А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. коэффициенты вычисляютсясогласно (2.6), а узлы должны быть такими, чтобы многочленпш(х) = J\(x - х{)t=0Глава 2. Численное интегрирование28был ортогонален с весом д(х) любому многочлену q(x) степени меньше п + 1:Ig(x)dj(x)q(x) dx = 0.2.3. УпражненияНиже приведены упражнения, которые связаны с построением и исследованием точности некоторых квадратурных формул.Упражнение 2.1. Получите следующую оценку погрешности составной квадратурной формулы трапецийоч-л/(ж,_|)I/-2L,+2/(*.)„^(2.8)2d f{x)2хбМ1 dx< max2h (b-а)12Решение. В случае квадратурной формулы трапеций (2.2) подынтегральная функция на каждом частичном отрезке заменяется на интерполяционный многочлен первой степени1SJ" = - ( ( * - Xi^)f{Xi)-(x-xO/fo-,)).Для погрешности аппроксимации имеем/(x)-S<°(*) =(х - Sj-i)(x - XJ) d2f(02dx- '£ = £(x)€ [xi_,,Xi].Тем самым для погрешности квадратурной формулы на частичном интервале получим2.3.
Упражненияv-1w= / /<«) dx29/(**-l)+ /(*<) h =x,-i(x-Xj-d(z-Xi)*S(i)dx2dx2и поэтому|V<x)| ^maxi6li,-i,i,]d2f(x)dx212'Для составной формулы получил искомую оценку (2.8) второго порядкаточности квадратурной формулы трапеций.Упражнение 2.2. Получите формулу Симпсона на основе комбинированияквадратурных формул прямоугольников.Решение. Составим линейную комбинацию из формулы прямоугольников4° =f(Xi-l/2)hи формулы трапецийi}° =/(*.•-!) + /(*.•)на частичном отрезке для того, чтобы получить квадратурную формулубольшей точности. Для формул прямоугольников и трапеций погрешность интегрирования имеет видh^ = JHx)dx-tf =х,~/^^+0(h\.i>\ - J f{x)dx-t\' = -—2—2+ 0(h),x,-\соответственно.
В силу такого представления для погрешности квадратурная формула</<> = I r f + У ) = ^-'}+ 4 /(*-/з>+ /(*<) hГлава 2. Численное интегрирование30будет иметь точность 0(Л 5 ) на частичном отрезке. Это и есть квадратурнаяформула Симпсона.Упражнение 2.3. Показать, что для квадратурных формул интерполяционного типа имеет место равенство£>,='=°Q(x)dx.(2.9).Решение. Квадратурная формула интерполяционного типа точна для всехмногочленов степени п. В частности это имеет место и для f(x) = 1, чтои приводит к доказываемому равенству (2.9) для суммы коэффициентовквадратурной формулы.Упражнение 2.4.
Получите выражение для погрешности квадратурной формулы интерполяционного типа.Решение. Пусть R„(x) — погрешность интерполирования, так чтоf(x) = Ln{x) + Ых).В силу такого представления для погрешности квадратурной формулыполучим представлениеьъп4>п= I g(x)f(x)dx- ^с,/(х,) = /•="{Q(x)Rn(x)dx..Для погрешности интерполяции имееми поэтомуЬ!*' = 0ГП)!/ в(яМх) ^ (€(я))Лв аВ силу этого для погрешности квадратурной формулы следует оценкаь\^\^-^f^J\9(x)u,(x)\dx,2.3.
Упражнения31где постоянная<г*n+x+7 (х)М„ + , = sup1<Е|в,6]dxУпражнение 2.5. Получите квадратурную формулу Гаусса для случая Q(X) = 1при п = 1.Решение. В данном случае система уравнений (2.7) (го = 2п + 1 = 3 )имеет видсо + С] = Ь - а,1 ,2CoZo + C,X, = ~(Ь - О ),22CoXo + Cl^l:•^-3),. 1 « и . -а ).4CoOJo + CiXi :Ее решение естьЬ— а? 'a + b л/3 Ь — а- 32 'а + Ъ •Л 6 - аСо = Ci = —х0=х, =123 2Тем самым имеем квадратурную формулуf *< ч.,Ъ-а((а+ Ъ %/ЗЬ-а\+/(а+ 6/'<*>*= — ( / ( — - т — J ( -л/3 Ь - о^32Упражнение 2.6.
