Ответы на вопросы без доказательств (1160025)
Текст из файла
Функциональный анализ. FAQСтраница 1 из 12Вопросы по курсу "Функциональный анализ"Ответы на вопросы. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su, http://alex.motor.ru)Литература:[1]. А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций ифункционального анализа.[2]. А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани.
Теоремы и задачи функциональногоанализа.[3]. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе.1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой[1] стр. 73Точка x0 называется предельной для множества Е, если любая ееокрестность содержит по меньшей мере одну точку x из E, отличную отx0. Если xo∈E, но не является предельной точкой, то она называетсяизолированной точкой E. Множество E' всех предельных точек Еназывается производным множеством для Е. Если любая предельнаяточка Е принадлежит этому множеству (E'⊆E), то множество Еназывается замкнутым. Если E=E', то множество Е называетсясовершенным.
Множество [E]=E+E' называется замыканием E. Точкаx0 называется внутренней точкой множества Е, если существуетокрестность x0, полностью лежащая в E. Множество Е называетсяоткрытым, если все его точки внутренние.Теорема. Всякое открытое множество на числовой прямойпредставляет собой сумму конечного или счетного числа попарноенепересекающихся интервалов (при этом рассматриваются также"бесконечные" интервалы).Следствие. Всякое замкнутое множество получается из прямойвыбрасыванием конечного или счетного числа интервалов.2.
Внешняя мера и ее свойства[1] стр. 293.Определение. Внешней мерой µ*(A) множества А называетсянижняя грань меры элементарных множеств, включающих множествоА.Свойства внешней меры.1. (E1 ⊆ E2 )⇒ µ*(E1) ≤ µ*(E2) (монотонность)2. (E = ∪Ek, k∈N) ⇒ (µ*(E) ≤ Σµ*(Ek))3. (ρ(E1,E2)>0) ⇒ (µ*(E1∪E2) = µ*(E1)+µ*(E2))3. Измеримые множества[1] стр. 295.Определение. Множество А называется измеримым по Лебегу,если для любого ε > 0 найдется такое элементарное множество B, что µ*(A∆ B) < ε. Функция µ*, рассматриваемая только на измеримых множествах,называется лебеговой мерой µ. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 2 из 124. Измеримость открытого множества, объединения счетного числаизмеримых множеств, измеримость замкнутого множества.5. Измеримость дополнения, пересечения счетного числа множеств[1] стр.
295.Теорема. Любое открытое множество измеримо, причем его мераравна сумме мер непересекающихся составляющих его интервалов.Теорема. Дополнение измеримого множества измеримо.Это следует из равенства (E\A) ∆ (E\B) = A ∆ B.Теорема. Сумма и пересечение конечного или счетного числаизмеримых множеств есть измеримые множества.Теорема. Любое замкнутое множество измеримо.6. Счетная аддитивность меры[1] стр.
299.Теорема(счетнаяаддитивностьмеры).Если{An}последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств иA - объединение этих множеств, то µ(A)=Σ µ(An).Множество, представимое в виде пересечения конечного илисчетного числа открытых множеств, называют множеством типа Gδ.Множество, представимое в виде объединения конечного или счетногочисла замкнутых множеств, называют множеством типа Fσ.Теорема.
Если множество E измеримо, то существует множество E1типа Fσ и множество E2 типа Gδ, такие, что E1⊆E⊆E2 и |E1|=|E2|=|E|.7. Измеримые функции и их свойства[1] стр. 323.Определение. Пусть X и Y - два произвольных множества и в этихмножествах выбраны системы подмножеств SX и SY соответственно.Функция f:X→Y называется (SX,SY)-измеримой, если для любогоподмножества А∈SY его прообраз содержится в SX : f -1(A) ∈SX.Теорема.
Суперпозиция измеримых функций измерима.Теорема. Измеримость действительной функции f(x) эквивалентнаизмеримости любого из множеств {x | f(x) < c}, {x | f(x) > c}, {x | f(x) ≤ c},{x | f(x) ≥ c} при любом с∈R.Теорема.Сумма, разность и произведение двух измеримыхфункций измеримы. Частное измеримых функций f и g измеримо, приусловии, что g ≠ 0.Определение.
Говорят, что некоторое свойство A(x) выполненопочти всюду на E, если множество точек x', где A(x') не выполнено,имеет меру 0.Определение. Функции f и g, заданные на измеримом множествеЕ, называются эквивалентными, если µ{x | f(x) ≠ g(x)}. Иначе говоря,функции эквивалентны, если они равна на Е почти всюду.Теорема. Если функция g измерима, а f ~ g, то функция f такжеизмерима.8. Измеримость предела измеримых функций[1] стр. 326.Теорема.Пределf(x)сходящейсяприпоследовательности fn(x) измеримых функций измерим.каждомx∈X Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ.
