Н.А. Слёзкин - Динамика вязкой несжимаемой жидкости (1159534), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Этим путам можно получить два независимых решения: 'ро~~~ =(гя — с)(д (у)+ аа)г (у)+ игд,(У)+ ...1, (4.23) Рвм -— -(ш — с)А(У)+ «'Дв(У)+ Я'йа(У)+ $4) 417 теченне между плглтлельнымн стенклми где "о(У) = 1 У У Дэлоэ(У) = ~ с(У(ш — с)-'л ~ (ш — с) йэл(У)о(У, О т(У) .) (м — с)я о (4,24) о У („-) Р(,),~~~~- ~У) „-1ЗУ- о о (4.25) Подставляя (4.25) в уравнение (4.3), получим для и нелинейное диф- ференциальное уравнение (оэ — с) (й я+ л' — о') — шо = = — — (но+ бнэн'+ Зйж+ 4до+к"' — 2ээ(до+а')+ во), (4,26) Будем решать это уравнение с помощью следующего ряда: й(У)=-744К (У)+й (У)+ =,— З' (У)+ „— К,(у)+ ... ш - ° Собирая коэффициенты при одинаковых степенях параметра э(х, по- лучим последовательность уравнений с) зо = 'Юо (еэ — с) (хо+ 2конт) = — г (4йо~, + 6~ойо), (ов — с) (у, + д~ + 2 кока — о Я) — ш" = = — 1(4й',дэ+ био+ Заойтао+ Зао — 2з'ао) Последующие приближения могут быть найдены нэ уравнений (4.22) с помощью метода варнзцнн произвольной постоянной через решения (4.23).
Но при вычислениях, оказывается, можно обойтись и без последующих приближений. Для построения других независимых решений уравнений (4.3) в асимптотической форме положим: хстойчивость ллминлвных твчвннй (ГЛ. Х1 Решения этих уравнений строятся без всяких квадратур. Первые два решения представля~отся в виде не= — )У(( — с), ) 5 е"а Для определенности положим; (4.29) агд(= 2, агд(ш — с) ) 0 для тя — с ) О.
я -) гы ййю-е) лг у =(ти — с)е и) яа ~Ю (4.30) У + ) тт Л~и-е1 ат = (ш — с) е 1О яе Ю Таким образом, четыре независимых решения уравнения (4.3) в первом приближении будут представляться в виде [4.23) и (4.30). Однако эти решения не могут быть непосредственно использованы, так как не выяснено поведение этих решений в окрестности точки у=у и в зависимости от этого не установлен путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Для выяснения этих вопросов в работе Лина вводится новое независимое переменное н новый малый параметр в виде у — у =ато а=(а)С)-'ь. (4.3 1) Представляя решение уравнения (4.3) в виде ряда по степеням нового параметра т(У) = Хрй) = йо(т1)+ еХ~ Й)+ еХг(ч)+ (432) и полате ю — с = тв'ат,+ та" ('"1) + (4.
33) Для отрицательных значений разности м — с будем полагать агн(ш — с) =+к или агй(ш — с) = — г в зависимости от обстоятельств. Обратим внимание на то, что если для уравнения (4.21) точка у = у в асимптотическом решении (4.23) была логарифмической, то для решения (4,29) она будет алгебраической точкой ветвления. Если ограничиться первыми двумя членами в разложении (4.27), то для второй пары независимых решений уравнений (4.3) будем иметь: 419 тачанки между пхтхллвльными станками можно получить следующяе четыре независимых решения уравнении (4.3) в нулевом приближении: у~п й у~п .о ' о ч 71а~= ~ Ит, ~ ф' й Н(Г~' ~ — (1т,а)Ч] Ггт„ Ф (4.34) уом = ~ П,~ р', Н.",,' ~3 (Гаа,) ~ 3тп где зг„, (4.35) з Н))' и Н~'-" ,— функции Ханкеля. Если воспользоваться асимптотнческимн выражениями для функ.
ций Ханкеля, то можно показать, что для весьма больших значений параметра а(х решения (4,34) будут совпадать с решениями (4.23) и (4,30). При этом выбор асимптотических разложений для функций Ханкеля, подчинвнный требованию совпадения решений (4.34) с (4.23) и (4.30), предопрелеляет путь интегрирования в равенствах (4.24) и (4.30). Лля этого пути интегрирования должно выполняться неравен- ство тя я б ( агй("ой) ( 6 ° (4.36) Палее в работе Лина исследуются различные случаи расположения точки у =у, на плоскости комплексного переменного у и в связи с этим выясняются асимптотические представления решений (4.30) и параллельно рассматриваются случаи, когда можно ограничиться решениями (4.23), не учитывающими действия сил вязкости.
В частности, показывается, что при расположении точки у =у, ниже действительной оси (сч с". О) эффектом вязкости пренебрегать нельзя, как бы ни были велики числа Рейнольдса. Попутно доказывается ошибочность утверждения, что если р(у) есть решение уравнения (4.21) с собственным значением г, то сопряжвнная функция р(у) будет представлять второе решение, удовлетворяющее тем же действительным условиям на действительной оси и имеющее в качестве собственного значения с, сопряжзнное с первым с.
Чтобы получить какие-либо конкретные заключения о поведении разграничительной кривой (4.14), необходимо провести ряд упрощений вековых уравнений (4.16) и (4.18) для больших значений параметра а(ч. Проводя эти упрощения, Лин показывает, что разграничительная кривая (4.14) имеет две асимптоты при Я -+ оо. Эти две асимптоты сливаются в одну (« = О), если профиль скоростей основного (гл. х~ устоичивость лхмннлтных течении потока не имеет точки перегиба.
