А.А. Самарский, П.Н. Вабищевич, Е.А. Самарская - Задачи и упражнения по численным методам (2000) (1160081), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. , п.(1.24)В этом случае они называются коэффициентами Фурье разложения функции f(x) по ортонормированной системе {у>,(а;)}"=0. Для погрешностиимеем представлениеИ1 2 Ч1/11 2 -Х> 2 .,2«=0которое следует из (1.23).Глава 1. Интерполирование и приближение функций181.4. ЗадачиЗадача 1.1. На основе записи интерполяционного многочлена Лагранжав форме (1.4) получите оценку погрешности интерполирования в виде\Нх)-Ьп(х)\<^\ш(х)\с постоянной<Г+7(*)da:n+lМ„+| = supЗадача 1.2. Покажите, что интерполяционный полином Лагранжа можетбыть построен по рекуррентным формулам:L0(x) = f(x0),Lk(x) = Lk-i(x) + (f(xk) - Lk-x(xk))wk(x)гдеw,(i) = x-xQ,шк+1(х) = шк(х)(х - xk).Задача 1.З. В представлении интерполяционного полинома Лагранжа(см. (1.4))£„(*) = !>»(*)/(*<)»=оимеет местоTTx?lin(x)1=0= zm,m = 0,l,...,n.1.4.
Задачи19Задача 1.4. Погрешность (см. задачу 1) можно уменьшить за счет выбора узлов интерполяции — необходимо выбрать такие х, G [а,Ь],i = 0,1,..., п, для которых минимизируетсяmax Д ( х - X.)*6[a,6| 1=0Покажите, что оптимальными узлами являются корни приведенногомногочлена Чебышева первого родаТ«+|(*) =22n+iт. е. точкиa+bX, = —cos^(n+l)arocosЬ-оb-ft_flM,/(2г+1)тг\ЬЗадача 1.5. Докажите следующие соотношения1 *о -* Г ' /(го)1-n-1Я*.)-1-1/ыX]/(x 0 ,Xi,...,x„) =1 х„11х0Х\х0-г"Х\1 х„Задача 1.6. Пусть f(x0,x\,...
,х„) = 0 для любых а = х0 < х\ < ... <х„ = Ь. Тогда /(х) на отрезке [о, Ь] есть алгебраический полином степенине больше п.Задача 1.7. Пусть /(ж) = g(x)h(x), тогда справедлива формулапf(x0,xu...,хп) - 22 9(хо,Х\,..., x{)h(xi,xi+i,...,x„).i=0Задача 1.8. В узлах интерполяции х0 < х\ < ... < х„ заданы знаdfчения интерполирующей функции и ее производной: /(х,), —(х ; ),dxГлава 1.
Интерполирование и приближение функций20i = 0,1,..., п. Покажите, что полином Q(x) степени 2п + 1, удовлетворяющий следующим условиям интерполяции (интерполяционный полиномЭрмита)Q(xi) = f(xi),dQdf-[х-(хг) = -[^(ъ)> » = 0,l,...,n,может быть записан в видеЖх) = Е (/(*•) + (* " *.)(«./(*.) + А^(*<)))&(*),»=0где/3, = 1, а, = - 2 - ^ ( а : 0 .Задача 1.9.
При интерполировании функций с равноотстоящими узламих, = х0 + ift, Л > 0, i = 0,1,... ,п определим конечную разность первогопорядка как величинуЛ/fo) = /(*•+•) - f(*i)Конечная разность (к + 1)-го порядка определяется через разность «-гопорядка рекуррентно:д*+7(*.) = д*/(*.-+.) - д*/(*.-)Покажите справедливость равенствf(xn) = / Ы + j , Д/(х 0 ) + ^ Г ^ Д 2 / Ы + Д п / Ы ,Д"/(х 0 )f(x0,Xu...,Xn)=Л„п! •Задача 1.10.
