Численные методы. Ионкин (2009) (1160433)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé ÓíèâåðñèòåòÔàêóëüòåò Âû÷èñëèòåëüíîé Ìàòåìàòèêè è ÊèáåðíåòèêèËåêöèè ïî êóðñó ×èñëåííûå ìåòîäûËåêòîð: Í. È. Èîíêèí3 êóðñ, 3 ïîòîêÌîñêâà, 2009ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå3Êîëåñî Ñàìàðñêîãî. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Ñîäåðæàíèå êóðñà . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3Ñïèñîê ëèòåðàòóðûI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû45Ÿ1ÂâåäåíèåŸ2Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì Ãàóññà. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. . . . . . . . . . .

.8Ÿ3Îáðàùåíèå ìàòðèö ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9Ÿ4Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11Ÿ5Ïðèìåðû è êàíîíè÷åñêèé âèä èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ . . . . . . .13Ÿ6Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .16Ÿ7Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ. . . . . . . . . . . . . . . . .22Ÿ8Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííî òðåóãîëüíîãî èòåðàöèîííîãî ìåòîäà . . . .26Ÿ9Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .28Ñòåïåííîé ìåòîä ðåøåíèÿ ÷àñòè÷íîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé .

. . . . . .29Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé31. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33Ÿ10Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìå (ÂÏÒÔ). . . . . . . .33Ÿ11Ïîíÿòèå î QR-àëãîðèòìå. Ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. . . .38QR-àëãîðèòì . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39Ñâîéñòâà QR-àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40II Èíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèéŸ1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿ42. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42Èíòåðïîëèðîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .42Ÿ2Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43Ÿ3Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà44Ÿ4Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ýðìèòà . . .45Ïîãðåøíîñòü ïîëèíîìà Ýðìèòà47. . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ÿ5Èñïîëüçîâàíèå ïîëèíîìà Ýðìèòà òðåòüåé ñòåïåíè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîé îöåíêèïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47Ÿ6Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè501.

. . . . . . . . . . . . . .Îãëàâëåíèå2III ×èñëåííîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé 53Ÿ1ÂâåäåíèåŸ2Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèèŸ3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .54Ìåòîä Ýéòêåíà (óñêîðåíèå ñõîäèìîñòè) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55Ìåòîä Íüþòîíà è ìåòîä ñåêóùèõ55. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéŸ4. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .56Ìåòîä ñåêóùèõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Íüþòîíà è îöåíêà ñõîäèìîñòè58. . . . . . . . . . . . . . . . . .IV Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêèŸ15360Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè .60ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61×èñòî íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà ñ îïåðåæåíèåì) . . . . . . . . . . . . . . .64Ñèììåòðè÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà Êðàíêà-Íèêîëüñîíà) . . . . . . . . . . . .66Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .67Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. . . . . . . . . . . . . . .70Ðàçíîñòíûå ìåòîäû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72Ÿ2Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (çàäà÷à Äèðèõëå) . . . . . . . . . . . .73Ÿ3Ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è ÄèðèõëåŸ4Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå76. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .76Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé èòåðàöèîííûÿ ìåòîä (ìåòîä Ñàìàðñêîãî) . . . . . . . .77Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ. Óñòîé÷èâîñòü.

Ñõîäèìîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .V Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄӟ174. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ïðîñòàÿ èòåðàöèÿ (ìåòîä ßêîáè)Ÿ5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèÎáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà77. . . . . .

. . . . . . . . . . .80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82Ÿ2Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-ÊóòòàŸ3Ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû. . . . . . . . . . .83. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85Ÿ4Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87Ÿ5Æåñòêèå ñèñòåìû ÎÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90Ÿ6Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .91ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Ñèììåòðè÷íàÿ ñõåìà93. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ÂâåäåíèåÊîëåñî ÑàìàðñêîãîÏðè èçó÷åíèè îáúåêòîâ îêðóæàþùåãî ìèðà ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè èñïîëüçóþò ïðíèöèï êîëåñà Ñàìàðñêîãî, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå.  äàííîì êóðñå ðàññìàòðèâàåòñÿ ôàçàðàçðàáîòêà àëãîðèòìà ýòîãî ïðèíöèïà.Ñîäåðæàíèå êóðñàÃëàâà I×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû.Ãëàâà IIÈíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé.Ãëàâà IIIÐåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì.Ãëàâà IVÐàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ãëàâà VÐåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåìîáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.3ÎãëàâëåíèåÑïèñîê ëèòåðàòóðû1.

Ñàìàðñêèé À. À., Ãóëèí À. Â. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19832. Ñàìàðñêèé À. À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì Ì. Íàóêà 19833. Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19734. Ñàìàðñêèé À. À. Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19825. Êàëèòêèí Í. Í. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19786.

Ñàìàðñêèé À. À., Íèêîëàåâ È. Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé7. È. Ñ. Áåðåçèí, Í. Ï. Æèäêîâ Ìåòîäû âû÷èñëåíèé4Ãëàâà I×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðûŸ1ÂâåäåíèåÐàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) â ìàòðè÷íîì âèäåAx = f,ãäåA ìàòðèöà ðàçìåðà(1)(m × m), |A| =6 0,x = (x1 , . . . , xm )T ,f = (f1 , . . . , fm )T .Èç íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöûAñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Âûäåëÿþò äâå ãðóïïû ìåòîäîâ ïîèñêà ðåøåíèÿ ÑËÀÓ:1. Ïðÿìûå (òî÷íûå) ìåòîäû.

Ïðèìåðû: ìåòîä Ãàóññà (òðåáóåòìåðà (òðåáóåò∼ m3äåéñòâèé), ôîðìóëà Êðà-∼ m! äåéñòâèé), ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ. Ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò çà êîíå÷-íîå ÷èñëî äåéñòâèé ïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå.2. Èòåðàöèîííûå (ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé).x0 ïåðâîå ïðèáëèæåíèå,n→∞xn −−−→ x.Ïðè ðàáîòå ñ èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè çàäà÷à îáû÷íî ñòàâèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿäàííîãî>0íàéòèn0 ()òàêîå, ÷òî|xn − x| < ∀n ≥ n0Ìû áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.

Îíà ôîðìóëèðóåòñÿ òàê: íàéòèâñå òàêèå ÷èñëàλè íåíóëåâûå âåêòîðûx,÷òî äëÿ äàííîé ìàòðèöûAâûïîëíÿåòñÿAx = λx.λíàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì,x- ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòðèöû5(2)A.Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàŸ26Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè.

Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàAx = f, |A| =6 0(1)Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî äåéñòâèé, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) ìåòîäîì Ãàóññà. Äåéñòâèåìáóäåì ñ÷èòàòü óìíîæåíèå èëè äåëåíèå.1. Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà:1 × ··· ×0 1 · · · × • A ⇒  .. .. . .... ...0 0 ··· 1m3 −mäåéñòâèé3Êðåñòèêàìè îòìå÷åíû â îáùåì ñëó÷àå íåíóëåâûå ýëåìåíòû.•m(m+1)äåéñòâèé2Ïðåîáðàçîâàíèå ïðàâûõ ÷àñòåé:2. Îáðàòíûé õîä•m(m−1)äåéñòâèé23. Âñåãîm33+ m2 −mäåéñòâèé3Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëèÇàäàäèìñÿ öåëüþ ïðåäñòàâèòü ìàòðèöóAâ âèäåA = B · C,ãäåb11 0 · · ·0 b21 b22 · · ·0 B =  .... .... ....

bm1 bm2 · · · bmm íèæíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà,1 c12 · · · c1m0 1 · · · c2m C =  .. .. . .. . . ...0 0 ··· 1 âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.Ïî ôîðìóëå äëÿ ýëåìåíòà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:aij =mXl=1bil clj(2)Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàÏåðåïèøåì ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå, âûäåëèâ ñëàãàåìîå ñaij =i−1Xbil clj + bii cij +l=1Èç âèäà ìàòðèöûB7cij :mXbil cljl=i+1ñëåäóåò, ÷òîmXbil clj = 0l=i+1Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëîãàÿ, ÷òîbii 6= 0,ïîëó÷èìaij −i−1Pl=1cij =biibil clj,i<j(3)Òåïåðü èç ôîðìóëû ýëåìåíòà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö âûäåëèì ñëàãàåìîå ñaij =j−1Xbil clj + bij cjj +l=1Èç âèäà ìàòðèöûCñëåäóåò, ÷òîmXbij :bil cljl=j+1mXbil clj = 0l=j+1Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü:bij = aij −j−1Xbil clj ,i≥j(4)l=1Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ôîðìóëû (3) è (4) ïîçâîëÿþò âû÷èñëèòü âñå ýëåìåíòû ìàòðèöBèC.Äîêàæåì ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ôàêòîðèçàöèè ìàòðèöû A.Óòâåðæäåíèå. Ïóñòü âñå ãëàâíûå ìèíîðû ìàðèöû À îòëè÷íû îò 0:A1 = a11a1,1 a1,2 =6 0, A2 = =6 0, · · · , Ai 6= 0, ∀i = 1, ma2,1 a2,2 Òîãäà ðàçëîæåíèå â ôîðìå (2) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Äîêàçàòåëüñòâî.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций