Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Функциональный анализ. FAQ Страница 10 из 10

Вопросы по курсу "Функциональный анализ"

Ответы на вопросы.

 Александр Андреев (alexander@vvv.srcc.msu.su, http://alex.motor.ru)

Литература:

[1]. А.Н. Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.

[2]. А.А.Кириллов, А.Д.Гвишиани. Теоремы и задачи функционального анализа.

[3]. Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе.

1. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой

[1] стр. 73

Точка x₀ называется предельной для множества Е, если любая ее окрестность содержит по меньшей мере одну точку x из E, отличную от x₀. Если x_oE, но не является предельной точкой, то она называется изолированной точкой E. Множество E' всех предельных точек Е называется производным множеством для Е. Если любая предельная точка Е принадлежит этому множеству (E'E), то множество Е называется замкнутым. Если E=E', то множество Е называется совершенным. Множество [E]=E+E' называется замыканием E. Точка x₀ называется внутренней точкой множества Е, если существует окрестность x₀, полностью лежащая в E. Множество Е называется открытым, если все его точки внутренние.

Теорема. Всякое открытое множество на числовой прямой представляет собой сумму конечного или счетного числа попарное непересекающихся интервалов (при этом рассматриваются также "бесконечные" интервалы).

Следствие. Всякое замкнутое множество получается из прямой выбрасыванием конечного или счетного числа интервалов.

2. Внешняя мера и ее свойства

[1] стр. 293.

Определение. Внешней мерой ^*(A) множества А называется нижняя грань меры элементарных множеств, включающих множество А.

Свойства внешней меры.

1. (E₁  E₂ ) ^*(E₁)  ^*(E₂) (монотонность)

2. (E = E_k, kN)  (^*(E)  ^*(E_k))

3. ((E₁,E₂)>0)  (^*(E₁E₂) = ^*(E₁)+^*(E₂))

3. Измеримые множества

[1] стр. 295.

Определение. Множество А называется измеримым по Лебегу, если для любого  > 0 найдется такое элементарное множество B, что *(A  B) < . Функция *, рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой .

4. Измеримость открытого множества, объединения счетного числа измеримых множеств, измеримость замкнутого множества.
5. Измеримость дополнения, пересечения счетного числа множеств

[1] стр. 295.

Теорема. Любое открытое множество измеримо, причем его мера равна сумме мер непересекающихся составляющих его интервалов.

Теорема. Дополнение измеримого множества измеримо.

Это следует из равенства (E\A)  (E\B) = A  B.

Теорема. Сумма и пересечение конечного или счетного числа измеримых множеств есть измеримые множества.

Теорема. Любое замкнутое множество измеримо.

6. Счетная аддитивность меры

[1] стр. 299.

Теорема (счетная аддитивность меры). Если {A_n} - последовательность попарно непересекающихся измеримых множеств и A - объединение этих множеств, то (A)= (A_n).

Множество, представимое в виде пересечения конечного или счетного числа открытых множеств, называют множеством типа G_. Множество, представимое в виде объединения конечного или счетного числа замкнутых множеств, называют множеством типа F_.

Теорема. Если множество E измеримо, то существует множество E₁ типа F_ и множество E₂ типа G_, такие, что E₁EE₂ и |E₁|=|E₂|=|E|.

7. Измеримые функции и их свойства

[1] стр. 323.

Определение. Пусть X и Y - два произвольных множества и в этих множествах выбраны системы подмножеств S_X и S_Y соответственно. Функция f:XY называется (S_X,S_Y)-измеримой, если для любого подмножества АS_Y его прообраз содержится в S_X : f ^-1(A) S_X.

Теорема. Суперпозиция измеримых функций измерима.

Теорема. Измеримость действительной функции f(x) эквивалентна измеримости любого из множеств {x | f(x) < c}, {x | f(x) > c}, {x | f(x)  c}, {x | f(x)  c} при любом сR.

Теорема. Сумма, разность и произведение двух измеримых функций измеримы. Частное измеримых функций f и g измеримо, при условии, что g  0.

Определение. Говорят, что некоторое свойство A(x) выполнено почти всюду на E, если множество точек x', где A(x') не выполнено, имеет меру 0.

Определение. Функции f и g, заданные на измеримом множестве Е, называются эквивалентными, если {x | f(x)  g(x)}. Иначе говоря, функции эквивалентны, если они равна на Е почти всюду.

Теорема. Если функция g измерима, а f ~ g, то функция f также измерима.

8. Измеримость предела измеримых функций

[1] стр. 326.

Теорема. Предел f(x) сходящейся при каждом xX последовательности f_n(x) измеримых функций измерим.

9. Сходимость по мере. Связь между сходимостью по мере и почти всюду

[1] стр. 330.

Определение. Говорят, что последовательность измеримых функций f_n(x) сходится по мере к функции f(x), если для любого >0:

{x | f(x) - f_n(x)  }  0 при n  .

Теорема (Лебег). Если последовательность измеримых на Е функций {f_n(x)} сходится почти всюду на Е к некоторой предельной функции f(x), то она сходится к той же самой предельной функции по мере.