Получите следующую формулу для интерполирования функции в точке х, лежащей вблизи внутреннего узла к, с привлечением1.4. Задачи21значений интерполируемой функции в узлах х* ± ih, г = 0,1,..., то:3!+ 74UI ( * - » » + 1) •••*•••(* + m - 1)Д 2т -/(**-„,+.)+(2т — 1)!+ - Ц - ( 0 + то - 1)• • • в••• (в - т)Д 2 т /(х*_ т ),(2т)!где в = (х - Xk)/h.Задача 1.11. Постройте кубический сплайн с дополнительными условиями(периодический кубический сплайн);Задача 1.12. Приведите расчетные формулы для построения периодического параболического сплайна Sj(x).Задача 1.13.
Пусть /(х) G С{4)[а,Ь] иd2fd2fПокажите, что в этих условиях для погрешности интерполированияестественным кубическим сплайном верна оценкаdpfcFSjmaxх€|а,Цгдеft = max |x,- - X|_i|.<МЛ 4_Р ,р = 0,1,2,Глава 1. Интерполирование и приближение функций22Задача 1.14. Постройте сглаживающий кубический сплайн из условияминимизации функционалая*"с параметром сглаживания а > 0. Сформулируйте соответствующуюпятидиагональную систему уравнений для определения коэффициентовсплайна и докажите ее однозначную разрешимость.Задача 1.15. Система функций {у.(я)}" = 0 называется системой Чебышева на отрезке [а, Ь], еслиdetЧ>о(х0) (р\(х0)<Ро(х\) <Р\(х\)<Рп(хо)<Рп(Х\)#0<Ро(хп) <Р>(Хп)<Рп(х„)при любом расположении узлов а = х0 < х\ < ... < х„ = Ь.
Пустьа0 < а\ < ... < а„ — произвольные действительные числа. Покажите, что функции {ха>}"=0, {ехра,х}"_ 0 образуют чебышевскую системуна произвольном интервале [а,Ь].Задача 1.16. Рассмотрите задачу наилучшего приближения для приближения функции, заданной на множестве точек х0 < х\ < ... < xNс п < N (см. (1.1 )) (метод наименьших квадратов).Глава 2Численное интегрированиеЗадача приближенного интегрирования состоит в вычислении определенного интеграла по значениям подынтегральной функциив отдельных точках.
Рассматриваются классические квадратурныеформулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Проводитсярассмотрение формул интегрирования при заданных узлах квадратурной формулы. В более общем случае проводится оптимизация квадратурных формул за счет выбора узлов.2.1. Задачи приближенного вычисления интеграловРассматривается задача приближенного вычисления определенных интеграловЪоIe(x)f(x)dx(2.1)на некотором классе функций f{x) с заданной весовой функцией д(х).С этой целью подынтегральная функция задается в отдельных точкахXi отрезка [о, b], i = 0 , 1 , . . .
, п. Под квадратурной формулой понимаетсяприближенное равенство?/*(*)/(*)«*е*5>/(*.-),(2-2)в которой Ci, г = 0,..., п — коэффициенты квадратурной формулы. ЧерезГлава 2. Численное интегрирование24Основные обозначенияХ0 < Х\<.../(*) — подынтефальная функцияд(х) — весовая функция<хп — узлы квадратурной формулыa, i = 0 , 1 , .
. . , п — коэффициенты квадратурнойформулыLn{x) — интерполяционный многочлен71-го порядкаi>n = / Q(x)f{x) dx-^2{Cifixi),•=»определим пофешность квадратурной формулы.Минимизация пофешности (увеличение точности) квадратурнойформулы на выбранном классе функций может достигается прежде всегоза счет выбора коэффициентов квадратурной формулы, а также за счетвыбора узлов интефирования.2.2. Алгоритмы приближенного вычисленияинтеграловРассматриваются простейшие квадратурные формулы прямоугольников,трапеций и Симпсона для приближенного вычисления определенныхинтефалов.
