Численные методы. Ионкин (2009) (формат хуже) (1160431)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Ìîñêîâñêèé Ãîñóäàðñòâåííûé ÓíèâåðñèòåòÔàêóëüòåò Âû÷èñëèòåëüíîé Ìàòåìàòèêè è ÊèáåðíåòèêèËåêöèè ïî êóðñó ×èñëåííûå ìåòîäûËåêòîð: Í. È. Èîíêèí3 êóðñ, 3 ïîòîêÌîñêâà, 2009ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå4Êîëåñî Ñàìàðñêîãî. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .4Ñîäåðæàíèå êóðñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5Ñïèñîê ëèòåðàòóðûI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû6Ÿ1Ââåäåíèå6Ÿ2Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæå-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .íèÿ ñ ìåòîäîì Ãàóññà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè . . . . . . . . . . . . . .8Ñâÿçü ìåòîäà Ãàóññà ñ ðàçëîæåíèåì ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè 10Ÿ3Îáðàùåíèå ìàòðèö ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà. . . . . . . .12Ÿ4Ìåòîä êâàäðàòíîãî êîðíÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15Ÿ5Ïðèìåðû è êàíîíè÷åñêèé âèä èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÑËÀÓ .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Ÿ6Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ . . . . . . . .21Ÿ7Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ29Ÿ8Èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè ïîïåðåìåííî òðåóãîëüíîãî èòå-Ÿ9. . . .ðàöèîííîãî ìåòîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .34Ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ38. . . . . .Ñòåïåííîé ìåòîä ðåøåíèÿ ÷àñòè÷íîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèéŸ1041Ìåòîä îáðàòíûõ èòåðàöèé ñî ñäâèãîì . . . . . . . . . . . .

.44Ïðèâåäåíèå ìàòðèöû ê âåðõíåé ïî÷òè òðåóãîëüíîé ôîðìå(ÂÏÒÔ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ÿ1139. . . . . . . . . . . . . . . . . . .45Ïîíÿòèå î QR-àëãîðèòìå. Ðåøåíèå ïîëíîé ïðîáëåìû ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .151Îãëàâëåíèå2QR-àëãîðèòì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52Ñâîéñòâà QR-àëãîðèòìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54II Èíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé55Ÿ1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è èíòåðïîëèðîâàíèÿŸ2Ÿ3Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Íüþòîíà58Ÿ4Èíòåðïîëèðîâàíèå ñ êðàòíûìè óçëàìè. ÈíòåðïîëÿöèîííàÿŸ5. . . . . . . . . . . .55Èíòåðïîëèðîâàíèå àëãåáðàè÷åñêèìè ïîëèíîìàìè .

. . . . .55Èíòåðïîëÿöèîííàÿ ôîðìóëà Ëàãðàíæà . . . . . . . . . . . .56. . . . . . . . . . . .ôîðìóëà Ýðìèòà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60Ïîãðåøíîñòü ïîëèíîìà Ýðìèòà61. . . . . . . . . . . . . . . .Èñïîëüçîâàíèå ïîëèíîìà Ýðìèòà òðåòüåé ñòåïåíè äëÿ ïîëó÷åíèÿ òî÷íîé îöåíêè ïîãðåøíîñòè êâàäðàòóðíîé ôîðìó-Ÿ6ëû Ñèìïñîíà . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62Íàèëó÷øåå ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè65. .III ×èñëåííîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé70Ÿ1ÂâåäåíèåŸ2Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèèŸ3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71Ìåòîä Ýéòêåíà (óñêîðåíèå ñõîäèìîñòè) . . . .

. . . . . . . .73Ìåòîä Íüþòîíà è ìåòîä ñåêóùèõ73. . . . . . . . . . . . . . .Ìåòîä Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèéŸ470. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .74Ìåòîä ñåêóùèõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .76Ñõîäèìîñòü ìåòîäà Íüþòîíà è îöåíêà ñõîäèìîñòè76. . . . .IV Ðàçíîñòíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè79Ÿ1Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .79ßâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80×èñòî íåÿâíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà ñ îïåðåæåíèåì) . .84Ñèììåòðè÷íàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà (ñõåìà Êðàíêà-Íèêîëüñîíà) 87Çàäà÷à Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . .89Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñ âåñàìè. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè. .93Ðàçíîñòíûå ìåòîäû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà . . . . . . . . .95Ÿ2Ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèÿ Ïóàññîíà (çàäà÷à Äèðèõëå) 96Ÿ3Ñõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå. . . . . . . . .

. .98ÎãëàâëåíèåŸ43Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è ÄèðèõëåÏðîñòàÿ èòåðàöèÿ (ìåòîä ßêîáè). . . . . . . . 101. . . . . . . . . . . . . . . 101Ìåòîä Çåéäåëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé èòåðàöèîííûÿ ìåòîä (ìåòîä Ñàìàðñêîãî) . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Ÿ5Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ. Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü. . . . . . . . . . . . . . . . . 102V Ìåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåì ÎÄÓ106Ÿ1Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèŸ2Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Ÿ3Ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäûŸ4Ïîíÿòèå óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâŸ5Æåñòêèå ñèñòåìû ÎÄÓ . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120Ÿ6Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñò-Îáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-ÊóòòàÊóòòà. . . . 106. . . . . . . . . . . . 109. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110. . . . . . . . . . . . . . 113. . . . . .

