Вопросы с краткими ответами (1159985), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

 =()>0: ||f(x+h) - f(x)||_Lp <  при |h| < .

23. Нормированные пространства. Основные определения и простейшие свойства

Нормированным пространством называется линейное векторное пространство с нормой. Последовательность {x_n} в нормированном пространстве X сходится к x сильно (по норме), если || x_n - x ||  0.

Полное нормированное пространство называется банаховым (или B-пространством). Примеры банаховых пространств: Rⁿ, C[a;b], C^m[a;b], L_p(E), l_p.

Оператор A:XY называется непрерывным в точке xX, если для любой последовательности {x_n}, сильно сходящейся x, последовательность {y_n=Ax_n} сильно сходится к элементу y = Ax.

Теорема. Если линейный оператор непрерывен в какой-либо точке x₀ пространства X, то он непрерывен на всем пространстве X.

24. Линейные ограниченные операторы

Линейный оператор A:XY называется ограниченным, если существует постоянная M>0, такая что ||Ax||_Y  M||x||_X. Наименьшая константа M, удовлетворяющая этому неравенству называется нормой оператора А: ||A|| = M.

Теорема. Ограниченность линейного оператора эквивалентна его непрерывности.

25. Теорема о том, что пространство операторов {A:ХY} банахово, если Y -банахово

Утверждение. Множество линейных операторов L={A:ХY} c нормой ||A||, является нормированным линейным пространством.

Теорема. Если пространство Y - банахово, а X - произвольное линейное нормированное, то пространство операторов L={A:ХY} является банаховым.

Следствие. Сопряженное пространство X^*={G:XR} всегда банахово, т.к. R банахово.

26. Теорема Банаха-Штейнгауза и ее следствия

Теорема (Банах-Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности). Пусть X,Y - банаховы пространства, а {A_n} - последовательность операторов из L={A:ХY}. Если для любого xX последовательность ||A_nx|| ограничена, то последовательность ||A­_n|| также ограничена.

27. Теорема Неймана об обратном операторе (I-А)^-1

Обратным к оператору А:XY называется оператор A^-1 , такой, что (Ax = y)  (A^-1y = x). Оператор, для которого (на всем Y) существует обратный, называется обратимым. Оператор, обратный к линейному, также является линейным.

Теорема. Пусть А:XY - линейный ограниченный оператор. Если существует постоянная m>0, такая что ||Ax||  m||x|| для xX, то для А существует ограниченный обратный оператор A^-1.

Теорема (Нейман). Пусть на пространстве X задан линейный оператор A:XX, причем ||A||=q<1. Тогда (I - A) имеет ограниченный обратный оператор (I - А)^-1.

28. Теорема Банаха об обратном операторе

[1] стр. 259.

Теорема. Пусть линейный ограниченный оператор А: EE₁ задает взаимно однозначное соотвествие пространств E и E₁. Тогда существует ограниченнй обратный оператор (A^-1).

Определение. Множество X, представимое в виде суммы конечного или счетного числа нигде не плотных множеств, называется множеством первой категории. Все остальные множества называются множествами второй категории.

Лемма (Бэр). Всякое полное множество есть множество второй категории.

Лемма. Пусть на банаховом пространстве X определен линейный оператор A:XY. Определим систему множеств X_n={xX | ||Ax||  n||x||}. Тогда пространство X есть объединение множеств X_n, причем среди этих множеств найдется хотя бы одно, всюду плотное в X.

29. Теорема Хана-Банаха и ее следствия

Теорема (Хан-Банах). Пусть p - однородно-выпуклый функционал, определенный на линейном пространстве L над R, и пусть L₀ - линейное подпространство в L. Если f₀ - линейный функционал на L₀, подчиненный p, т.е. на L₀ выполнено неравенство || f₀(x) ||  p(x), то f₀ может быть продолжен до линейного функционала, подчиненного f на всем L.

30. Общий вид линейного функционала в конкретных пространствах

[1], стр. 215.

В гильбертовом пространстве H: G(x) = (g,x), gH.

Теорема (Ф. Рисс). В пространстве C[a;b] всякий непрерывный линейный функционал представляется в виде F(f) = , где (x) - функция с ограниченным изменением.

В пространстве l_p : F(x) = , где f={f_n}l_q (1/q+1/p=1).

В пространстве L_p[a;b]: F(f) = , где h(t)L_q (1/q+1/p=1).

31. Слабая сходимость

Последовательность {x_n} элементов линейного топологического пространства E называется слабо сходящейся к x₀, если для любого непрерывного функционала g(x):ER последовательность {g(x_n)} сходится к g(x₀).

Утверждение. Если последовательность слабо сходится, то она ограничена.

Утверждение. Всякая сильно сходящаяся последовательность сходится и слабо.

Теорема. Последовательность {x_n} из пространства X сходится сильно  последовательность {f(x_n)} сходится равномерно на единичном шаре в X^*, т.е. на множестве функционалов f , таких что ||f||  1.

32. Гильбертовы пространства, основные определения и свойства

Евклидовым называется линейное вектороное пространство со скалярным произведением. Скалярное произведение задает евклидову норму: || x || = (x, x)^1/2.