FAQСтраница 3 из 129. Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и почти всюду[1] стр. 330.Определение. Говорят, что последовательность измеримыхфункций fn(x) сходится по мере к функции f(x), если для любого σ>0:µ{x | f(x) - fn(x) ≥ σ} → 0 при n → ∞.Теорема (Лебег). Если последовательность измеримых на Ефункций {fn(x)} сходится почти всюду на Е к некоторой предельнойфункции f(x), то она сходится к той же самой предельной функции помере.Теорема (Рисс). Пусть последовательность измеримых функций{fn(x)} сходится по мере к f(x). Тогда из этой последовательности можновыбрать подпоследовательность, сходящуюся к f(x) почти всюду.10.
Интеграл Лебега. Свойства верхних и нижних сумм. Интегрируемостьпо Риману и Лебегу[1] стр. 334.Определение. Измеримая функция f(x) называется простой, еслиона принимает не более чем счетное число значений.Теорема. Функция f(x), принимающая не более чем счетное числозначений {yn} измерима ⇔ все множества An = {x | f(x) = yn} измеримы.Теорема. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно,чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерносходящейся последовательности простых функций.Определение. Интегралом Лебега по множеству А от простойфункции f(x) называется сумма рядаI = Σ yn µ(An) , где An = {x∈A | f(x) = yn}.Если данный ряд абсолютно сходится, то функция f(x) называетсяинтегрируемой или суммируемой по мере µ на множестве А.Теорема.
Если функция f(x) интегрируема на некотором отрезке[a;b] по Риману, то она также интегрируема и по Лебегу, причеминтеграл Лебега равен интегралу Римана.11. Свойства интеграла Лебега. Интегрируемость по Лебегу измеримой иограниченной функции[1], стр. 339Утверждение. Пусть функции рассматриваются на некотороммножестве А. Тогда• I[1] = µ(A)• I[k f(x)] = k I[f(x)]• I[f(x) + g(x)] = I[f(x)] + I[g(x)] (аддитивность)Причем из существования интегралов в правой части вытекаетсуществование интеграла в левой.Утверждение (монотонность). Если интегрируемая на множествеА функция неотрицательна: f(x) ≥ 0, то I[f(x)] ≥ 0.Утверждение.
Если функции f(x) и g(x) эквивалентны, то I[f(x)] =I[g(x)], причем оба интеграла либо существуют, либо не существуютодновременно.Утверждение. Если функция g(x) интегрируема на А и почти всюду| f(x) | ≤ g(x), то f также интегрируема на А. Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su)Функциональный анализ. FAQСтраница 4 из 12Утверждение. Интегралы I[f(x)] и I[|f(x)|] существуют или несуществуют одновременно.Теорема. Всякая ограниченная и измеримая на множествеконечной меры функция интегрируема на этом множестве.12. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции13.
Счетная аддитивность интеграла Лебега[1] стр. 341Теорема. Если A= ∪An, множества Аi попарно не пересекаются иряд∑ ∫| f ( x ) | dµnAnсходится, то функция f интегрируема на А и∫ f ( x )dµ = ∑ ∫ f ( x )dµ .AnAn14. Интеграл Лебега от произвольной неограниченной функции15. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега.
Теорема Лебега определьном переходе под знаком интеграла[1] стр. 345Теорема(абсолютнаянепрерывность).Еслифункцияf(x)интегрируема на множестве А, то для каждого ε>0 найдется такое δ(ε)>0, что∫ f ( x ) dµ<ε для всякого измеримого e ⊂ A, такого что µ(e) < δ.eТеорема (Лебег). Если последовательность {fn(x)} на А сходится к fи при всех n:|fn(x)| ≤ g(x),где g(x) интегрируема на А, то функция f(x) также интегрируема наАи16.
Теоремы Леви и Фату о предельном переходе под знаком интегралаТеорема (Леви). Пусть {fn(x)} - последовательность интегрируемыхна множестве А функций, причем fn(x) ≤ fn+1(x)(т.е. при любом xпоследовательность неубывает), а интегралы этих функций ограниченыв совокупности: | I[fn(x)] | ≤ M. Тогда почти всюду на Апоследовательность {fn(x)} сходится к некоторой функции f(x),интегрируемой на А, причем I[fn(x)] → I[f(x)].Теорема(Фату).Пусть{fn(x)}последовательностьнеотрицательных интегрируемых на множестве А функций, сходится кнекоторой функции f(x) почти всюду, а для интегралов выполненонеравенство I[fn(x)] ≤ K.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