В результате своих подробных исследований Лин формулирует правила приближенного подсчета наименьших значений критического числа Рейнольдса, за пределамн которого может наступить неустойчивость ламинарного течения в указанном выше смысле, Прежде всего по заданному профилю распределения скоростей в потоке и, = ()тв(у) надо составить следующее уравнение: ктв'(О) (3 — 2 ~1, ' ' = — 0,58 (4 Зу) гв (У,) НУ~ (у,) и решить его графически относительно у,.
Затем необходимо нз уравнения тв(у,) = с найти соответственное значение с. После этого определяется наименьшее значение критического числа Рейнольдса: для случая движения между параллельными стенками по формуле НУ(0) / шва)пу Зов' (О) а св с (4.38) Для случая ламинарного течения между параллельными стенками разграничительная кривая (4,14), отделяющая область неустойчивости (внутри) от области устойчивости, представлена на рис. 100. Минимальное значение критического числа Рейнольдса для этого случая равно гс „= — ж 3314.
ид Для случая течения в пограничном слое разграничительная кривая представлена на рис. 1О1, а наименьшее значение критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на пластинке равно ((х 320 (3 ч = — — им 1800. В работе Скрэмстед н Шубауэра ') приведены результаты измерений пульсации в пограничном слое и на основании этих из- г) 3кгашз(ад апд 8сЬЕЬаиег, Ю. Аегопачйса( 8с„т, 14, Эй 2, 1947. а для случая течения в пограничном слое — по формуле (4.39) 421 тачанив маждт паталлвльными станками мерений были вычислены значения 1с и и, отвечающие началу потери устойчивости.
Точки вычисленных аначений Я и а располагались достаточно близко к разграничительной кривой на рис. 101. В заключение следует отметить, что применению метода теории колебаний к исследованию устойчивости ламинарного течения было ,ню И тд йУ йл ди 08 гл гр ю ло лр лр гр ла и лага тЬ Рис. 100. посвящено большое количество печатных статей в различных жур. папах. Однако только в последних статьях Лина ценой весьма сложных вычлслений удалось методом малых колебаний обнаружлть потерю устойчавости ламинарных течений между неподвижными дол /баю елпт дчзт лйю Рис.
1о!. параллельнымн стенками и в пограничном слое при достаточно больших значениях числа Рейнольдса. Но потерю устойчивости ламинариых течений между параллельными стенками с прямолинейным профилем распределения скоростей и в цилиндрической трубе этим методом еще не удалось обнаружить. Выполненные до сих пор (гл. х~ устойчивость ллмннлтных течений теоретические исследования устойчивости ламинарного течения в цилиндрической трубе сводятся покз только к одному заключению, что это течение устойчиво по отношению к достаточно малым возмущениям, $ б. Об устойчивости кругового движения между двумя бесконечными цилиндрами В й 7 главы !Н было рассмотрено установившееся круговое движение частиц вязкой несжимаемой жидкости.
1!ля единственной компоненты скорости в была'получена формула Сй о, = С,г+ — '. г (5.1) Если рассматривать круговое движение между двумя вращающимися цилиндрами (г = Ь и г = а), то на основании условий прилипания частиц жидкости к стенкам получим: Ь, (1 — — з) Сэ= (ь)э аеыа — Фыг ле — ьэ (5, 2) — — + 2 (С, + — ) о + ч ~ — + — — (г — ) — ] дао 1 д до о до,. дг ' до дГ (5.3) де дг ' д(гв„) д (го ) =О дг + дг Потребуем, чтобы компоненты вектора скорости поля возмущений удовлетворяли условиям прилипания, т, е. прн г=Ь и г=а е„'=О, о'=О, о'=О. (54) Таким образом, задача исследования устойчивости кругового двикения сводится к решению системы уравнений (5.3) при граничных условиях (5.4).
Будем теперь исследовать устойчивость кругового движения (5.1) 'с помощью метала малых колебаний. Прн этом будем прел- полагать, что поле возмущений является пространственным, но обладающим осевой симметрией. При этих предположениях для поля возмущений будут иметь место дифференпиальные уравнения (2.16). Если в эти уравнения подставить выражение (5.1), то получим: ф 5) кттговов движвнив мвждт ввсконвчными цилиндглми 423 Следуя методу малых колебаний, 'примем, что поле возмущений является периодическим по отношению к координате л и положим: л„= и, соа две, ад м о, = ив а(п лге ', ад (5.5) где множители и, и. н и, зависят только от одного переменного г.
Подставляя (5.5) в уравнения (5.3) и исключая из них давление поля возмущений р', получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: = 2С,ид = — 2(С + — дд) иэ— (5.6) — д+ — д+ьи. = О где л'= дя+ —" (5.7) При этом граничные условия (5.4) принимают вид при г=Ь и г=а ид — — О, ив=О, иа — О. (5.8) Искомую функцию и (г) представим я виде ряда Фурье — Бесселя и,(г) = ~ а ад((д,„г), (5,9) ы=д где (5.10) Е (Ь„,г) = А )д(д„,г)+АяНд(й г) Таким образом, множители Ь„ суть корни уравнения 7,(Ь„Ь) Дг,(Ь„Ь) =О. .Рд ()д,„а) ддГд (й,„а) (5.1 1) представляет собой цилиндрическую функцию общего вида, Постоянные Ад и Аз подобраны так, чтобы были выполнены граничные условия для и,, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