Строятся квадратурные формулы интерполяционного типас заданными узлами квадратурной формулы, обсуждаются вопросы оптимизации квадратурные формулы за счет выбора узлов.2.2. Алгоритмы приближенного вычисления интегралов252.2.1. Классические квадратурные формулы составного типаБудем рассматривать задачу вычисления интегралаьI f(x)dx,ат.е.
весовая функция д(х) = 1. Представим интеграл в виде суммыпо частичным отрезкам:0пх'J f{x)dx = Y,ff{x)dx<='*,-,Приведем некоторые простейшие квадратурные формулы для приближенного вычисления интеграла на частичном отрезке [аг,_|,а;*].ФормулаX,f(x)dxxf(zi-1/2) {xi - ж,-,)(2.3)£i-iназывается формулой прямоугольников на частичном отрезке [ж,-_|,э^],где ж,_|/2 = (xi-t + Х{)/2.Для случая равномерной сеткиш = {х | х = Xi = а + ih, г = О,1,..., п, nh — b — а)суммирование (2.3) по г от 1 до N дает составную формулу прямоугольников/ f(x)dxK^2f(xi-]/2)h.При использовании значений интегрируемой функции в узлах простейшей является квадратурная формула трапеций.
В этом случаеJ S (х) dx * /(»<-') + /(»'•) (х . _ Х1_,) ,(2 .4)26Глава 2. Численное интегрированиеа для всего отрезка при использовании равномерной сетки получим«•=•К формуле трапеций мы приходим при замене подынтегральнойфункции /(х) кусочно-линейной функцией, которая проходит через точки (х<_|, /(XJ_I)), (х*,/(х,)). При интерполировании подынтегральнойфункции на частичном отрезке [XJ_I,XJ] с использование трех точек (х<_),/(х,-,)), (х,_| /2 ,/(х,_|/ 2 )) и (х{,/(х{)) получим квадратурную формулуСим пеона частичного отрезка:jHx)^'Js±^lh^iu±lM,,,_„_,).(2.5,На всем отрезке соответствующая квадратурная формула составного типаимеет вид/ / ( х)^.1: / ( а : '"' ) + 4 / ( Г' / 2 ) + / ( а : , ) ^2.2.2.
Квадратурные формулы интерполяционного типаПриведенные выше квадратурные формулы построены на основе разбиения отрезка интегрирования [о,6] на частичные отрезки [х^_ьх;],г = 1,2,...,п и использованию некоторых простейших интерполяцийдля подынтегральной функции на этих отрезках.
Можно ориентироваться на применение квадратурных формул интерполяционного типа, когдаподынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленомсразу на всем отрезке интегрирования [а,Ь].Подынтегральная функция /(х) в (2.1) заменяется интерполяционным многочленом Лагранжа272.2. Алгоритмы приближенного вычисления интеграловгдеdxtoДля коэффициентов квадратурной формулы (2.2) получим представлениеь«=ie{x\*-t)U*i)*< o ,= • •••••»•(2 6)-а2.2.3. Квадратурные формулы ГауссаДля повышения точности квадратурной формулы можно оптимизироватьвыбор не только коэффициентов квадратурной формулы с,, i — О,1,..., п,но и узлов интерполяции ж,-, г = О,1,...
,га. Квадратурные формулы интерполяционного типа (2.2), (2.6) являются точными для алгебраическихполиномов степени п. За счет выбора узлов интерполирования строятся квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности(квадратурные формулы Гаусса), которые точны для любого алгебраического многочлена степени 2п + 1.Потребуем, чтобы квадратурная формула (2.1) была точна для любогоалгебраического многочлена степени т. Это означает, что формула точнадля функций/(ж) = х", а = 0, \,...,т:ГI Q{x)xadx{= ^2,Cix",г = 0,1,...т.(2.7)i=oДля определения 2п + 2 неизвестных с,, Х{, г = О,1,..., п имеем нелинейную систему (2.7) то + 1 уравнений.Для знакопостоянной весовой функции д(х) система уравнений (2.7)при т — 2га + 1 имеет единственное решение. При этом квадратурнаяформула является интерполяционной, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
