Список задач с решениями по функциональному анализу (1160004), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рассмотрим скалярное произведение:
.
Отсюда вытекает, что 
. Далее:
.
Следовательно, оператор А неотрицательный.
41) Доказать, что оператор 
, 
является самосопряжённым и неотрицательным.
Решение:
Рассмотрим скалярное произведение:
Следовательно, . Далее:
.
Следовательно, оператор А неотрицательный.
42) Пусть 
, 
фиксировано. Доказать, что разностный оператор 
, 
удовлетворяет соотношению 
.
Решение:
Рассмотрим скалярное произведение:
Отсюда вытекает, что 
.
43) Пусть 
– самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве 
, причем 
. Доказать, что если существует ограниченный оператор 
, то обратный оператор тоже самосопряжен.
Решение:
Поскольку 
– ограниченный, то 
. Тогда 
.
44) Пусть - ограниченный самосопряженный оператор, 
. Доказать, что оператор 
существует.
Решение:
Предположим, что 
. Тогда 
. Рассмотрим скалярное произведение 
и воспользуемся самосопряженностью оператора : 
. Следовательно, предположение верно только при 
. Отсюда очевидно следует обратимость оператора 
.
45) Рассмотрим оператор 
, для 
. Доказать, что самосопряжен в 
и 
. Найти оператор 
.
Решение:
В гильбертовом пространстве оператор является самосопряженным, если 
выполнено 
. Пространство становится гильбертовым, если для любых двух его элементов 
и 
положить 
. Сходимость этого ряда для любых 
и 
из вытекает из неравенства Буняковского для рядов.
Рассмотрим скалярное произведение
.
Таким образом, оператор является самосопряженным.
Далее: 
.
Теперь рассмотрим оператор 
. Очевидно, 
. Значит, 
.
46) В вещественном линейном пространстве 
найти собственные значения и собственные векторы оператора: А) 
; В) 
.
Решение 
следовательно, если 
, то собственными значениями оператора являются:
1. 
Собственные вектора - четные функции
2. 
Собственные вектора - нечетные функции
Решение 
Исходя из этого будет искать собственные вектора в виде 
. 
Таким образом получаем, что 
-- собственный вектор, отвечающих собственному значению 
.
47) В пространстве 
рассмотрим оператор 
. Найти 
.
Решение:
Видно, что при 
резольвента не существует, поэтому 
. Пусть теперь 
, тогда 
Таким образом, при 
резольвента не существует, поэтому 
. Спектр оператора -- 
, при остальных значениях 
: 
48) Рассмотрим оператор 
для 
, где 
. Найти 
.
Решение:
(Домрина, Леонтьева, задача 10.6). Очевидно, 
. Пусть 
. Тогда для любого 
определен 
, причем 
, что доказывает регулярность значения . Значит, 
.
49) Доказать, что оператор 
для , вполне непрерывен и найти его спектр.
Решение:
Непрерывность:
А – непрерывен (проверяется по определению) действует в конечномерное пространство => он вполне непрерывен. (образ ограниченного множества компактен по т. Больцано – Вейерштрасса) . См. Теорема(Треногин, параграф 20.1, т.3 и следствие из неё)
Спектр:
Решая систему, получим, что при любом 
её решение – только нулевой вектор.
- точка остаточного спектра, т.к. 
50) Доказать, что оператор
вполне непрерывен и найти его спектр.
Решение:
Оператор вполне непрерывный, т.к. он интегральный (по доказанному на лекциях). Так как 
, где 
, собственные векторы надо искать в виде 
. Но тогда 
, и собственных векторов у оператора нет, и весь спектр состоит из точки
51) Доказать, что оператор 
вполне непрерывен и найти его спектр.
Решение:
Оператор вполне непрерывный, т.к. он интегральный (по доказанному на лекциях).
Поэтому собственный элементы A нужно искать в виде 
Откуда 
. Так как оператор вполне непрерывный, то в спектр также входит точка , и других точек спектра нет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