. . . 115íûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ . . . . . . . . . 121ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Ñèììåòðè÷íàÿ ñõåìà. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 123ÂâåäåíèåÊîëåñî ÑàìàðñêîãîÏðè èçó÷åíèè îáúåêòîâ îêðóæàþùåãî ìèðà ìàòåìàòè÷åñêèìè ìåòîäàìè èñïîëüçóþò ïðíèöèï êîëåñà Ñàìàðñêîãî, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå.  äàííîì êóðñå ðàññìàòðèâàåòñÿ ôàçà ðàçðàáîòêà àëãîðèòìà ýòîãîïðèíöèïà.4Îãëàâëåíèå5Ñîäåðæàíèå êóðñàÃëàâà I×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîé àëãåáðû.Ãëàâà IIÈíòåðïîëèðîâàíèå è ïðèáëèæåíèå ôóíêöèé.Ãëàâà IIIÐåøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì.Ãëàâà IVÐàçíîñòðûå ñõåìû äëÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.Ãëàâà VÐåøåíèå çàäà÷è Êîøè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé è ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Ñïèñîê ëèòåðàòóðû1. Ñàìàðñêèé À. À., Ãóëèí À.

Â. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19832. Ñàìàðñêèé À. À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì Ì. Íàóêà 19833. Áàõâàëîâ Í. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï., Êîáåëüêîâ Ã. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19734. Ñàìàðñêèé À. À. Ââåäåíèå â ÷èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19825. Êàëèòêèí Í.

Í. ×èñëåííûå ìåòîäû Ì. Íàóêà 19786. Ñàìàðñêèé À. À., Íèêîëàåâ È. Ñ. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñåòî÷íûõ óðàâíåíèé7. È. Ñ. Áåðåçèí, Í. Ï. Æèäêîâ Ìåòîäû âû÷èñëåíèéÃëàâà I×èñëåííûå ìåòîäû ëèíåéíîéàëãåáðûŸ1ÂâåäåíèåÐàññìîòðèì ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ) âìàòðè÷íîì âèäåAx = f,ãäåA ìàòðèöà ðàçìåðà(1)(m × m), |A| =6 0,x = (x1 , . . . , xm )T ,f = (f1 , . . . , fm )T .Èç íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöûAñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñó-ùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Âûäåëÿþò äâå ãðóïïû ìåòîäîâ ïîèñêà ðåøåíèÿÑËÀÓ:1. Ïðÿìûå (òî÷íûå) ìåòîäû. Ïðèìåðû: ìåòîä Ãàóññà (òðåáóåòäåéñòâèé), ôîðìóëà Êðàìåðà (òðåáóåò∼ m3∼ m! äåéñòâèé), ìåòîä êâàä-ðàòíîãî êîðíÿ.

Ýòè ìåòîäû ïîçâîëÿþò çà êîíå÷íîå ÷èñëî äåéñòâèéïîëó÷èòü òî÷íîå ðåøåíèå.2. Èòåðàöèîííûå (ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé).x0 ïåðâîå ïðèáëèæåíèå,n→∞xn −−−→ x.6Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñìåòîäîì Ãàóññà7Ïðè ðàáîòå ñ èòåðàöèîííûìè ìåòîäàìè çàäà÷à îáû÷íî ñòàâèòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì: äëÿ äàííîãî>0íàéòèn0 ()òàêîå, ÷òî|xn − x| < ∀n ≥ n0Ìû áóäåì òàêæå ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Îíàôîðìóëèðóåòñÿ òàê: íàéòè âñå òàêèå ÷èñëàäëÿ äàííîé ìàòðèöûAλ è íåíóëåâûå âåêòîðû x, ÷òîâûïîëíÿåòñÿAx = λx.(2)λ íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì, x - ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ìàòA.ðèöûŸ2Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè.

Ñâÿçüýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñ ìåòîäîì ÃàóññàAx = f, |A| =6 0(1)Ïîäñ÷èòàåì ÷èñëî äåéñòâèé, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1) ìåòîäîì Ãàóññà. Äåéñòâèåì áóäåì ñ÷èòàòü óìíîæåíèå èëè äåëåíèå.1. Ïðÿìîé õîä ìåòîäà Ãàóññà:1 × ··· ×0 1 · · · × • A ⇒  .. .. . .... ...0 0 ··· 1m3 −mäåéñòâèé3Êðåñòèêàìè îòìå÷åíû â îáùåì ñëó÷àå íåíóëåâûå ýëåìåíòû.•Ïðåîáðàçîâàíèå ïðàâûõ ÷àñòåé:2.

Îáðàòíûé õîä•m(m−1)äåéñòâèé23. Âñåãîm33+ m2 −mäåéñòâèé3m(m+1)äåéñòâèé2Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè. Ñâÿçü ýòîãî ðàçëîæåíèÿ ñìåòîäîì Ãàóññà8Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëèÇàäàäèìñÿ öåëüþ ïðåäñòàâèòü ìàòðèöóAâ âèäåA = B · C,(2)ãäåb11 0 · · ·0 b21 b22 · · ·0 B =  .... ....  ....bm1 bm2 · · · bmm íèæíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà,1 c12 · · · c1m0 1 · · · c2m C =  .. .. . .. .. ... 0 0 ··· 1 âåðõíåòðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà ñ åäèíèöàìè íà ãëàâíîé äèàãîíàëè.Ïî ôîðìóëå äëÿ ýëåìåíòà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö:aij =mXbil cljl=1Ïåðåïèøåì ïðåäûäóùåå âûðàæåíèå, âûäåëèâ ñëàãàåìîå ñaij =i−1Xbil clj + bii cij +l=1Èç âèäà ìàòðèöûBmXcij :bil cljl=i+1ñëåäóåò, ÷òîmXbil clj = 0l=i+1Òàêèì îáðàçîì, ïðåäïîëîãàÿ, ÷òîaij −cij =bii 6= 0,i−1Pl=1biiïîëó÷èìbil clj,i<j(3)Ðàçëîæåíèå ìàòðèöû íà ìíîæèòåëè.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций