Ответы на вопросы без доказательств (1160025), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Тогда функция f интегрируема на A, причемвозможен предельный переход в неравенстве: I[f(x)] ≤ K. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 5 из 1217. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Лебегуограниченной функцииТеорема (Лебег). Для того, чтобы ограниченная функция былаинтегрируема по Лебегу на множестве E ⇔ чтобы она была измерима наE.18. Теорема ФубиниТеорема (Фубини). Интеграл от интегрируемой на D=[a;b]x[c;d]функции двух переменных f(x,y) может быть сведен к повторному:bdac∫∫ f ( x , y )dµ = ∫ dµx ∫ dµx f ( x , y ) .D19.
Классы Lр. Неравенства Гельдера и МинковскогоОпределение. Функции f(x) , для которых функция |f(x)|p измеримаи интегрируема на E, составляют линейное пространство Lp(E). Впространстве Lp вводится норма:1|| f ||p =p∫ f ( x ) dµEp.Утверждение. Для функций f ∈ Lp, g ∈ Lq (1/p+1/q=1,p>1,q>1)выполняется неравество Гельдера:∫Epf ( x ) g ( x ) dµ ≤ ∫ f ( x ) dµE1pq∫ g ( x ) dµEУтверждение.
Для функцийнеравенство Минковского:p∫ f ( x ) + g ( x ) dµE1pp≤ ∫ f ( x ) dµE1pf,g1q.∈q+ ∫ g ( x ) dµELp1(p≥1)выполняетсяq20. Полнота пространства Lр.Теорема. Для измеримого множества E и p≥1 пространство Lp(E)является полным.21. Плотность непрерывных функций в Lр.Теорема. Для любого измеримого ограниченного множества E⊂R,множество C(E) непрерывных функций, заданных на E, плотно в Lp(E).22. Непрерывность в метрике Lр.Теорема. Для любого измеримого ограниченного множества E⊂R,любая функция f∈Lp(E) непрерывна по норме пространства Lp, т.е.∀ε ∃δ=δ(ε)>0: ||f(x+h) - f(x)||Lp < ε при |h| < ε.23. Нормированные пространства. Основные определения и простейшиесвойстваНормированным пространством называется линейное векторноепространство с нормой.
Последовательность {xn} в нормированномпространстве X сходится к x сильно (по норме), если || xn - x || → 0.Полное нормированное пространство называется банаховым (илиB-пространством). Примеры банаховых пространств: Rn, C[a;b], Cm[a;b],Lp(E), lp. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 6 из 12Оператор A:X→Y называется непрерывным в точке x∈X, если длялюбойпоследовательности{xn},сильносходящейсяx,последовательность {yn=Axn} сильно сходится к элементу y = Ax.Теорема.
Если линейный оператор непрерывен в какой-либо точкеx0 пространства X, то он непрерывен на всем пространстве X.24. Линейные ограниченные операторыЛинейный оператор A:X→Y называется ограниченным, еслисуществует постоянная M>0, такая что ||Ax||Y ≤ M||x||X. Наименьшаяконстанта M, удовлетворяющая этому неравенству называется нормойоператора А: ||A|| = M.Теорема. Ограниченность линейного оператора эквивалентна егонепрерывности.25. Теорема о том, что пространство операторов {A:Х→Y} банахово, если Y-банаховоУтверждение.
Множество линейных операторов L={A:Х→Y} cнормой ||A||, является нормированным линейным пространством.Теорема. Если пространство Y - банахово, а X - произвольноелинейное нормированное, то пространство операторов L={A:Х→Y}является банаховым.Следствие. Сопряженное пространство X*={G:X→R} всегдабанахово, т.к. R банахово.26. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствияТеорема (Банах-Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности). Пусть X,Y - банаховы пространства, а {An} - последовательностьоператоров из L={A:Х→Y}.
Если для любого x∈X последовательность ||Anx|| ограничена, то последовательность ||An|| также ограничена.27. Теорема Неймана об обратном операторе (I-А) -1Обратным к оператору А:X→Y называется оператор A-1 , такой, что(Ax = y) ⇔ (A-1y = x). Оператор, для которого (на всем Y) существуетобратный, называется обратимым.
Оператор, обратный к линейному,также является линейным.Теорема. Пусть А:X→Y - линейный ограниченный оператор. Еслисуществует постоянная m>0, такая что ||Ax|| ≥ m||x|| для ∀x∈X, то для Асуществует ограниченный обратный оператор A-1.Теорема (Нейман). Пусть на пространстве X задан линейныйоператор A:X→X, причем ||A||=q<1. Тогда (I - A) имеет ограниченныйобратный оператор (I - А)-1.28. Теорема Банаха об обратном операторе[1] стр.
259.Теорема. Пусть линейный ограниченный оператор А: E↔E1 задаетвзаимно однозначное соотвествие пространств E и E1. Тогда существуетограниченнй обратный оператор (A-1).Определение. Множество X, представимое в виде суммыконечного или счетного числа нигде не плотных множеств, называется Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 7 из 12множеством первой категории. Все остальные множества называютсямножествами второй категории.Лемма (Бэр).
Всякое полное множество есть множество второйкатегории.Лемма. Пусть на банаховом пространстве X определен линейныйоператор A:X→Y. Определим систему множеств Xn={x∈X | ||Ax|| ≤ n||x||}.Тогда пространство X есть объединение множеств Xn, причем среди этихмножеств найдется хотя бы одно, всюду плотное в X.29.
Теорема Хана-Банаха и ее следствияТеорема (Хан-Банах). Пусть p - однородно-выпуклый функционал,определенный на линейном пространстве L над R, и пусть L0 - линейноеподпространство в L. Если f0 - линейный функционал на L0, подчиненныйp, т.е. на L0 выполнено неравенство || f0(x) || ≤ p(x), то f0 может бытьпродолжен до линейного функционала, подчиненного f на всем L.30. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах[1], стр. 215.В гильбертовом пространстве H: G(x) = (g,x), g∈H.Теорема (Ф.
Рисс). В пространстве C[a;b] всякий непрерывныйbлинейный функционал представляется в виде F(f) =∫ f ( x )dΦ( x ) , где Φ(xa) - функция с ограниченным изменением.∞В пространстве lp : F(x) =∑fn =1nxn , где f={fn}lq (1/q+1/p=1).bВ пространстве Lp[a;b]: F(f) =∫ f ( t )h( t )dt , где h(t)∈Lq (1/q+1/p=1).a31. Слабая сходимостьПоследовательность {xn} элементов линейного топологическогопространства E называется слабо сходящейся к x0, если для любогонепрерывного функционала g(x):E→R последовательность {g(xn)}сходится к g(x0).Утверждение.
Если последовательность слабо сходится, то онаограничена.Утверждение. Всякая сильно сходящаяся последовательностьсходится и слабо.Теорема. Последовательность {xn} из пространства X сходитсясильно ⇔ последовательность {f(xn)} сходится равномерно наединичном шаре в X*, т.е.
на множестве функционалов f , таких что ||f|| ≤1.32. Гильбертовы пространства, основные определения и свойстваЕвклидовым называется линейное вектороное пространство соскалярным произведением. Скалярное произведение задает евклидовунорму: || x || = (x, x)1/2.Два вектора называются ортогональными (x⊥y), если (x,y) = 0.Полное бесконечномерное евклидово пространство H называетсягильбертовым. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 8 из 12Примеры: l2, L2.Утверждение.Любыедвасепарабельныхгильбертовыхпространства изоморфны между собой, и изоморфны пространству l2.Неравенство Коши.
| (x,y) | ≤ || x || ⋅ || y ||.Равенство параллелограмма. ||x + y||2 + ||x - y||2 = 2(||x||2 + ||y||2).Утверждение. Норма удовлетворяет равенству параллелограмма⇔ ее можно задать с помощью скалярного произведения.Теорема. Замкнутое выпуклое множество в гильбертовомпространстве содержит один и только один элемент с минимальнойнормой.33. Теорема Б.Леви о прямой сумме подпространствТеорема (Леви).
Пусть в гильбертовом пространстве H заданоподпространство L. Каждый элемент x∈H может быть единственнымобразом представлен в виде x = y + z, где y∈L, а z⊥x, т.е. z∈L⊥. При этом ||x - y|| = min {||x - u||, u∈L}.Таким образом, H = L⊕L⊥.34. Теорема Рисса-Фреше об общем виде линейного функционала вгильбертовом пространствеТеорема. Всякий линейный функционал G в гильбертовомпространстве H записывается в виде скалярного произведения: G(h)=(g,h), где g - фиксированный вектор из H, однозначно определяемыйфункционалом G, причем ||g||=||G||.35. Ортонормированные системы, полнота и замкнутостьПодпространством, порожденным системой векторов {ϕn},называется наименьшее (по включению) подпространство, содержащее{ϕn}.
Система элементов {ϕn} евклидова пространства E называетсяполной, если не существует ненулевого элемента x, ортогональноговсем элементам {ϕn}, т.е. если {(∀n: x⊥ϕn) ⇒ (x=0)}. Эта системаназываетсязамкнутой,еслипорожденное{ϕn}замкнутоеподпространство есть все E.Система векторов {ϕn} в евклидовом пространстве R называетсяортонормированной, если (ϕi,ϕj) = δij.
Если система {ϕn} при этом полна,то она называется ортонормированным базисом в R.Утверждение. В сепарабельном евклидовом пространстве всякаяортогонормированная система не более чем счетна.Утверждение. Всякую ЛНЗ систему векторов можно перевести вортонормированную с помощью процедуры Шмидта.Утверждение.
В гильбертовом пространстве полнота системывекторов эквивалентна ее замкнутости.36. Неравенство Бесселя, равенство ПарсеваляПусть {ϕk} - ортонормированная система векторов в гильбертовомпространстве H, a f - произвольный вектор. Числа ck=(f, ϕk) называютсякоэффициентами Фурье, а ряд Σckϕk называется рядом Фурье для f. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 9 из 12Утверждение. Коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенству∞Бесселя:∑ck =12k≤ f2. Если система {ϕk} при этом является полной, тоэто неравенство переходит в равенство Парсеваля, а ряд Фурьесходится к элементу f.37. Существование ортонормированного базиса в сепарабельномгильбертовом пространствеТеорема.
В сепарабельном евклидовом пространстве существуетортонормированный базис.38. Изометрия и изоморфизм сепарабельного гильбертового пространства39. Теорема Рисса-ФишераТеорема. Пусть {ϕn} - произвольная ортонормированная система вполном евклидовом пространстве H и пусть числа {ci} таковы, что ряд∞∑сk =12kсходится. Тогда существует такой вектор f ∈ H , что ck=(f , ϕk), а || f∞||2 =∑сk =12k.40. Сопряженный оператор и его свойстваСопряженным для оператора A:X→Y называется оператор A*:Y*→X*,такой, что равенство G(Ax) = [A*G](x) выполняется для любогофункционала G∈Y* и любого x∈X.Примеры. Для оператора A=||aij|| в Rn, сопряженный есть A*=||aji||. Впроизволном гильбертовом пространстве: (g,Ax)=(A*g,x).Теорема.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