Покажите, что все коэффициенты квадратурной формулыГаусса с Q(X) > О положительны.Решение. Рассмотрим многочлены степени 2п2\(x-a;i)w(xi)/32Глава 2. Численное интегрированиеДля значений этих многочленов в узлах имеем«">={£ Wi.Принимая во внимание, что для этих многочленов квадратурная формулаГаусса точна, получим/ Q(x)0i(x)dx = "^CjOiixj)«i=o= с,.С учетом 0j(a:) > 0, 0,(х) ^ 0 и положительности весовой функциииз последнего равенства получим с* > 0, t = 0,1,...
,п.2.4. ЗадачиЗадача 2.1. Показать, что квадратурная формула Симпсона точна не только для многочленов второй степени, но и для многочленов третьейстепени.Задача 2.2. Получите квадратурную формулуf f(x)dx * /(Ж -' ) + 3 / ( *-^ 8 + 3/( *-/'> + fiXi\Xi - „_,)Х,_|(формула трех восьмых), где а;<_ц/з = х, - (х* - Xj_i)fc/3, и исследуйте ееточность.Задача 2.3.
Получите составную квадратурную формулу Симпсона на основе двукратного применения формулы трапеций: один раз с шагом h,другой — с шагом Л/2.Задача 2.4. Покажите, что квадратурная формула (формула Эйлера, фор-332.4. Задачимула Эйлера—Маклорена)(х<-х<_,) 2 / ..\+^[f (*•) - / (*i-i)Jточна для многочленов третьей степени. Постройте на ее основе квадратурную формулу составного типа.Задача 2.5. На основе стандартных квадратурных формул составного типаполучите квадратурную формулу/ ч/Г^Д*) dx « -L_ ± sin> «±})lf (cos (»±2>!ЛnУп+1 ^+lVn+i/и исследуйте ее пофешность.Задача 2.6. Постройте составные квадратурные формулы (формулы Филона) для вычисления интегралов от быстроосцилирующих функций/(х) = g(X)e\p(iX/e),где </(х) — мало меняющаяся амплитуда колебаний.Задача 2.7.
На частичном отрезке [х,, x,_i] подынтегральная функцияаппроксимируется кубическим сплайномS{° = «ц + Ь{(Х - х{) + ^ ( * - х{)2 + Mx -Xi)\Получите формулу сплайн-квадратуры и исследуйте ее точность.Задача 2.8. Получите квадратурные формулы интерполяционного типапри Q(X) = 1, п = 1,2,3.Задача 2.9.
Докажите, что если квадратурная формула (2.2) точна для любого многочлена степени п, то она является квадратурной формулойинтерполяционного типа.Глава 2. Численное интегрированиеЗадача 2.10. Покажите, что квадратурная формула]*M-x2)f(x)dx*^(/ ( ~ т )+/<° ) + '( т ) )точна на многочленах шестой степени.Задача 2.11. Пусть подынтегральная функция /(х) задана в узлах с погрешностью, т.
е./(*<) = /(*.•) + «.-, » = 0,1,..., п.Получите оценку погрешности для вычисления интеграла (2.1) д(х) > 0при использовании квадратурной формулы Гаусса видаьl ^ n - i j ^ max \6i\ / g(x)dx.aЗадача 2.12. Рассмотрите проблему построения квадратурных формулс равными коэффициентами (формулы Чебышева):/ Q{x)f{x) dx и с(п) ^ Г f{ii).{i=oДля п = 1,2,3,4 получите выражения для узлов квадратурной формулы.Глава 3Прямые методылинейной алгебрыОдной из основных задач вычислительной математики являетсяпроблема решения систем линейных алгебраических уравненийс вещественными коэффициентами. Для нахождения приближенного решения систем уравнений используются прямые и итерационные методы.
