (6) задает двухшаговый метод решения нелинейных уравнений, называемый методом секущих.Определение.§24Сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимостиПусть существует такая константа > 0, для которой выполнена оценка| ′′ ()| 6 , ∈ (* ). Тогда если начальное приближение 0 выбрать в соответ1, то итерационный метод Ньютона сходится, и имеетствии с условием |0 − * | < (︀)︀21*место оценка: | − | 6 |0 − * |.Теорема 1.12Если итерационный метод Ньютона сходится, то достаточно быстро.При наличии оценки вида| +1 | 6 |( )2 |.(1)Замечание 1.говорят о квадратичной сходимости метода.Из условий теоремы следует, что начальное приближение нужно выбирать достаточно близко к точному решению рассматриваемого уравнения.Замечание 2.18Другие рассмотренные нами методы (модифицированный метод Ньютонаи метод секущих) обладают, по крайней мере, линейной сходимостью.

Это следует изтого, что если их записать в виде +1 = ( ), то (* ) = * и ′ (* ) ̸= 0. Например,′ *)для модифицированного метода Ньютона ′ (* ) = 1 − ′ (, и чем ближе взять 0 к * ,(0 )тем быстрее будет сходимость.Замечание 3.Глава IVРазностные методы решения задачматематической физики§25Первая краевая задача для уравнения теплопроводностиРассмотрим классическую формулировку первой краевой задачи дляуравнения теплопроводности в области = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]} для некоторого > 0. Для простоты возьмем коэффициент при второй производной искомой функции вправой части уравнения равным единице.Постановка задачи.(, ) 2 (, )=+ (, ),2(, ) ∈ .Выпишем краевые условия первого рода и начальное условие:{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ], (, 0) = 0 (), ∈ [0, 1].(1, ) = 2 (),(1)(2)Мы рассматриваем только те задачи, для которых существует классическое решение.Это означает:1.

Решение обладает достаточной гладкостью, то есть функция (, ) непрерывна взамкнутой области = {(, ) : ∈ [0, 1], ∈ [0, ]}, непрерывно дифференцируемаодин раз по и два раза по внутри области .2. (, ) удовлетворяет внутри области уравнению (1), на границе и в начальныймомент времени — условию (2).Условия на границе (2) и в начальный момент времени должны быть согласованы:1 (0) = 0 (0) и 2 (0) = 0 (1).Сеткой в заданной области называется совокупность конечного числаточек, принадлежащих данной области. Эти точки называются узлами сетки.Определение.В общем случае сетки могут иметь более сложную структуру, например,использовать переменный шаг, который зависит от расположения конкретной пары узлов, или для многомерной области иметь более сложную структуру расположения узлов относительно друг друга (в рассматриваемом примере равномерная сетка являетсяпрямоугольной).

В последнее время часто используются сетки, автоматически подстраивающиеся под решение конкретной задачи.Замечание.20Совокупность всех узлов в фиксированный момент времени называется слоем. Слой, для которого = 0, в котором задано начальное приближение, будемназывать нулевым слоем.Определение.§26Явная разностная схема.

Погрешность, сходимость, устойчивость(, ) 2 (, )=+ (, ), (, ) ∈ = {(, ) : ∈ (0, 1), ∈ (0, ]},2{︃(0, ) = 1 () ∈ [0, ],(1, ) = 2 (),(, 0) = 0 (),(1)(2)(3) ∈ [0, 1]Определение. Сеточной функцией называется функция дискретного аргумента на заданной сетке, то есть такая функция определена только в узлах данной сетки. − 2 + +1+1 − = −1+ ( , ),ℎ20 = 0 ( ),( , ) ∈ ℎ . ∈ ℎ .0 = 0 ( ),{︃0+1 = 1 (+1 )+1= 2 (+1 ), ∈ ℎ .+1 ∈ ,(4)(5)Дискретным аналогом задачи (1) – (3), или ее разностной схемой, называется система линейных уравнений (4) – (5).Определение.+1равныВ первой краевой задаче численные значения решения 0+1 и значениям функций 1 () и 2 () соответственно при = +1 (хотя это и не обязательно).

Характеристики

Список файлов лекций