Два вектора называются ортогональными (xy), если (x,y) = 0.

Полное бесконечномерное евклидово пространство H называется гильбертовым.

Примеры: l₂, L₂.

Утверждение. Любые два сепарабельных гильбертовых пространства изоморфны между собой, и изоморфны пространству l₂.

Неравенство Коши. | (x,y) |  || x ||  || y ||.

Равенство параллелограмма. ||x + y||² + ||x - y||² = 2(||x||² + ||y||²).

Утверждение. Норма удовлетворяет равенству параллелограмма  ее можно задать с помощью скалярного произведения.

Теорема. Замкнутое выпуклое множество в гильбертовом пространстве содержит один и только один элемент с минимальной нормой.

33. Теорема Б.Леви о прямой сумме подпространств

Теорема (Леви). Пусть в гильбертовом пространстве H задано подпространство L. Каждый элемент xH может быть единственным образом представлен в виде x = y + z, где yL, а zx, т.е. zL^. При этом ||x - y|| = min {||x - u||, uL}.

Таким образом, H = LL^.

34. Теорема Рисса-Фреше об общем виде линейного функционала в гильбертовом пространстве

Теорема. Всякий линейный функционал G в гильбертовом пространстве H записывается в виде скалярного произведения: G(h) =(g,h), где g - фиксированный вектор из H, однозначно определяемый функционалом G, причем ||g||=||G||.

35. Ортонормированные системы, полнота и замкнутость

Подпространством, порожденным системой векторов {_n}, называется наименьшее (по включению) подпространство, содержащее {_n}. Система элементов {_n} евклидова пространства E называется полной, если не существует ненулевого элемента x, ортогонального всем элементам {_n}, т.е. если {(n: x_n)  (x=0)}. Эта система называется замкнутой, если порожденное {_n} замкнутое подпространство есть все E.

Система векторов {_n} в евклидовом пространстве R называется ортонормированной, если (_i,_j) = _ij. Если система {_n} при этом полна, то она называется ортонормированным базисом в R.

Утверждение. В сепарабельном евклидовом пространстве всякая ортогонормированная система не более чем счетна.

Утверждение. Всякую ЛНЗ систему векторов можно перевести в ортонормированную с помощью процедуры Шмидта.

Утверждение. В гильбертовом пространстве полнота системы векторов эквивалентна ее замкнутости.

36. Неравенство Бесселя, равенство Парсеваля

Пусть {_k} - ортонормированная система векторов в гильбертовом пространстве H, a f - произвольный вектор. Числа c_k=(f, _k) называются коэффициентами Фурье, а ряд c_k_k называется рядом Фурье для f.

Утверждение. Коэффициенты Фурье удовлетворяют неравенству Бесселя: . Если система {_k} при этом является полной, то это неравенство переходит в равенство Парсеваля, а ряд Фурье сходится к элементу f.

37. Существование ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве

Теорема. В сепарабельном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

38. Изометрия и изоморфизм сепарабельного гильбертового пространства

39. Теорема Рисса-Фишера

Теорема. Пусть {_n} - произвольная ортонормированная система в полном евклидовом пространстве H и пусть числа {c_i} таковы, что ряд сходится. Тогда существует такой вектор f  H , что c_k=(f , _k), а || f ||² = .

40. Сопряженный оператор и его свойства

Сопряженным для оператора A:XY называется оператор A^*:Y^*X^*, такой, что равенство G(Ax) = [A^*G](x) выполняется для любого функционала GY^* и любого xX.

Примеры. Для оператора A=||a_ij|| в Rⁿ, сопряженный есть A^*=||a_ji||. В произволном гильбертовом пространстве: (g,Ax)=(A^*g,x).

Теорема. Оператор A^*, сопряженный к ограниченному линейному оператору A, также является ограниченным линейным, причем ||A^*|| = ||A||.

41. Вполне непрерывные операторы и их свойства

[1] cтр. 272.

Линейный оператор A:XY (X,Y - банаховы пространства) называется вполне непрерывным (или компактным), если всякое ограниченное множество он переводит в предкомпактное.

Примеры.

1) Оператор, переводящий банахово пространство в некоторое конечное подпространство компактен.

2) Оператор A, определенный на пространстве l₂ следующим образом:A(x₁,x₂,…,x_n,…)=(x₁, x₂/2,…,x_n/n,…) - компактен.

3) В пространстве C[a;b] важный класс компактных операторов образуют операторы, представимые в виде Ax = y(s) = (функия K(s,t) ограничена, а ее точки разрыва лежат на конечном числе непрерывных кривых).

4) Единичный оператор I в бесконечномерном банаховом пространстве не является компактным.

Теорема. Компактный оператор переводит слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

Теорема. Оператор, сопряженный к компактному, компактен.

Теорема. Если оператор А компактен, а оператор B ограничен, то операторы AB и BA компактны.

42. Слабая компактность гильбертового пространства

Теорема. В сепарабельном гильбертовом пространстве из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

43. Теория Фредгольма уравнения (I-А)*х = f, А - вполне непрерывный оператор. Подготовительные леммы.

Уравнение Фредгольма второго рода:

или x = Ax + f.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)