Математический аппарат линейной алгебрыбазируется на понятиях нормы вектора и матрицы, числа обусловленности. Рассматриваются классические методы исключениянеизвестных, отмечаются особенности решения задач с симметричной вещественной матрицей.3.1. Задачи решения систем линейных уравненийРассматривается задача нахождения решения системы линейных алгебраических уравненийAx = f.(3.1)Здесь А — квадратная матрица п х п с вещественными коэффициентамиa,ij, i,j = 1,2,...,n, / — заданный вектор с вещественными компонентами, х — искомый вектор. Будем считать, что определитель матрицы Аотличен от нуля и поэтому система уравнений (3.1) имеет единственноерешение. Для его нахождения будем использовать прямые (точные) методы, в которых решение находится за конечное число арифметическихдействий.Входные данные (коэффициенты матрицы А и компоненты вектора / ) заданы с погрешностью, т.е.
вместо (3.1) решается системаГлава 3. Прямые методы линейной алгебры36Основные обозначениях = {х i} = {XtX2,.,Xnj•.— n-мерный векторА = {oij} — матрица с элементами а^Е — единичная матрица— диагональная матрица— норма вектора а;— норма матрицы Аdet(A) — определитель матрицы Аcond (A) — число обусловленностиматрицы А£> =- diag{d] ,d2,...,d„}INIиуравненийАх = / .(3.2)Необходимо оценить влияние погрешностей в задании коэффициентови правой части на решение задачи.
Близость решения задачи к решениюзадачи с точными входными данными связывается с числом обусловленности матрицы.3.2. Алгоритмы решениясистем линейных уравненийРассматриваются основные понятия линейной алгебры: норма вектора, согласованная норма матрицы. Дается оценка погрешности решениясистемы линейных уравнений при возмущении правой части и коэффициентов матрицы на основе привлечения понятия числа обусловленности.Среди прямых методов выделяется метод Гаусса с и без выбора главного элемента, который связан с разложением матрицы на произведениетреугольных матриц. Для задач с симметричными вещественными матрицами выделяется метод квадратного корня (метод Холецкого).3.2. Алгоритмы решения систем линейных уравнений373.2.1.
Обусловленность матрицы и оценки точности решениясистем линейных уравненийСреди норм векторов наиболее употребительны нормы:1=1/ пЧ'/2Матричная норма | | А | | подчинена векторной норме ||х||, еслиИ = max ИМ.""хфО\\х\\Для квадратной невырожденной матрицы А существует единственнаяматрица А~\ называемая обратной, для которой АА~Х = А~ХА = Е.
Число обусловленности матрицы А естьcond(^) = 11^11^-'||.При рассмотрении близости решений уравнений (3.1), (3.2) для погрешности в задании матрицы, решения и правой части используемобозначения6А = А - А, ёх = х — х,6f = / - / .Если матрица А имеет обратную и выполнено условие\\6А\\\\А\\<1,тогда для относительной погрешности справедлива оценкаIHI <condU)(\\6A\\1И "l-cond(A)||M||||4- \И\\\6f\\\||/|| У'Оценка (3.3) выражает устойчивость решения при возмущении правойчасти и коэффициентов уравнения (3.1) (корректность задачи).38Глава 3. Прямые методы линейной алгебры3.2.2.
Метод Гаусса для решения систем линейных уравненийКлассический алгоритм исключения неизвестных (метод Гаусса) связывается с использованием представления исходной матрицы А в виде произведения треугольных матриц. Матрица А называется нижней (левой)треугольной матрицей, если ее элементы аг] = 0 при i < j ; для верхней(правой) треугольной матрицы А — at] = 0, если г > j .Если все главные миноры матрицы А отличны от нуля, т.е.ап ФО,«21/О,<*22det|A|^0,тогда матрица А представима в видеА = LU,(3.4)где L — нижняя треугольная матрица с единичной диагональю и U —верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами.Приведем рекуррентные формулы для определения треугольных матриц L и U:«п = а 1 Ьu\j=a\jiVI—1j =2,3,. ..,71,14цi-i«и = в|| - У ^l,kUkt,i = 2,3,..,П,к=\>-1t11 //и«ij = 0-1} - 2 J >к к], h*~М*=1г = 2,3,...,тг,j = г + \,i} - \\( 3* ~ 22 '•»***• ) 'а" ^*=1'+2,...,n.Эти формулы определяют компактную схему метода Гаусса для разложения матрицы на множители.После того как разложение (3.4) проведено, решение системы уравнений сводится к последовательному решению двух систем уравненийс треугольными матрицами:Ly = / ,(3.5)Ux = у.(3.6)3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
