Численные методы. Ионкин (2009) (1160433), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. .. ..0 0 ...××××Ãäå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè áóäóò ñòîÿòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöA0 , A1 , . . .(ñïåêòðû ýòèõìàòðèö ñîâïàäàþò).Çàìåòèì, ÷òî ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ ìîãóò è íå ïîëó÷àòüñÿ íóëè â ìàòåìàòè÷åñêîì ñìûñëå.Äîñòàòî÷íî, ÷òîáû çíà÷åíèÿ ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ áûëè ïî ìîäóëþ ìåíüøå íåêîòîðîãî ÷èñëà(ò.í. ìàøèííûé íîëü), îïðåäåëÿþùåãî òî÷íîñòü âû÷èñëåíèé.Åñëè óAkêîìïëåêñíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, òî â ìàòðèöå íà ãëàâíîé äèàãîíàëè áóäóò ïîÿâ-ëÿòüñÿ êâàäðàòû2 × 2,îíà áóäåò èìåòü âèä:×X×Ak → λ0 λ1−λ1 λ0..0.Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå ïëþñû è ìèíóñû QR-àëãîðèòìà:1. (+) Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû ìîæíî íàéòè âåñü ñïåêòð.2.
(-) Âî âðåìÿ âû÷èñëåíèé íóæíî äåðæàòü âñþ ìàòðèöó â ïàìÿòè.3. (-) Åñëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíû, òî ïîÿâëÿþòñÿ êëåòêè 2ãî ïîðÿäêà, êîòîðûåïðè ïîñëåäóþùèõ èòåðàöèÿõ íå áóäóò ñõîäèòüñÿ ê 0.Ñâîéñòâà QR-àëãîðèòìàÓòâåðæäåíèå. Ïóñòü ìàòðèöà B ÂÒÔ, à ìàòðèöà A ÂÏÒÔ. Òîãäà Q = BA ÂÏÒÔ.Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïî ôîðìóëå óìíîæåíèÿ ìàòðèö:cij =nXbiα cαj .α=1Òàê êàêB ÂÒÔ, òî âñåbiαïðèi>αðàâíû íóëþ, òàê êàêA ÂÏÒÔ, òî âñåaαjïðèα > j +1ðàâíû íóëþ. Ìîäèôèöèðóåì ôîðìóëó ñîãëàñíî ýòèì óòâåðæäåíèÿì:cij =j+1Xbiα cαj .α=iÒî åñòü åñëè i > j + 1, òîcij = 0. À ýòî è çíà÷èò, ÷òî C âåðõíÿÿ ïî÷òè òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà.Óòâåðæäåíèå.
Ïóñòü ìàòðèöà B ÂÏÒÔ, à ìàòðèöà A ÂÒÔ. Òîãäà Q = BA ÂÏÒÔ.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó óòâåðæäåíèþ.Ïîíÿòèå î QR-àëãîðèòìå. Ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.41Èñïîëüçóÿ äàííûå óòâåðæäåíèÿ, ìîæíî çíà÷èòåëüíî óñêîðèòü QR-ðàçëîæåíèå ìàòðèöû.QR-àëãîðèòì ïðåîáðàçóåò ìàòðèöóA→− A0 ÂÏÒÔ:A0 = Q0 R0Q0 = A0 R)−1A1 = R0 Q0Òî åñòü ôîðìà ìàòðèöû ÂÏÒÔ ïî äîêàçàííîìó óòâåðæäåíèþ ÂÏÒÔ ïî äîêàçàííîìó óòâåðæäåíèþAn (n ∈ N) íå óõóäøàåòñÿ,n2 äåéñòâèé.ñëåäîâàòåëüíî, î÷åðåäíàÿ ìàòðèöà ìîæåòáûòü âûïîëíåíà íå áîëåå ÷åì çàÅñëè æå ìàòðèöàA0- ñèììåòðè÷íàÿ, òî îäèí øàã ïîòðåáóåò âñåãînäåéñòâèé.Ãëàâà IIÈíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèåôóíêöèé1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿf (x) äèñêðåòíàÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà x, x ∈ [a, b], a, b ∈ R.
Ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ânòî÷êàõ x0 , x1 , . . . , xn , n ∈ N; a ≤ x0 < x1 < . . . < xn ≤ b = {Xi }0 óçëàõ ôóíêöèè. Âî âñåõ óçëàõçàäàíû çíà÷åíèÿ f (xi ) = yi , ∀i = 0, n. Òðåáóåòñÿ íàéòè çíà÷åíèå ôóíêöèè f (x) â ïðîèçâîëüíîéÏóñòüòî÷êå.Çàìå÷àíèå.  óêàçàííîé ôîðìóëèðîâêå ðåøåíèé çàäà÷è áåñêîíå÷íî ìíîãî. Äëÿ óòî÷íåíèÿ äîïîëíèòåëüíî óêàçûâàþò êëàññ ôóíêöèé, êîòîðûå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ çíà÷åíèéf (x)â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå.Èíòåðïîëèðîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìèÎïðåäåëåíèå. Íàçîâåì èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì Ëàãðàíæà ôóíêöèè f (x) ïî óçëàì{Xi }n0ïîëèíîì ñòåïåíèn:Pn (x) = a0 + a1 x + . . .
+ an xn ,ïðè ýòîì çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâçíà÷åíèÿõi = 1, na0 . . . an(1)âûáèðàþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ïðè ëþáûõáûëî âûïîëíåíî:Pn (xi ) = f (xi )(2)Óòâåðæäåíèå. Ïîêàæåì, ÷òî èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Pn (x) äëÿ ôóíêöèè f (x) ïî óçëàì{Xi }n0ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåíåí.Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàñïèøåìn+1óðàâíåíèå èç óñëîâèÿ (2). Ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâ-íåíèé:a0 + a1 x0 + . .
. + an xn0 = f0 , a0 + a1 x1 + . . . + an xn1 = f1 , . . . a0 + a1 xn + . . . + an xnn = fn ,Òåïåðü ïîñìîòðèì íà îïðåäåëèòåëü ýòîé ñèñòåìû:11∆=. . .1x0x1...xn42x20x21...x2n............xn0xn1 . . .xnnÈíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà43Èç êóðñà ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî äàííûé îïðåäåëèòåëü (îïðåäåëèòåëü Âàíäåðìîíäà)ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ðàçíîñòè âñåõ ïàð(xi , xj ), i 6= j .Ïî óñëîâèþ íèêàêèå äâà ðàçëè÷íûõ óçëàíå ìîãóò äàòü íàì íóëåâóþ ðàçíîñòü, ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ. Àýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèå (ò.å.Pn (x)) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.Çàìå÷àíèå. Ïîñêîëüêó ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü èíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà, òî ïðè åãî ïîèñêå, â êàêîé áû ôîðìå ìû åãî íå ïîëó÷èëè, îí áóäåò òîæåñòâåííî ðàâåíâñåì ñâîèì ïðåäñòàâëåíèÿì â èíûõ ôîðìàõ, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ äðóãèõ ìåòîäîâ.2Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà ËàãðàíæàÁóäåì èñêàòü èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì â âèäåLn (x) =nXck (x)f (xk ), ãäå:(1)k=0ck (x) ïîëèíîìn-éñòåïåíè,f (xk ) èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â óçëàõ.Çàìå÷àíèå.
Ïî îïðåäåëåíèþ Ln (xi ) = f (xi ), ∀i = 1, n.Áóäåì ñòðîèòü ïîëèíîì ñëåäóþùèì îáðàçîì:nÏóñòü ω(x) = (x − x0 )(x − x1 ) · . . . · (x − xn ) = Πi=0 (x − xi ).Òîãäà:ω 0 (k) = ([. . .](x − xk )) = [. . .] + [. . .]0 (x − xk )= Πni=0 (x − xi )i6=k. (ω(k) çíà÷åíèå ôóíêöèè â òî÷êåxk).ω(x).Ïîëèíîìû ck (x) âîëüçìåì ðàâíûìè(x−xk )ω 0 (x)Îïðåäåëèì ïîãðåøíîñòü ìåòîäà êàê ðàçíîñòü ìåæäó çíà÷åíèåì ïîëèíîìà Ëàãðàíæà è çíà÷åíèåì ôóíêöèè:ψn (x) = f (x) − Ln (x)(2)Çàìå÷àíèå. Äëÿ îöåíêè ïîãðåøíîñòè ìåòîäû ìû òðåáóåì f (x) ∈ C n+1 [a, b].Óòâåðæäåíèå.∀x∗ ∈ [a, b] : rn (x∗ ) =f (n+1) (ξ)· ωn+1 (x∗ ), ξ ∈ (a, b)(n + 1)!g(s) = f (s) + Ln (s) − kω(s), ãäå k - êîíñòàíòà.Î÷åâèäíî, ÷òî g(s) èìååò n + 2 íóëÿ: n + 1 çà ñ÷åò îáðàùåíèÿ â íîëü â óçëàõ è ïîñëåäíèé íîëüçà ñ÷åò ñîâïàäåíèÿ f (s) + Ln (s) = kω .
 ýòîì ñëó÷àå k è åñòü èñêîìàÿ îöåíêà. Ïî òåîðåìå Ðîëëÿg (n+1) (ξ) = 0. Íàéäåì ýòó ïðîèçâîäíóþ:Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòüg (n+1) (s) = (f (s) + Ln (s) − kω(s))(n+1) =f (n+1) (ξ) + 0 − k · n!Îòêóäà è ïîëó÷àåì:f (x) + Ln (x) =f (n+1) (ξ)ω(x)(n + 1)!Çàìå÷àíèå. Ïîëèíîì Ëàãðàíæà, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñõîäèòñÿ ê f (x).Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà344Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà ÍüþòîíàÎïðåäåëåíèå.
Íàçîâåì ðàçäåëåííîé ðàçíîñòüþ ïåðâîãî ïîðÿäêà, ïîñòðîåííîé ïî óçëàì xi èxj ,ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:f (xi , xj ) =f (xj ) − f (xi )xj − xiÐàçäåëåííîé ðàçíîñòüþ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî óçëàìf (xi−1 , xi , xi+1 ) =xi−1 , xi , xi+1(1)íàçûâàåòñÿ ñîîòíîøåíèå:f (xi−1 xi ) − f (xi xi+1 )xi−1 − xi+1Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåì ðàñïðåäåëåííóþ ðàçíîñòü áîëüøèõ ïîðÿäêîâ.Óòâåðæäåíèå. Ðàñïðåäåëåííóþ ðàçíîñòü k ãî ïîðÿäêà ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå:f (x0 , x1 , .
. . , xk ) =Ïðè÷åì çàïèñüωa,b (x)kXf (xi )0ω0,k(xi )i=0îçíà÷àåò:ωa,b (x) = (x − xa )(x − xa+1 ) · . . . · (x − xb ), a < bÄîêàçàòåëüñòâî. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, áóäåì ðàññìàòðèâàòü óçëû ñ èíäåêñàìèÄîêàæåì óòâåðæäåíèå ïî èíäóêöèè.Áàçà:f (x0 )f (x1 )+=x0 − x1 x1 − x0f (x1 )f (x0 )+ 00ω0,1 (x0 ) ω0,1 (x1 )k = 1 : f (x0 , x1 ) =Ïåðåõîä:k=l:lXf (xi )f (x0 , .
. . , xl ) =0ω0,l(xi )i=0Ïîêàæåì ÷òîf (x0 , . . . , xl+1 ) =Plf (xi )0 (x ) :i=0 ω0,lif (x0 , . . . , xl+1 ) =f (x1 , . . . , xl+1 ) − f (x0 , . . . , xl )=xl+1 − x0l+1lXX1f (xi )f (xi )(−)=00xl+1 − x0 i=1 ω1,l+1 (xi ) i=0 ω0,l(xi )lXf (xl+1 )f (x0 )111( 0− 0+− 0)0xl+1 − x0 ω1,l+1 (xl+1 ) ω0,l (x0 ) i=1 ω1,l+1 (xi ) ω0,l (xi )Ðàññìîòðèì ñëàãàåìûå îòäåëüíî:00(xl+1 − x0 )ω1,l+1(xl+1 ) = ω0,l+1(xl+1 )0..k, k ∈ N.Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè. Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ýðìèòà4500(x0 )(x0 ) = ω0,l+1(xl+1 − x0 )ω0,l10(xi )ω1,l+1−10(xi )ω0,l=(xi − x0 ) (xi − xl+1 )− 0= (xl+1 − x0 )0(xi )ω0,l+1ω0,l+1 (xi )Ïîäñòàâèâ ïðåîáðàçîâàííûå ñëàãàåìûå, ïîëó÷èì:lX f (xi )f (x0 )f (xl+1 )++)000ω0,l+1(x0 ) ω0,l+1(xl+1 ) i=1 ω0,l+1(xi )×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.Îïðåäåëåíèå.
Íàçîâåì èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì Íüþòîíà ôóíêöèè f (x) ïî óçëàì {Xi }n0ïîëèíîì ñòåïåíèn:Nn (x) = f (x0 ) + (x − x0 )f (x0 , x1 ) + . . . + Πn−1i=0 f (x0 , x1 , . . . , xn )Ïîêàæåì, ÷òîNn (x)(2)èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì:Nn (xi ) = f (x0 ) + (xi − x0 )f (x0 , x1 ) + . . . + Πi−1i=0 f (x0 , x1 , . . . , xi ) + 0Ýòà ñóììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàçäåëåííóþ ðàçíîñòü ïîðÿäêà i, ðàâíóþ êàê ðàçf (xi ).Çàìå÷àíèå. Ïîëó÷åííûé ïîëèíîì òîëò æå ïîëèíîì Ëàãðàíæà, òîëüêî çàïèñàííûé â äðóãîéôîðìå.Ñîîòâåòñòâåííî, åãî ïîãðåøíîñòü òà æå, ÷òî è ó ïîëèíîìà Ëàãðàíæà.Îòëè÷èå ïîëèíîìà Íüþòîíà îò Ëàãðàíæà â òîì, ÷òî äëÿ óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòèNn (x)íàäîòîëüêî äîáàâèòü èíôîðìàöèþ î íîâûõ óçëàõ è íå íàäî ïåðåñ÷èòûâàòü çíà÷åíèÿ äëÿ ñòàðûõ.4Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè.
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà ÝðìèòàÏóñòü èìååòñÿ m óçëîâ:a0 + . . . am = n + 1,x0 , x1 , . . . , xm ,ïðè ýòîìak ∈ N, k = 1, m êðàòíîñòü êàæäîãî óçëà (ãäå n ñòåïåíü èíòåðïîëèðóþùåãî ïîëèíîìà ).Îïðåäåëåíèå. Íàçîâåì èíòåðïîëÿöèîííûì ïîëèíîìîì Ýðìèòà ïîëèíîì:Hn (x) =m aXk −1Xck,i (x)f (i) (xk ),(1)k=0 i=0ãäåck,i (x)- ïîëèíîìn-éñòåïåíè, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ èç óñëîâèÿ:Hn(i) (xk ) = F (i) (xk ), k = 0, n, i = 0, ak − 1Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü äàííîãî ïîëèíîìà î÷åâèäíû, ïåðåéäåì ñðàçó ê ïîñòðîåíèþHn (x). îáùåì ñëó÷àå âûðàæåíèå äëÿ ïîëèíîìà Ýðìèòà äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêî, ïîýòîìó îãðà-íè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì êîíêðåòíîé çàäà÷è:Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè.
Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà ÝðìèòàÏîñòðîèòüH3 (x) = c0 (x)f (x0 ) + c1 (x)f (x1 ) + c2 (x)f (x2 ) + b(x)f 0 (x1 ).Çàïèøåì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äàííûé ïîëèíîì áóäåò èíòåðïîëÿöèîííûì:c0 (x0 ) = 1, c1 (x0 ) = 0, c2 (x0 ) = 0, b(x0 ) = 0,c0 (x1 ) = 0, c1 (x1 ) = 1, c2 (x1 ) = 0, b(x1 ) = 0,c0 (x2 ) = 0, c1 (x2 ) = 0, c2 (x2 ) = 1, b(x2 ) = 0,c00 (x1 ) = 0, c01 (x1 ) = 0, c02 (x1 ) = 0, b0 (x1 ) = 1.Áóäåì èñêàòüc0 (x)â âèäåk(x − x1 )2 (x − x2 ), kâûáèðàåì èç óñëîâèÿ1 = k(x0 − x1 )2 (x0 − x2 ) =⇒ c0 (x) =Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ(x − x1 )2 (x − x2 )(x0 − x1 )2 (x0 − x2 )c2 (x):c2 (x) =Òåïåðü âû÷èñëèìc0 (x0 ) = 1:(x − x1 )2 (x − x0 )(x2 − x1 )2 (x2 − x0 )b(x):b1 (x) = k(x − x0 )(x − x1 )(x − x2 )b01 (x1 ) = k(x − x0 )(x − x2 ) = 1(x−x0 )(x−x2 )(x − x1 ).b1 (x) = (x−x22 ) (x1 −x2 )c1 (x) = (x − x0 )(x − x2 )(ax + b):Îòêóäà ïîëó÷àåìÄàëåå ïóñòüc1 (x1 ) = 1 = (x1 − x0 )(x1 − x2 )(ax1 + b)c01 (x1 ) = 0 = a(x1 − x0 )(x1 − x2 ) + (ax1 + b)(2x1 − x0 − x2 )Èç ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àåì:a=−b=(2x1 − x0 − x2 )(x1 − x0 )2 (x1 − x2 )2x1 (2x1 − x0 − x2 )1[1 +](x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x0 )(x1 − x2 )Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå âûðàæåíèÿ, èìååì:H3 (x) = f (x0 ) ·(1 +(x − x1 )2 (x − x2 )(x − x0 )(x − x2 )+f(x)··1(x0 − x1 )2 (x0 − x2 )(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x1 − x)(2x1 − x0 − x2 )(x − x1 )2 (x − x0 )) + f (x2 ) ·+(x1 − x0 )(x1 − x2 )(x2 − x1 )2 (x2 − x0 )f 0 (x1 ) ·(x − x0 )(x − x2 )(x − x1 )(x − x2 )2 (x1 − x2 )46Èñïîëüçîâàíèå ïîëèíîìà Ýðìèòà òðåòüåé ñòåïåíè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîé îöåíêèïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà47Ïîãðåøíîñòü ïîëèíîìà ÝðìèòàψH3 (x) = f (x) − H3 (x)g(s) = f (s) + H3 (s) − kω(s), ãäå kk ïîëó÷àåì èç óñëîâèÿ g(x) = 0 :Ââåäåì ôóíêöèþÊîíñòàíòók= êîíñòàíòà,ω(s) = (x − x0 )(x − x1 )2 (x − x2 ).f (x) − H3 (x)ω(x)Äàëåå äëÿ ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû Ðîëëÿ òðåáóåì∃f (4) (x) ∈ [a, b].
Ïðèìåíèâ íåñêîëüêî ðàç òåîðåìóÐîëëÿ ê g(s), ïîëó÷èì:∃ξ ∈ (a, b) : g (4) (ξ) = 0,îòêóäà è ïîëó÷åì îêîí÷àòåëüíóþ îöåíêóf (x) − H3 (x) =f (4)ω(x)4!Ïîãðåøíîñòü ïîëèíîìà Ýðìèòà n-îé ñòåïåíè ðàâíà:f (x) − Hn (x) =f (n+1) (ξ)(x − x0 )a0 (x − x1 )a1 . . . (x − xn )an(n + 1)!a0 + a1 + · · · + an = n + 1Çàäà÷à. Ïóñòü çàäàíû óçëû x0 , x1 , x2 , x3 , ïðè÷åì x3 6= xi , i = 0, 1, 2, è çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f âýòèõ óçëàõ. Äîêàçàòü, ÷òîlim L3 (x) = H3 (x).x3 →x1Äîêàçàòåëüñòâî.
Ðàññìîòðèì ïîëèíîì Ëàãðàíæà äëÿ ôóíêöèè f:Ïðè5L3 (x) =(x − x1 )(x − x2 )(x − x3 )f (x0 ) + . . .(x0 − x1 )(x0 − x2 )(x0 − x3 )L3 (x) →(x − x1 )2 (x − x2 )f (x0 ) + · · · = H3 (x)(x0 − x1 )2 (x0 − x2 )x3 → x1 :Èñïîëüçîâàíèå ïîëèíîìà Ýðìèòà òðåòüåé ñòåïåíè äëÿïîëó÷åíèÿ òî÷íîé îöåíêè ïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà÷àñòè÷íûå îòðåçêèîòðåçêå èìååì:[xi−1 , xi ], xi − xi−1 =Zxif (x)dx =xi−1Rbf (x)dx íà îòðåçêå [a, b] ñ ðàçáèåíèåì íàah, îáúåäèíåíèå êîòîðûõ äàåò [a, b]. Íà i-îì ÷àñòè÷íîìÐàññìîòðèì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó Ñèìïñîíà äëÿh(fi−1 + 4fi− 1 + fi )26Èñïîëüçîâàíèå ïîëèíîìà Ýðìèòà òðåòüåé ñòåïåíè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîé îöåíêèïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû Ñèìïñîíà48fi = f (xi ), fi− 1 = f2hxi −2f (x) = a0 +a1 x+a2 x2 , òî êâàäðàòóðíàÿ ôîðìóëà Ñèìïñîíà òî÷íà (ïî ïîñòðîåíèþ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
