Список задач с решениями по функциональному анализу (1160004), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Функция будет равна:

Значит,

26) Доказать, что следующие функционалы в пространстве являются линейными непрерывными и найти их нормы:

1. ;

где , .

Решение:

1. Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный он – ограниченный (§7, Теорема 2).

Оператор – ограниченный, если .

Норма оператора :

Покажем, что оператор ограниченный:

Значит, - ограниченный и непрерывный.

Если найти функцию , на которой , то равна .

Рассмотрим:

Заметим, что .

Значит,

1. Докажем линейность функционала:

Покажем ограниченность функционала:

Значит, - ограниченный и непрерывный.

- непрерывный, значит если , то . Если найти последовательность , сходящуюся к , на котором достигает 3, то равна 3.

Рассмотрим:

Функция будет равна:

Заметим, что .

Значит,

27) Будут ли ограниченными в пространстве следующие линейные функционалы:

1. ;

2. ?

Решение:

28) Доказать, что следующие функционалы являются линейными непрерывными и найти их нормы:

1. , ;

2. , .

Решение:

1. Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный он – ограниченный (§7, Теорема 2).

Оператор – ограниченный, если .

Норма оператора :

Покажем, что оператор ограниченный:

Значит, - ограниченный и непрерывный.

- непрерывный, значит если , то . Если найти последовательность , сходящуюся к , на котором достигает 1, то равна 1.

Рассмотрим:

Функция будет равна:

Заметим, что .

Значит, .

1. Докажем линейность функционала:

Покажем ограниченность функционала:

- непрерывный, значит если , то . Если найти последовательность , сходящуюся к , на котором достигает 1, то равна 1.

Рассмотрим:

Заметим, что .

Значит, .

29) Доказать, что функционал , является линейным непрерывным, и найти его норму.

Решение:

Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Линейный оператор – непрерывный он – ограниченный (§7, Теорема 2).

Оператор – ограниченный, если .

Норма оператора :

Покажем, что оператор ограниченный:

Значит, - ограниченный и непрерывный.

Если найти последовательность , на которой , то равна .

Рассмотрим . Заметим, что .

Значит, .

30) Для положим . Доказать, что – ограниченный линейный функционал.

Решение:

Для доказательства линейности рассмотрим аксиомы:

Оператор – ограниченный, если .

Докажем ограниченность функционала:

31). Найти сопряженный к оператору , если

A).

B).

Решение.

A). Положим , тогда пространство - гильбертово. В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору , если . Рассмотрим скалярное произведение: . Таким образом, .

B). Рассмотрим скалярное произведение: . Тогда сопряженный оператор имеет вид: .

32). Найти сопряженный к оператору , если

A).

B).

при

Решение.

A). В гильбертовом пространстве оператор является сопряженным к оператору , если . Комплексное пространство является гильбертовым, если положить . Рассмотрим скалярное произведение: = . Таким образом, .

B).Рассмотрим скалярное произведение: = . Тогда .

33) Найти сопряженный к оператору ,если:

1. ;

2. , при .

Решение.

1. В гильбертовом пространстве H теорема Рисса-Фреше (§10, Теорема 2) дает отождествление пространства со своим сопряженным, поэтому для оператора равенство определяет сопряженный оператор .

Комплексное пространство становится гильбертовым, если выбрать скалярное произведение как:

Сходимость этого ряда следует из неравенства Коши-Буняковского:

Рассмотрим:

Таким образом, сопряженный оператор имеет вид:

1. Рассмотрим:

Таким образом, сопряженный оператор имеет вид:

34)Какие из следующих операторов являются вполне непрерывными:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ?

Решение.

1. Ответ: Нет

Оператор является вполне непрерывным, если он любое ограниченное множество переводит в компактное.

Воспользуемся критерием компактности в (§12, Теорема 2). Для того, чтобы множество непрерывных функций из было компактным необходимо и достаточно:

1. ;

Рассмотрим функцию:

, т.к. и .

При этом функция:

не является равномерно непрерывной, т.к.

не является ограниченной на .

Значит, оператор не является вполне непрерывным.

1. Ответ: Да

Воспользуемся доказательством критерия компактности в .

Если функция , то

является вполне непрерывным.

В данном случае .

