Ответы на вопросы без доказательств (1160025), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Оператор A*, сопряженный к ограниченному линейномуоператору A, также является ограниченным линейным, причем ||A*|| = ||A||.41. Вполне непрерывные операторы и их свойства[1] cтр. 272.Линейный оператор A:X→Y (X,Y - банаховы пространства)называется вполне непрерывным (или компактным), если всякоеограниченное множество он переводит в предкомпактное.Примеры.1) Оператор, переводящий банахово пространство в некотороеконечное подпространство компактен.2) Оператор A, определенный на пространстве l2 следующимобразом:A(x1,x2,…,xn,…)=(x1, x2/2,…,xn/n,…) - компактен.3) В пространстве C[a;b] важный класс компактных операторовbобразуют операторы, представимые в виде Ax = y(s) =∫ K ( s ,t )x( t )dta(функия K(s,t) ограничена, а ее точки разрыва лежат на конечном численепрерывных кривых).4) Единичный оператор I в бесконечномерном банаховомпространстве не является компактным. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ.
FAQСтраница 10 из 12Теорема. Компактный оператор переводит слабо сходящуюсяпоследовательность в сильно сходящуюся.Теорема. Оператор, сопряженный к компактному, компактен.Теорема. Если оператор А компактен, а оператор B ограничен, тооператоры AB и BA компактны.42. Слабая компактность гильбертового пространстваТеорема. В сепарабельном гильбертовом пространстве из любойограниченнойпоследовательностиможновыбратьсходящуюсяподпоследовательность.43. Теория Фредгольма уравнения (I-А)*х = f, А - вполне непрерывныйоператор. Подготовительные леммы.Уравнение Фредгольма второго рода:bx( t ) = ∫ K ( t , s )x( s )ds + f ( t ) или x = Ax + f.a(Оператор A:L2→ L2 называется оператором Фредгольма.) Приэтом f,x ∈L2[a;b], а функция K, называемая ядром уравнения,принадлежит классу L2 на квадрате a≤ t, s ≤ b.Уравнение Фредгольма можно переписать в виде Lx = f, где L=(I - A) - компактный оператор.
Если f ≡ 0, уравнение называется однородным.Лемма. [Im(L)]= Im(L), т.е. Im(L) является закнутымподпространством.Лемма. Гильбертово пространство H представляется в виде прямойортогональной суммы: H = Ker(L) ⊕ Im(L*), H = Im(L) ⊕ Ker(L*).Обозначим O = {0}.Лемма. (Ker(L) = O) ⇒ (Im(L) = H); (Ker(L *) = O) ⇒ (Im(L*) = H).Лемма. (Im(L) = H) ⇒ (Ker(L) = O); (Im(L*) = H) ⇒ (Ker(L*) = O).44. Три теоремы ФредгольмаТеорема I.
Неоднородное уравнение Lx = f разрешимо ⇔ праваячасть f ортогональна любому решению неоднородного уравнения Lx = 0,т.е. f ⊥ Ker(L).Теорема II (альтернавтива Фредгольма).Либо неоднородноеуравнение имеет единственное решение при любой правой части, либооднородное уравнение имеет ненулевое решение.Теорема III. Однородное уравнение Lx = 0 и сопряженноеоднородное уравнение L*y = 0 имеют одинаковое и конечное числолинейно независимых решений.45. Спектральная теория линейных ограниченных операторов в банаховомпространстве.
Спектр, резольвента, их свойства. Тождества Гильберта,функции от оператораПусть на банаховом пространстве X задан линейный операторA:X→X. Резольвентным множеством для A называется множество ρ(A)⊆C чисел λ (регулярных значений), для которых оператор (A-λI)-1(резольвента А) определен на всем А и ограничен. Спектром Aназывается множество σ(A) = C\ρ(A). Число λ называется собственным Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 11 из 12значением A, если Ker(A-λI)≠O, а всякий ненулевой вектор x из Ker(A-λI)называется собственным вектором, отвечающим данному λ.Теорема.
Резольвентное множество оператора открыто, а спектрзамкнут.Теорема. Спектр оператора А ограничен: sup |λ∈σ(A)| = r ≤ A, гдевеличинаr,называемаяспектральнымрадиусомоператора,определяется какr =lim n An . Если |λ|>r,то резольвента какn →∞операторная функция разлагается в ряд Лорана: R(λ,A) =∞An∑λn =0n +1.Тождество Гильберта. Пусть λ, µ∈σ(A). Тогда R(λ,A) - R(µ,A) = (µ-λ)R(λ,A)R(µ,A).Обозначим через F(A) - множество операторных функций,аналитичных (т.е. разлогающихся в ряд Лорана) в окрестности σ(A).Теорема.
Для любых двух аналитичных операторных функций f, g ∈F(A), любых двух чисел α,β ∈ C:1) аналитичны их линейная комбинация и суперпозиция: αf + βg ∈F(A), f⋅ g ∈ F(A);2) если ряд f(λ) = Σαkλk сходится в некоторой окрестности σ(A), то f(A) = ΣαkAk .46. Спектральная теория вполне непрерывных операторов в гильбертовомпространствеПусть A:H→H - вполне непрерывный (компактный) оператор нагильбертовом пространстве H.Теорема.
Число 0 входит в спектр A.Теорема. Ненулевые элементы спектра A являются собственнымизначениями конечной кратности.Теорема. При любом δ>0 оператор А имеет лишь конечное числолинейно независимых собственных векторов, отвечающим собственнымзначениям, по модулю превосходящим δ.Теорема. 0 - единственная возможная предельная точка спектра А.47. Спектральная теория самосопряженных операторовПусть оператор A:H→H в гильбертовом пространстве H являетсясамомопряженным, т.е.
(Ax,y)= (x,Ay) для любых двух векторов x, y.Теорема. (А - самосопряженный) ⇒ (||A|| =sup ( Ax , x )x =1).Теорема. (А - самосопряженный) ⇔ (величина (Ax,x) являетсядействительным числом при любом x)Теорема.Собственныевектора,отвечающиеразличнымсобственным значениям А, ортогональны.48. Спектральная теория вполне непрерывных самосопряженныхоператоров.
Существование собственных значений( Ax , x )Пусть А - самосопряженный оператор. Обозначим m(A) = inf,x =1( Ax , x )M(A) = sup.x =1 Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 12 из 12Теорема. Спектр σ(A) компактного самосопряженного оператора Алежит на отрезке [m(A);M(A)] .Теорема. Самосопряженный компактный оператор имеет хотя быодно собственное значение, равное его норме: λ = ||A||.49.
Теорема Гильберта-Шмидта, формула ШмидтаОбозначимчерезek нормированныйсобственныйвектор,отвечающий собственному значению λk.Теорема(Гильберт-Шмидт).ПустьАкомпактный,самосопряженный оператор. Тогда для любого x∈Im(A) справедливопредставление в виде сильно сходящегося ряда Фурье ∑( x ,ek )ek = x.λk ≠0 Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