Теорема (Рисс). Пусть последовательность измеримых функций {f_n(x)} сходится по мере к f(x). Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к f(x) почти всюду.

10. Интеграл Лебега. Свойства верхних и нижних сумм. Интегрируемость по Риману и Лебегу

[1] стр. 334.

Определение. Измеримая функция f(x) называется простой, если она принимает не более чем счетное число значений.

Теорема. Функция f(x), принимающая не более чем счетное число значений {y_n} измерима  все множества A_n = {x | f(x) = y_n} измеримы.

Теорема. Для измеримости функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых функций.

Определение. Интегралом Лебега по множеству А от простой функции f(x) называется сумма ряда

I =  y_n (A_n) , где A_n = {xA | f(x) = y_n}.

Если данный ряд абсолютно сходится, то функция f(x) называется интегрируемой или суммируемой по мере  на множестве А.

Теорема. Если функция f(x) интегрируема на некотором отрезке [a;b] по Риману, то она также интегрируема и по Лебегу, причем интеграл Лебега равен интегралу Римана.

11. Свойства интеграла Лебега. Интегрируемость по Лебегу измеримой и
ограниченной функции

[1], стр. 339

Утверждение. Пусть функции рассматриваются на некотором множестве А. Тогда

• I[1] = (A)

• I[k f(x)] = k I[f(x)]

• I[f(x) + g(x)] = I[f(x)] + I[g(x)] (аддитивность)

Причем из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой.

Утверждение (монотонность). Если интегрируемая на множестве А функция неотрицательна: f(x)  0, то I[f(x)]  0.

Утверждение. Если функции f(x) и g(x) эквивалентны, то I[f(x)] = I[g(x)], причем оба интеграла либо существуют, либо не существуют одновременно.

Утверждение. Если функция g(x) интегрируема на А и почти всюду | f(x) |  g(x), то f также интегрируема на А.

Утверждение. Интегралы I[f(x)] и I[|f(x)|] существуют или не существуют одновременно.

Теорема. Всякая ограниченная и измеримая на множестве конечной меры функция интегрируема на этом множестве.

12. Интеграл Лебега от неотрицательной неограниченной функции

13. Счетная аддитивность интеграла Лебега

[1] стр. 341

Теорема. Если A= A_n, множества А_i попарно не пересекаются и ряд

сходится, то функция f интегрируема на А и

.

14. Интеграл Лебега от произвольной неограниченной функции

15. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

[1] стр. 345

Теорема (абсолютная непрерывность). Если функция f(x) интегрируема на множестве А, то для каждого >0 найдется такое ()>0, что

для всякого измеримого e  A, такого что (e) < .

Теорема (Лебег). Если последовательность {f_n(x)} на А сходится к f и при всех n:

|f_n(x)|  g(x),

где g(x) интегрируема на А, то функция f(x) также интегрируема на А и

16. Теоремы Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла

Теорема (Леви). Пусть {f_n(x)} - последовательность интегрируемых на множестве А функций, причем f_n(x)  f_n+1(x) (т.е. при любом x последовательность неубывает), а интегралы этих функций ограничены в совокупности: | I[f_n(x)] |  M. Тогда почти всюду на А последовательность {f_n(x)} сходится к некоторой функции f(x), интегрируемой на А, причем I[f_n(x)]  I[f(x)].

Теорема (Фату). Пусть {f_n(x)} - последовательность неотрицательных интегрируемых на множестве А функций, сходится к некоторой функции f(x) почти всюду, а для интегралов выполнено неравенство I[f_n(x)]  K. Тогда функция f интегрируема на A, причем возможен предельный переход в неравенстве: I[f(x)]  K.

17. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Лебегу
ограниченной функции

Теорема (Лебег). Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируема по Лебегу на множестве E  чтобы она была измерима на E.

18. Теорема Фубини

Теорема (Фубини). Интеграл от интегрируемой на D=[a;b]x[c;d] функции двух переменных f(x,y) может быть сведен к повторному:

.

19. Классы Lр. Неравенства Гельдера и Минковского

Определение. Функции f(x) , для которых функция |f(x)|^p измерима и интегрируема на E, составляют линейное пространство L_p(E). В пространстве L_p вводится норма:

|| f ||_p = .

Утверждение. Для функций f  L_p, g  L_q (1/p+1/q=1,p>1,q>1) выполняется неравество Гельдера:

.

Утверждение. Для функций f,g  L_p (p1) выполняется неравенство Минковского:

20. Полнота пространства Lр.

Теорема. Для измеримого множества E и p1 пространство L_p(E) является полным.

21. Плотность непрерывных функций в Lр.

Теорема. Для любого измеримого ограниченного множества ER, множество C(E) непрерывных функций, заданных на E, плотно в L_p(E).

22. Непрерывность в метрике Lр.

Теорема. Для любого измеримого ограниченного множества ER, любая функция fL_p(E) непрерывна по норме пространства L_p­, т.е.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)