Значит, оператор является вполне непрерывным.

1. Ответ: Да

- непрерывно дифференцируема на . Значит, равностепенная непрерывность равносильна равномерной ограниченности ее производной.

Заметим, что - ограничена на в силу непрерывности x(t).

Значит, оператор является вполне непрерывным.

1. Ответ: Да

Воспользуемся доказательством критерия компактности в .

Если функция , то

является вполне непрерывным.

В данном случае .

Значит, оператор является вполне непрерывным.

1. Ответ: Нет

Рассмотрим функцию

, но

не является равностепенно непрерывной, т.к.

не является ограниченной на .

Значит, оператор не является вполне непрерывным.

35) Будет ли вполне непрерывным оператор , ?

Решение:

Нет, не будет.

Пусть — четная функция. Тогда .

Возьмем . Тогда, как рассмотрено в задаче 34 пункт Е, имеет неограниченную производную на множестве оператор не является вполне непрерывным.

36) При каком условии на функцию оператор , будет вполне непрерывным?

Решение:

Докажем, что искомым условием на функцию является условие .

Пусть это не так, т. е. .

Тогда в силу свойств непрерывных функций .

Не ограничивая общности, будем полагать, что всюду в окрестности точки (случай рассматривается аналогично). Рассмотрим функцию

Легко заметить, что .

Имеем , где , т. к. .

Итак, образ замкнутого единичного шара из пространства при отображении А не есть равностепенно непрерывное множество функций А не является вполне непрерывным оператором.

Мы пришли к противоречию .

37) Будет ли вполне непрерывным оператор , если он рассматривается как действующий:

А) ;

B) ;

C) ?

Решение:

А)Рассмотрим последовательность , . Тогда и . Т.е. - неограниченная последовательность при . Следовательно, образ замкнутого единичного шара из пространства при отображении А не является равностепенно непрерывным множеством функций оператор А не вполне непрерывный.

B) Ответ: нет.

Рассмотрим последовательность , , . Тогда и . Очевидно, что последовательность сильно сходится к 0, а значит и слабо при . Тогда докажем, что из нельзя выделить фундаментальную последовательность в . Пусть это не так и фундаментальная последовательность . Тогда . По признаку Коши имеем: . Из сходимости первого слагаемого к 0 вытекает необходимость сходимости второго, т.е. . А это не так. Значит, получили противоречие оператор А не вполне непрерывный.

С) Ответ: да.

Рассмотрим образ F множества при отображении А. В пространстве . Следовательно, если , то F – равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно (в силу ограниченности множества производных) Согласно теореме Арцела, F компактно. А значит, оператор А – вполне непрерывный.

38) Сформулировать критерий компактности в . Какие из следующих операторов вполне непрерывны (при ):

А) ;

B) ;

C) ?

Решение:

Критерий компактности в : Для компактности замкнутого множества необходимо и достаточно, чтобы множество K было ограниченным и чтобы .

А) Ответ: оператор не является вполне непрерывным.

Приведём пример, подтверждающий это. Фиксируем и рассмотрим последовательность . Очевидно, что . Тогда . И поскольку .

B) Ответ: оператор является вполне непрерывным.

Для доказательства этого покажем, что образ F замкнутого единичного шара из является компактным множеством, для чего воспользуемся критерием компактности в . Ограниченность очевидна, поскольку имеем: . Ограниченность F доказана. Чтобы доказать его замкнутость, докажем, что A – непрерывный оператор, тогда, в силу замкнутости шара, получим замкнутость F. Пусть . Тогда . Следовательно, оператор А непрерывный. Условие критерия компактности множества в проверяется так:

при любом наперёд заданном и любом .

С) Ответ: оператор является вполне непрерывным.

Доказательство совершенно аналогично доказательству предыдущего пункта (со смещением индексов последовательности на 1).

39) Доказать, что оператор , для , где , , , есть самосопряжённый оператор. При каком условии на последовательность он будет неотрицательным?

Решение:

Рассмотрим скалярное произведение:

Значит, и оператор А является самосопряжённым. Найдём, при каких оператор А является неотрицательным: . Отсюда вытекает, что .

40) Доказать, что оператор , есть неотрицательный самосопряжённый оператор.

Решение:

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)